T工程制图全套教程7103

第3章

空间点、直线和平面的投影分析

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教学提示：空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最基本的三个几何要素。本章将重点介绍点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影特性，两两几何要素之间的相对位置关系及其投影特性；本章还将阐述常用的几种空间几何问题的图解方法及其应用，如用直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是学习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又如何用其投影来分析和解决空间几何问题。

教学要求：本章是工程制图最为基础的部分，学生必须熟练掌握各种位置点、直线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的基本概念和思维方法。在此基础上，学会应用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角三角形法、直角投影定理配合解决简单的空间几何问题，为立体的投影分析和表达打下基础。●3.1空间点的投影分析●3.2空间直线的投影分析

●3.3空间平面的投影分析本章内容3.1空间点的投影分析

由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，空间不在一条直线上的三个点可确定一个平面。因此，要研究空间基本几何要素及其投影关系，首先要建立空间点的投影概念。3.1.1点的三面投影及其投影特征点的投影仍为一个点，且空间点在一个投影面上只有唯一的投影。但当已知点在一个投影面上的一个投影时，都不能确定点在空间的唯一位置。将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影、侧面投影。(关于空间点及其投影的标记规定为：空间点用大写字母A、B、C…表示，水平投影相应用小写字母a、b、c…表示，正面投影相应用小写字母、、…表示，侧面投影相应用小写字母、、…表示。)将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图，如图3.1所示。3.1空间点的投影分析由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：

(1)点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX(长对正)。

(2)点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ(高平齐)。

(3)点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az(宽相等)，作图时可以用圆弧或45°线来反映该关系。

在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以H、V、W三个投影面为坐标面，以三根投影轴OX、OY、OZ为坐标轴，点O为坐标原点。于是空间点A便可用三个坐标值，即点分别到W、V、H三个投影面的距离x、y、z来确定，由此：

点到W面的距离Aa″=a′az=aay=oax=x；

点到V面的距离Aa′=aax=a″az=oay=y；

点到H面的距离Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。

3.1空间点的投影分析水平投影由X与Y坐标确定(Z=0)；正面投影由X与Z坐标确定(Y=0)；侧面投影由Y与Z坐标确定(X=0)。点的任何两个投影可反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。(a)(b)(c)图3.1点的投影及其投影规律

3.1空间点的投影分析设空间点A、B、D分别位于V、H面和OX轴上，如图3.2(a)所示，则它们的三面投影如图3.2(b)所示。由此可知，投影面和投影轴上的点的坐标和投影有如下特性：(1)投影面上的点有一个坐标值为0；在该投影面上投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。(2)投影轴上的点有两个坐标值为0；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与原点O重合。3.1.2投影面上的点与投影轴上的点3.1空间点的投影分析(a)(b)图3.2投影面上的点与投影轴上的点3.1空间点的投影分析3.1.3两点的相对位置及重影点的投影分析

