T材料力学课件3

第三章扭转3–1概述一、扭转的力学模型受力特征外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。TTOBAABO扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的相对转角称为该两截面间杆段的扭转角。剪应变（）：直角的改变量。二、工程实例3–2外力偶矩的计算，扭矩和扭转图一、外力偶矩的计算1.由力系的简化求得2.传动轴的传递功率、转速与外力偶矩间的关系当传动轴稳定转动，且不计其它能量损耗时，其传递功率P、转速n与外力偶矩T之间的关系为式中，传递功率P的单位为：千瓦（kW）转速n的单位为:转每分钟(rpm或r/min)二、扭矩及扭矩图扭矩受扭杆件横截面上的内力偶矩，其作用面即为与扦轴垂直的横截面。习惯上用记号Mt表示，其值用截面法求得。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。三、用直接法求扭矩

任一横截面上的扭矩等于其一侧杆段上作用的所有外力对杆轴线的力矩的代数和。式中，按右手螺旋法则，拇指离开杆端截面者取正；反之取负。例已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDT2

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T4解：①计算外力偶矩3-3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验观察及推论：1.实验前：1）绘纵向线，圆周线；2）施加一对外力偶T。2.实验现象1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

2）各纵向线均倾斜了同一微小角度。

3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。2.推论：1）横截面上无正应力；2）横截面上各点处，只产生垂直于半径且可认为均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩转向对应一致。二、薄壁圆筒扭转剪应力大小：A0：平均半径所作圆的面积。三、剪应力互等定理：剪应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，垂直于公共棱边的剪应力必然成对出现，且数值相等，方向则共同指向或共同背离该公共棱边。acddxbdy´´tz纯剪切应力状态：单元体上只有剪应力而无正应力的情况。

四、剪切胡克定律：Op实验表明:当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比。（τ≤τp)剪切弹性模量G——是材料的一个弹性常数，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。3-4圆轴扭转时横截面上的剪应力圆轴横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：二、、等等直直圆圆杆杆扭扭转转时时横横截截面面上上的的应应力力1.变形形几几何何关关系系：：距圆圆心心为为任一一点点处处的的与到到圆圆心心的的距距离离成正正比比。。——单位长长度上上的扭扭转角角。根据平平面假假设，，同一一截面面上各各点为为一一常数数。2.物理关关系：：胡克定律：由于发发生生在垂垂直于于半径径的平平面内内，所所以方方向向垂直直于半半径方方向。。tmaxtmaxMt应力分分布图图Mttmaxtmax3.静力学学关系系：令OdAMttmax故：4.剪应力力计算算公式式1）公式式适用用于均均匀连连续、、各向向同性性材料，，在线线弹性性范围围、小小变形形条件下的的等圆圆截面面（实实或空空）直直秆。。2）Mt—所求横横截面面上的的扭矩矩。3）—欲求剪剪应力力点到到圆心心的距距离。。4）—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。横截面上的最最大剪应力发发生在横截面面周边各点处处。5.横截面上的最最大剪应力Wt—抗扭截面系数数（抗扭截面面模量），几何何量，单位：：mm3或m3。3-5圆轴扭转时的的强度计算一、扭转破坏坏试验低碳钢试件：：沿横截面断开开。铸铁试件：沿与轴线约成成45的螺旋线断开开。先发生屈服，，试件表面横横向和纵向出出现滑移。二、圆轴扭转转时的强度计计算强度条件：[]——称为许用剪应应力。强度计算三方方面：①校核强强度：②设计截截面尺寸：③计算许许可载荷：圆轴扭转时横横截面上的最最大剪应力不不得超过材料料的许用剪应应力。由Mt计算外力偶偶矩3-6圆轴扭转时时的变形·刚度条件一、扭转时时的变形1.单位长度的的扭转角2.长为l一段杆两截截面间相对对扭扭转转角角Mt为常常量量的的等等截截面面圆圆轴轴GIp反映映了了截截面面抵抵抗抗扭扭转转弹弹性性变变形形的的能能力力，，称称为为截面面的的抗抗扭扭刚刚度度。二、、圆圆轴轴扭扭转转时时的的刚刚度度计计算算圆轴轴扭扭转转时时的的单单位位长长度度扭扭转转角角不不得得超超过过规规定定的的许许可可值值。。1.刚度度条条件件或[]称为为许许用用单单位位扭扭转转角角。。2.刚度度计计算算的的三三方方面面：：①校校核核刚刚度度：：②设设计计截截面面尺尺寸寸：：③计计算算许许可可载载荷荷：：例3-7圆轴轴的的扭扭转转超超静静定定问问题题解决决扭扭转转超超静静定定问问题题的的方方法法步步骤骤：：平衡衡方方程程；；几何何方方程程———变形形协协调调方方程程；；补充充方方程程：：由由几几何何方方程程和和物物理理方方程程得得；；物理理方方程程；；解由由平平衡衡方方程程和和补补充充方方程程组组成成的的方方程程组组。。①②③④⑤例[例5]长为为L=2m的圆圆杆杆受受均均布布力力偶偶m=20Nm/m的作作用用，，如如图图，，若若杆杆的的内内外外径径之之比比为为=0.8，外外径径D=0.0226m，G=80GPa，试求求固固端端反反力力偶偶。。3-8非圆圆截截面面等等直直杆杆在在自自由由扭扭转转时时的的应应力力和和变变形形非圆圆截截面面等等直直杆杆：：平面面假假设设不不成成立立。。即即各各截截面面发发生生翘翘曲曲不不保保持持平平面面。。因因此此，，由由等等直直圆圆杆杆扭扭转转时时推推出出的的应应力力、、变变形形公公式式不不适适用用，，须须由由弹弹性性力力学学方方法法求求解解。。一、自自由由扭扭转转：：杆件件扭扭转转时时，，横横截截面面的的翘翘曲曲不不受受限限制制，，任任意意两两相相邻截面的的翘曲程程度完全全相同。。二、约束扭扭转：杆件扭转转时，横横截面的的翘曲受受到限制制，相邻邻截面的翘曲程程度不同同。三、矩形杆杆横截面面上的剪剪应力:h³bht1T

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max注意！b1.剪应力分分布如图图：（角点、、形心、、长短边边中点））2.最大剪应应力及单单位扭转转角2.最大剪应应力及单单位扭转转角h³bht1T

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max注意！b其中：其中：It—相当极惯惯性矩。。注意！对于Wt和It，多数教材材与手册册上有如如下定义义：查表求求和时一定定要注意，，表中中和与那套套公式式对应应。h³bht1T

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max注意！b例3-9开口和和闭合合薄壁壁截面面在自自由扭扭转时时的应