T材料力学课件之弯曲应力

第6章弯曲应力6-１概述1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力V剪应力t弯矩M正应力s2、研究方法平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无V的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有V又有M的情况)6-2弯曲正应力一、纯弯曲与剪力弯曲PPaaABVx+-PPMx+Pa1.纯弯曲(PureBending):横截面上的内力只有弯矩没有剪力时，该杆段的变形称为纯弯曲。2.剪切弯曲杆各横截面上有既剪力、也有弯矩，且弯矩为截面位置x的函数。二、纯弯曲梁横截面上的正应力

（一）变形几何规律：1.梁的纯弯曲实验横向线（mm、nn）变形后仍为直线，但转过一个角度；纵向线（aa、bb）变为曲线，且上部缩短，下部伸长；横向线与纵向线变形后仍然正交。

aabbmmnn中性轴2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。3.推论平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

单向拉压假定：设各纵向纤维之间互相不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸或压缩状态（即纯弯曲时，梁横截面上只有正应力）

4.几何方程：为中性层O1O2的曲率半径，两截面间的夹角为d，考察任一纵向纤维（如aa）的线应变，aa到中性层的距离为y（如图）

变形前：

变形后：

线应变：

梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。

PPaaABCDxy（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应力状态。当正应力不超过比例极限时，由胡克定律可得：问题：=？中性轴的位置如何？

（三）静力学关系：yyzdAzx横截面上的微内力组成的空间平行力系，仅能简化为三个内力分量。

，可见，y轴和z轴是截面的形心主惯性轴。即截面的中性轴z的位置完全确定。EIz截面或杆的抗弯刚度。弯曲变形的基本公式（中性层曲率）

三、平面弯曲杆横截面上的正应力1.计算公式2.分布规律横截面上任一点处的正应力大小，与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布。中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。3.正应力公式讨论：

1）适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围小变形时的等截面直杆。2）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式为近似解，当梁的跨高比l/h>5时，误差＜2%。3）若中性轴为截面对称轴，则；若不是对称轴，则，4）如何确定正应力的符号a)均以绝对值代入，根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压；b)均带符号代入判断是正为拉应力；是负为压应力。四、最大应力的计算

抗弯截面模量。矩形截面的Wzz圆形截面的Wzz例：6－3弯曲剪应应力1、两点假假设：1)剪应力与与剪力平平行；2)距中性轴轴等距离离处，剪剪应应力相等等。2、研究方方法：分分离体平平衡。1)在梁上取取微段如如图b；2)在微段上上取一块块如图c，平衡ysxyzs1t1tbdxx图a图c一、矩形截面面梁V(x)+dV(x)M(x)M(x)+dM(x)V(x)dx图bq(x)3.剪应力公式推推导sxyzs1t1tb图c由剪应力互等等V——横截面上的剪剪力；——横截面上需求剪应力处的水平线以下（或以上）部分的面积A*对中性轴的静矩；

Iz——整个横截面对对中性轴的惯惯性矩；b——需求剪应力处处的横截面宽宽度。4.剪应力沿横截面高度的的分布t方向：与横截截面上剪力方方向相同；t大小：沿截面面宽度均匀分分布，沿高度h分布为抛物线线。在截面上、下下边缘处的剪剪应力为零，而在在中性轴上的的剪应力值最最大，矩形截面梁横横截面上的最最大剪应力为为平均剪应力力的1.5倍倍。V二、工字形(槽形，T字型)截面工字形截面可可视为由翼缘缘和腹板所组组成。通过分分析可知，翼翼缘主要承担担弯矩的作用用，而腹板则则主要承受剪剪力的作用。。工字形腹板上上的剪应力可可以按照矩形形截面的剪应应力公式计算算，即1.腹板上的剪应应力由分析可知，，工字形截面面腹板上的剪剪应力接近均均匀分布，且tmax≈tmin铅垂剪应力主主要由腹板承承受（95~97%），其近似的计算算公式为对轧制工字钢钢截面，式中中Iz／S*zmax的值可以查型型钢表。2.翼缘上的剪应应力——翼缘上需求剪应力处的竖直线与翼端之间的部分面积A*对中性轴的静矩；

（1）竖向剪应力力（2）水平剪应力力Ve呈线性分布3.剪应力流腹板上剪应力力方向与剪力力方向一致，，各翼缘上的剪应应力与之形成成剪流。三.圆截面：由切应力互等定理可知，在截面边缘上各点处切应力