1.空间两点相对位置的投影分析在投影图上判断空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上、下、左、右、前、后的关系，如图3.3(a)所示。由正面投影或侧面投影可判断两点间的上、下关系(Z坐标差)；由正面投影或水平投影可判断两点间的左、右关系(X坐标差)；由水平投影或侧面投影可判断两点间的前、后关系(Y坐标差)，如图3.3(b)所示。3.1空间点的投影分析(a)(b)图3.3两点的的相对对位置置3.1空间点点的投投影分分析2.重影点点的投投影分分析当空间间两点点位于于对某某一投投影面面的同同一条条投射射线上上时，，则此此两点点在该该投影影面上上的投投影重重合为为一点点，此此两点点称为为对该该投影影面的的重影影点。。为区区分重重影点点的可可见性性，规规定观观察方方向与与投影影面的的投射射方向向一致致，即即对V面由前前向后后，对对H面由上上向下下，对对W面由左左向右右。因因此，，距观观察者者近之之点的的投影影为可可见，，反之之为不不可见见。从空间间几何何关系系分析析，重重影点点在空空间直直角坐坐标系系中有有两对对坐标标值分分别相相等，，其可可见性性则由由它们们的另另一对对不等等的坐坐标值值来确确定，，坐标标值大大者为为可见见，值值小者者为不不可见见。画画投影影图时时应在在不可可见点点的投投影标标记两两侧注注写括括号，，如图图3.4所示。。3.1空间点点的投投影分分析(a)(b)图3.4重影点投影分分析3.1空间点的投影影分析3.2空间直线的投投影分析由几何学知识识可知，空间间两点可确定定一直线。因因此要用投影影来表达空间间直线，只需需作出直线上上任意两点的的投影，再连连接该两点在在同一投影面面上的投影即即可。3.2.1直线的表示法法如已知两点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空间位置，，可首先绘出出该两点的三三面投影，如如图3.5(a)所示，然后将将两点的同面面投影相连，，即可得直线线的三面投影影，如图3.5(b)所示。由此也也可得出结论论：在一般情情况下，直线线的投影仍是是直线(不变性)。而当直线上上两点为某一一投影面上的的重影点时，，直线即垂直直于该投影面面，直线在该该投影面上会会积聚为一点点(积聚性)。3.2空间直线的投投影分析(a)(b)图3.5直线的投影3.2空间直线的投投影分析直线与投影面面的相对位置置有3种：投影面平平行线、投影影面垂直线和和一般位置直直线。前两种种直线又统称称为特殊位置置直线。直线和它在投投影平面上的的正投影之间间所成的锐角角称为此直线线对该平面的的倾角。本书书约定：直线线与H、V、W三投影面所成成的角分别用用，，表示，，如图3.6(a)所示。当直线线平行于投影影面时，倾角角为0°；垂直于投影影面时为90°；倾斜于投影影面时，则倾倾角在0°和90°之间。1.一般位置直线线一般位置直线线对投影面V、H、W均为倾斜，两两端点的坐标标差都不等于于零。如图3.6(a)所示的直线AB，由此可得一一般位置直线线的投影特性性。3.2.2直线相对于投投影面的位置置及其投影特特性3.2空间直线的投投影分析1)一般位置直线线的三个投影影与其实际长长度的关系为为：ab=ABcos；a′b′=ABcos；a″b″=ABcos由于，，均不不为0，故一般位置置直线的3个投影之长均均小于其实际际长度。(2)三面投影均倾倾斜于投影轴轴，且它们与与投影轴的夹夹角不反映该该直线与投影影面的倾角。。(a)(b)图3.6一般位置直线线3.2空间直线的投投影分析2.投影面平行线线在三面体系中中，平行于一一个投影面且且与其他两投投影面倾斜的的直线称为投投影面平行线线。根据该直直线平行于哪哪一个投影面面又分为3种：正平线：直线线平行于V面(=0)，对H、W面倾斜。水平线：直线线平行于H面(=0)，对V、W面倾斜。侧平线：直线线平行于W面(=0)，对H、V面倾斜。投影面平行线线的三线投影影及投影特性性如表3-1所示。且由表表3-1可得出投影平平行线的投影影特性为：投投影面平行线线在所平行的的平面上为一一条倾斜于轴轴线的直线并并反映实长，，与相应投影影轴的夹角反反映直线对另另外两个投影影面的倾角的的真实大小；；直线的另外外两个投影面面的投影平行行线平行于该该投影面，并并倾斜于相应应的投影轴。。3.2空间直线的投投影分析表3-1投影面平行线线的投影及其其投影特性3.2空间直线的投投影分析3.投影面垂直线线在三面体系中中，垂直于一一个投影面且且必平行于另另两个投影面面的直线称为为投影面垂直直线。根据该该直线垂直于于不同的投影影面又分为3种：正垂线：直线线垂直于V面，=90°，==0。铅垂线：直线线垂直于H面，=90°，==0。侧垂线：直线线垂直于W面，=90°，==0。3.2空间直线的投投影分析投影面平行面面的三面投影影及投影特性性见表3-2。且由表3-2可得出投影垂垂直线的投影影特性为：投投影面垂直线线在所垂直的的平面上积聚聚为一点，直直线的另外两两个投影分别别为垂直于相相应的投影轴轴并反映实长长；直线对投投影面的倾角角均为已知，，即为0°或90°3.2空间直线的投投影分析3.2空间直线的投投影分析表3-2投影面垂直线线的投影及其其投影特性由此，我们可可得出这样的的结论：从特特殊位置直线线的三个投影影，可直接获获得直线的实实长和对投影影面的倾角的的真实大小，，而对于一般般位置直线，，则要通过一一定的图解方方法来求解其其实长和倾角角。3.2空间直线的投投影分析特殊位置直线线在三面投影影图中可直接接显示实长及及对投影面的的倾角，有着着良好的投影影特性。而一一般位置直线线的3个投影均不能能直接反映直直线的实长和和对投影面的的倾角，必须须通过一定的的图解方法来来求解。首先，分析如如图3.7所示的空间直直线AB与其投影之间间的几何关系系：在投射线组成成的平面ABba内，过点A作AK//ab，交Bb于点K，得RtΔABK。其中：直角角边AK=ab(水平投影的长长度)，BK=Bb―Kb=ZB―ZA=ΔZ(A、B两点间的Z坐标差)，斜边AB即为实长，，而AB与AK的夹角(即斜边与水水平投影的的夹角)为该直线对对H面的倾角α。显然，在在这个直角角三角形的的三条边和和一个夹角角中3.2.3直角三角形形法求解一一般位置直直线的实长长和对投影影面的倾角角3.2空间直线的的投影分析析只要知道其其中两个要要素，就可可画出该直直角三角形形，其他两两个要素也也就随即获获得。如图图3.7(b)所示，线段段AB的水平投影影ab和两端点的的Z坐标差均为为已知，故故可画出此此直角三角角形，问题题便获解决决。这种方方法称为直直角三角形形法。直角三角形形法中所用用的直角三三角形是从从上述空间间几何分析析中推理而而抽象出来来的，图解解时可直接接作在投影影图中，也也可作在投投影图形之之外，如图图3.7(c)所示。在如如图3.7(b)所示的作图图过程中，，就分别用用了两个位位置来画直直角三角形形：一是画画在水平投投影中，直直接利用水水平投影ab为一直角边边，而另一一直角边Ab为坐标差ΔZ；二是画在在正面投影影中，利用用反映Z坐标差的正正面投影b′a1′为一直角边边，而另一一直角边a1′B就等于其水水平投影ab。注意两种种作法都有有同一结果果，即斜边边为实长，，斜边与水水平投影的的夹角为直直线对水平平投影面的的倾角。3.2空间直线的的投影分析析图3.7求线段的实实长及对投投影面的倾倾角(a)(b)(c)3.2空间直线的的投影分析析同理，利用用线段的正正面投影a′b′或侧面投影影a″b″，可与线段段AB的实长及和和角分别组组成另外两两个直角三三角形，如如图3.8所示。这3个直角三角角形的组成成情况如下下：(1)两直角边分分别为直线线的水平投投影和Z坐标差，斜斜边为实长长，水平投投影和实长长的夹角为为，如图3.8(a)所示。(2)两直角边分分别为直线线的正面投投影和Y坐标差，斜斜边为实长长，正面投投影和实长长的夹角为为，如图3.8(b)所示。(3)两直角边分分别为直线线的侧面投投影和X坐标差，斜斜边为实长长，侧面投投影和实长长夹角为，，如图3.8(c)所示。用直角三角角形法解题题时要注意意以下几点点：3.2空间直线的的投影分析析(1)对照图3.8所示的3个直角三角角形可知，，对于同一一段直线，，用其中任任意一个直直角三角形形，都可求求得该直线线的实长。。