的方向必与圆周相切。假设：(1)沿宽度kk上各点处的切切应力均汇交于y轴上的P点；(2)各点处切应力力沿y方向的分量沿沿宽度相等。最大剪应力，仍发生在中性轴上的各点处，在中性轴上剪应力的方向都平行于剪力V，且各点处的剪应力均相等。五.开口薄壁圆环环截面：四.薄壁圆环截面面：假设：(1)横截面上切应应力的大小沿沿壁厚无变化；；(2)切应力的方向向与圆周相切切。6-4梁的正应力和和剪应力强度度条件•梁的合理截面面1、危险面与危危险点分析：：一般截面，最最大正应力发发生在弯矩绝绝对值最大的的截面的上下下边缘上；最最大剪应力发发生在剪力绝绝对值最大的的截面的中性性轴处。VtsssMt一、梁的正应应力和剪应力力强度条件带翼缘的薄壁壁截面，最大大正应力与最最大剪应力的的情况与上述述相同；还有一一个可能危险险的点，在V和M均很大的截面面的腹、翼相交处。（（以后讲）sMQtts3、强度条件应应用：依此强度准则则可进行三种种强度计算：：2、正应力和剪剪应力强度条条件：注：对于拉压压性能不同的的材料，须对对抗拉和抗压压分别建立强度条件。Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：(4)各向异性材料料（如木材））的抗剪能力力较差，要校核剪应力。4、需要校核剪剪应力的几种种特殊情况：：细长梁强度的的控制因素通通常是弯曲正正应力。满足足弯曲正应力力强度条件的的梁，一股都都能满足切应应力强度条件件。只有在在下述述一些些情况况下，，要进进行弯弯曲切切应力力强度度校核核：(1)梁的跨跨度较较短，，或在在支座座附近近作用用较大大的载载荷，，以致致梁的的弯矩较较小，，而剪剪力较较大；；(2)铆接或或焊接接的工工字梁梁，如如腹板板薄而而截面面高度度颇大大，以以致厚厚度与高高度的的比值值小于于型钢钢的相相应比比值，，这时时，应应对腹腹板进进行切应应力校校核；；(3)经焊接接、铆铆接或或胶合合而成成的梁梁，对对焊缝缝、铆铆钉或或胶合合面等等，一般要要进行行剪切切计算算。例1.矩形木木梁的的合理理高宽宽比R北宋李李诫于于1100年著«营造法法式»一书中中指出出:矩形木木梁的的合理理高宽宽比(h/b=1.5)英(T.Young)于1807年著«自然哲哲学与与机械械技术术讲义义»一书中中指出出:矩形木木梁的的合理理高宽宽比为为bh二、梁梁的合合理截截面2.其他材材料与与其他他截面面形状状梁的的合理理截面面强度：：正应应力：：剪应力力：zDzaa（1）在面面积相相等的的情况况下，，选择择抗弯弯模量量大的的截面面zD0.8D续（1）在面面积相相等的的情况况下，，选择择抗弯弯模量量大的的截面面a12a1z0.8a2a21.6a22a2z工字形形截面面与框框形截截面类类似。。sGz（2）根据据材料料特性性选择择截面面形状状对于铸铸铁类类抗拉拉、压压能力力不同同的材材料，，最好好使用用T字形类类的截截面，，并使使中性性轴偏偏于抗抗变形形能力力弱的的一方方，即即：若若抗拉拉能力力弱，，而梁梁的危危险截截面处处又上上侧受受拉，，则令令中性性轴靠靠近上上端。。如下下图：：3.采用变变截面面梁，，如下图图：Px最好是是等强强度梁梁，即即若为等等强度度矩形形截面面，则则高为为同时6-5开口薄薄壁截截面的的弯曲曲中心心一、开开口簿簿壁截截面梁梁的剪剪应力力1.分布规规律：：剪剪应应力方方向与与截面面中心心线相相切，，且沿沿截面面中心心线形形成““剪应应力流流”，，剪应应力大大小沿沿壁厚厚均匀匀分布布，如如图所所示。。2.计算公公式二、开口口薄壁截截面的弯弯曲中心心1.弯曲中心心：剪剪切弯弯曲时，，梁只产产生弯曲曲变形，，不发生生扭转变形，，横向外外力必须须通过的的点，称称为弯曲曲中心。。2.弯曲中心心的特征征(1)弯曲中心心实质上上是横截截面内剪剪应力合合力的作作用点。。(2)弯曲中心心必在截截面的对对称轴(或反对称称轴)上．若截截面具有有两个对称称轴(或反对称称轴＞，，则其交交点即为为弯曲中中心。(3)由若干中中心线交交于一点点的狭长长矩形组组成的截截面，各各矩形中心线的的交点即即为弯曲曲中心。。(4)弯曲中心心仅与截截面的几几何形状状有关，，而与载载荷大小小和材料性能无无关。3.弯曲中心心的确定定3.弯曲中心心的确定定几何方程程与物理理方程不不变。横截面上上内力依此确定定正应力力计算公公式。PxyzO3.弯曲中中心的的确定定PxyzO非对称称截面面梁发发生平平面弯弯曲的的条件件：外外力必必须作作用在在主惯惯性面面内，，中性性轴为为形心心主轴轴，若若是横横向力力，还还必须须过弯弯曲中中心。。exyzPPsMVe6-6考虑材材料塑塑性时时的极极限弯弯矩ssss（一））物理理关系系为：：全面屈屈服后后,平面假