但对投影影面的倾角角的问题，，则要用不不同的直角角三角形来来求解。如如一定是实实长与水平平投影的夹夹角，一定定是实长与与正面投影影的夹角，，而一定则则是实长与与侧面投影影的夹角。。(2)获得直角三三角形的投投影体系一一般是两投投影面体系系，不同的的投影体系系所对应的的直角三角角形也不同同。求解的的直角三角角形从V/H体系中获得得，求解的的直角三角角形从V/H或V/W体系中获得得，求解的的直角三角角形从V/W体系中获得得。(3)从图中得知知，每个直直角三角形形含有4个要素，若若知其中任任意两个，，则此直角角三角形便便完全确定定，由此可可求出另2个要素。凡凡遇到此4要素的问题题均可用此此法来求解解。3.2空间直线的的投影分析析(a)(b)(c)图3.8直角三角形形法中的边边和角与投投影的关系系3.2空间直线的的投影分析析【例3.1】已知线段AB的实长为60mm，求出AB的水平投影影ab，如图3.9(a)所示。分析：要求求解直线的的水平投影影ab，则应利用用含有水平平投影的那那个直角三三角形来作作图。而在在该直角三三角形的3条边和一个个角中，已已知AB的Z坐标差(从正面投影影而知)和实长两个个要素，因因此AB的水平投影影ab由此可求(可得两解)。作图步骤：：(1)过b′作a′a的垂线b′B0，以a′为圆心60mm为半径画弧弧与b′B0交于B0，则得出水水平投影ab的长度，如如图3.9(b)所示。3.2空间直线的的投影分析析(a)(b)图3.9作AB的水平投影影3.2空间直线的的投影分析析(2)过b′作投影连线线b′b垂直于OX轴。(3)以a为圆心、ab为半径画弧弧交b′b于b。(4)连ab即为所求(两解)。3.2空间直线的的投影分析析空间点与直直线的相对对位置有两两种情况：：点在直线线上、点不不在直线上上。根据平行投投影法中从从属性和等等比性的基基本性质可可知：点在在直线上，，其投影必必在该直线线的同面投投影上；且且点分线段段之比，其其投影后保保持不变。。如图3.10所示，已知知点C在AB上，则点C的3个投影必在在AB相应的同面面投影上，，且有：AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″。而如图3.10(b)所示点D的水平投影影虽然在直直线AB的水平投影影上，但其其正面投影影和侧面投投影都不在在直线AB的同面投影影上，故点点D不在直线AB上，如图3.10(a)所示。3.2.4点与直线的的相对位置置3.2空间直线的的投影分析析(a)(b)图3.10点与直线的的相对位置置3.2空间直线的的投影分析析根据上述性性质即可判判别点是否否在直线上上以及解决决在直线上上取点的作作图问题。。要从投影上上判断点是是否在直线线上，对于于一般位置置直线而言言，只需从从其中两组组投影就可可加以判断断。如在图图3.10中，点C的两个投影影在AB的同面投影影上，点D只有一个投投影在直线线AB的同面投影影上。因此此点C在直线AB上，点D不在直线AB上。而对于特殊殊位置直线线而言，则则必须从其其三组投影影或利用点点分线段之之等比性来来进行判断断。如图3.11(a)所示，因为为所给直线线AB及点D位于平行于于侧面的同同一平面内内，不管点点D是否在AB上，都有d∈ab，d′∈a′b′的关系。为为此，必须须根据第3投影或利用用点分线段段之等比性性质来判别别。图3.11(b)、图3.11(c)列出了这两两种判别方方法。由作作图可知，，点D不在AB上。3.2空间直线的的投影分析析(a)(b)(c)图3.11点与直线相相对位置的的判别3.2空间直线的的投影分析析空间两直线线的相对位位置有3种情况，即即平行、相相交和交叉叉(即异面直线线)1.平行两直线线空间两直线线平行，则则其3组同面投影影必平行。。反之，若若有两直线线的三组同同面投影都都平行，则则该两直线线在空间相相互平行。。如图3.12所示，已知知空间两直直线AB∥EF。过AB、EF上的各点向向投影面作作投射线，，所形成的的两个平行行平面与投投影面的交交线也相互互平行。即即ab∥ef，a′b′∥e′f′，a″b″∥e″f″。其投影图图如图3.12(b)所示。从而而不难得出出AB/EF=ab/ef=a′b′/e′f′=a″b″/e″f″。由此可得得其同面投投影必平行行，且两平平行线段长长度之比等等于其投影影长度之比比。3.2.5两直线的相相对位置3.2空间直线的的投影分析析(a)(b)图3.12平行两直线线3.2空间直线的的投影分析析表2-6(要判别两条条一般位置置直线是否否平行，只只需看它们们的任意两两面投影即即可。但对对于特殊位位置直线而而言，则必必须同时检检查它们的的3组同面投影影。如图3.13所示的两直直线AB和CD均为侧平线线，虽然它它们的H、V面投影：ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a′b′∶c′d′ab∶cd，其侧面投投影a″b″不平行于c″d″，故直线AB不平行于CD。3.2空间直线的的投影分析析图3.13两直线是否否平行的判判断3.2空间直线的的投影分析析2.相交两直线线空间两直线线相交，其其各组同面面投影必相相交，且交交点的投影影符合点的的投影规律律。反之亦亦然。如图图3.14(a)所示，空间间两直线AB与CD相交于点K，则交点K为两条直线线所共有，，根据从属属性不变的的性质，两两直线的同同面投影必必定相交，，且交点符符合点的投投影规律，，即kk′⊥OX(k′k″⊥OZ)，如图3.14(b)所示。因此此，对于一一对一般位位置直线，，要判别它它们是否相相交，只需需检查任意意两面投影影的交点的的投影连线线是否垂直直于投影轴轴即可。否否则，要同同时从3组同面投影影、或者从从交点的从从属性及交交点分割线线段的等比比性来判断断。3.2空间直线的的投影分析析(a)(b)图3.14相交两直线线3.2空间直线的的投影分析析如图3.15(a)所示的两直直线AB和EF，虽然其两两面投影均均相交，其其实在空间间并不相交交。因为从从图3.15(b)的判别可看看出：e′k′∶k′f′ek∶kf，所以点K不在EF上，即两直直线不相交交。同样，，还可通过过作出其侧侧面投影来来判断。(a)(b)图3.15两直线是否否相交的判判断3.2空间直线的的投影分析析3.交叉两直线线在空间既不不平行又不不相交的两两直线称为为交叉两直直线。如图图3.13和图3.15所示的两直直线均为交交叉两直线线。交叉两两直线的3组同面投影影不一定都都相交，即即使都相交交，其交点点也不符合合点的投影影规律。我我们在交叉叉两直线的的同面投影影上看到的的交点，实实际上是分分别在两直直线上的两两点在该投投影面上的的重影点。。利用重影影点的投影影特性，可可判断两直直线的相对对位置。如图3.16所示，交交叉两直直线AB，CD上分别有有两个点点Ⅲ、Ⅳ(点Ⅲ∈AB，点Ⅳ∈CD)，它们在在H面的重影影点为(3)4，由3.16(b)中的投影影可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ点在Ⅲ点的正上上方，Ⅲ点的水平平投影3为不可见见，用(3)表示。同同理，在在V面上另一一对重影影点I、II中，点II的正面投投影2′不可见，，用(2′)表示。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.16交叉两直直线的重重影点3.2空间直线线的投影影分析【例3.2】】试判别已已知直线线AB，CD，AE两两之间间的相对对位置，，如图3.17(a)所示。分析：从图中直直接观察察可得出出：AB与AE相交，因因为它们们有公共共点A。对于AB与CD两直线，，由于它它们均为为侧平线线，虽然然其正面面投影和和水平投投影均分分别平行行，但不不能凭观观察直接接定出。。判别方方法有两两种，一一种方法法是作出出它们的的侧面投投影，另另一种方方法是通通过检查查A，B，C，D4点是否共共面。即即分别连连接AC与BD的正面投投影和水水平投影影，使它它们形成成AC与BD两条直线线。由AC与BD两直线的的不共面面，即可可推断出出A，B，C，D4点不共面面。所以以AB与CD为两交叉叉直线，，如图3.17(b)所示。而而AE与CD是一对交交叉直线线，其判判别方法法可用图图3.17(c)所示的等等比性定定理，读读者可自自行分析析判断。。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.17判别两直直线间的的相对位位置3.2空间直线线的投影影分析【例3.3】】求作直线线ST，使其与与已知直直线AB，CD相交且平平行于已已知直线线EF，如图3.18(a)所示。分析与作作图：从从图3.18(a)可知，直直线CD的水平投投影积聚聚为一点点c(d)，故CD为铅垂线线。由于于所求直直线ST与CD相交，故故其交点点T的水平投投影也必必积聚于于点c(d)。又由于于所求直直线ST∥EF，且与AB相交。故故可过点点c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，过s′作s′t′′∥e′f′′交于t′，则st和s′t′′为所求直直线ST的两面投投影。作作图步骤骤如图3.18(b)所示。3.2空间直线线的投影影分析(a)(b)图3.18直线平行行与相交交的综合合题举例例3.2空间直线线的投影影分析空间垂直直的两直直线(相交或交交叉)，若其中的一一直线平行于于某投影面时时，则两直线线在该投影面面上的投影仍仍为直角。直直角的这一投投影特性称为为直角投影定定理。反之，，若两直线在在某投影面上上的投影为直直角，且其中中有一直线平平行于该投影影面时，则该该两直线在空空间必互相垂垂直。证明如下：如如图3.19(a)所示，设相交交两直线AB⊥BC，且AB∥H面。∵AB⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BCcb。又∵AB∥H面∴ab∥AB。因此：ab⊥平面BCcb，得ab⊥bc，即∠abc=90°，如图3.19(b)所示。3.2.6一边平行于投投影面的直角角的投影(a)(b)图3.19直角的投影3.2空间直线的投投影分析应用直角投影影定理可以解解决许多空间间定形和定位位的几何问题题，如求作直直角三角形、、等腰三角形形、长方形、、正方形、菱菱形等的投影影作图问题，，以及求解点点与直线间、、两直线间及及直线与平面面间的距离问问题等等。直角投影定理理同样适合于于两直线交叉叉垂直的情况况。读者可自自行证明。如如图3.20所示的两直线线就是交叉垂垂直的情况。。因为直线AB是一条水平线线，且AB与CD的水平投影又又相互垂直，，因此由上述述直角定理可可知，这两条条直线在空间间垂直。又3.2空间直直线的的投影影分析析【例3.4】试求点点A到直线线BC的距离离，如如图3.21(a)所示。。分析：：求空间间一点点到直直线的的距离离的问问题，，也是是过点点向直直线作作垂线线、并并求出出该垂垂线的的实长长的问问题。。在本本例中中，应应从已已知点点A向直线线BC图3.20两直线线交叉叉垂直直3.2空间直直线的的投影影分析析作垂线线AK，得垂垂足为为K。由于于所给给直线线BC为正平平线，，故由由直角角投影影定理理，应应使其其正面面投影影a′k′⊥b′c′；然后后利用用直角角三角角形法法求出出AK的实长长，即即为所所求的的距离离。作图步步骤：(1)过a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，连接接ak，得AK的投影影(ak，a′k′)；(2)用直角角三角角形法法求出出AK的实长长，即即a′k0为所求求，如如图3.21(b)所示。。(a)(b)图3.21求点到到直线线的距距离3.2空间直直线的的投影影分析析【例3.5】试作出出交叉叉两直直线AB、MN的公垂垂线EF，并求求AB与MN之间的的最短短距离离，如如图3.22(a)所示。。分析：：如图图3.22(b)所示，，公垂垂线EF是与AB，MN都垂直直相交交的直直线，，EF的实长长就是是所求求交叉叉两直直线的的距离离。由由于AB⊥H面(AB为铅垂垂线)，又EF⊥AB，所所以以应应有有EF∥H面，，其其垂垂足足E的水水平平投投影影e必积积聚聚在在AB的水水平平投投影影ab处。。又又由由于于EF∥H，同同时时EF⊥MN，根根据据直直角角投投影影定定理理必必有有ef⊥mn。显显然然，，因因为为EF为水水平平线线，，其其水水平平投投影影ef反映映公公垂垂线线EF的实实长长，，这这就就是是所所求求AB与MN之间间的的距距离离。。作图图步步骤骤：：［［如如图图3.22(c)所示示］］。。(1)在水水平平投投影影面面上上过过a(b)点作作ef⊥mn。(2)由ef及水水平平线线EF的投投影影特特性性，，定定出出其其正正面面投投影影e′′f′′。则则e′′f′′和ef即为为所所求求公公垂垂线线EF的两两面面投投影影，，同同时时，，ef也是是所所给给交交叉叉两两直直线线的的最最短短距距离离。。3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析图3.22作交交叉叉两两直直线线的的公公垂垂线线并并求求其其距距离离3.2空间间直直线线的的投投影影分分析析平面面的的投投影影概概念念可可建建立立在在点点和和直直线线投投影影分分析析的的概概念念之之上上。。3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析1.用几几何何元元素素表表示示平平面面由几几何何学学可可知知，，空空间间平平面面可可由由下下列列几几何何元元素素确确定定：：①①不不在在同同一一条条直直线线上上的的3点；；②②一一直直线线及及直直线线外外一一点点；；③③两两相相交交直直线线；；④④两两平平行行直直线线；；⑤⑤任任意意的的平平面面图图形形，，如如图图3.23所示示。。从图图中中可可以以看看出出，，以以上上各各组组元元素素可可以以互互相相转转化化。。同同一一平平面面无无论论采采用用何何种种形形式式表表示示，，其其空空间间位位置置始始终终不不变变。。(a)不在在同同一一直直线线上上的的三三点点(b)直线线及及直直线线外外的的一一点点(c)相交交两两直直线线3.3.1平面面的的表表示示法法3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析(d)平行行两两直直线线(e)平面面图图形形图3.23用几几何何元元素素表表示示平平面面2.用平平面面的的迹迹线线表表示示平平面面在画画法法几几何何中中，，空空间间平平面面还还可可用用迹迹线线来来表表示示。。空空间间平平面面与与投投影影面面的的交交线线称称为为投投影影面面的的迹迹线线。。如如图图3.24(a)所示示。。平平面面P与H、V、W面的的交交线线分分别别称称为为水水平平迹迹线线(用PH表示示)、正正面面迹迹线线(用PV表示示)和侧侧面面迹迹线线(用PW表示示)。PH、PV、PW与投投影影轴轴X、Y、Z的交交点点PX、PY、PZ称为为迹迹线线集集合合点点。。3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析由于于迹迹线线是是投投影影面面上上的的直直线线，，所所以以它它的的一一个个投投影影与与迹迹线线本本身身重重合合，，另另一一个个投投影影则则落落在在投投影影轴轴上上。。在在投投影影图图中中，，PH、PV、PW直接接表表示示迹迹线线本本身身在在空空间间的的位位置置，，而而处处在在投投影影轴轴上上的的那那个个投投影影则则省省略略不不画画，，如如图图3.24(b)所示示。。(a)(b)图3.24用迹迹线线表表示示平平面面3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析显然然，，用用迹迹线线表表示示的的平平面面，，其其直直观观性性强强，，它它形形象象地地表表明明了了平平面面在在空空间间的的位位置置。。用用迹迹线线表表示示的的平平面面称称为为迹迹线线平平面面。。3.3空间间平平面面的的投投影影分分析析3.3.2平面面相相对对于于投投影影面面的的位位置置及及其其投投影影特特性性在3面体体系系中中,平面面对对投投影影面面的的位位置置有有3种：：一一般般位位置置平平面面、、投投影影面面垂垂直直面面和和投投影影面面平平行行面面。。后后两两种种称称为为特特殊殊位位置置平平面面。。平面面分分别别与与H、V、W面所所构构成成的的两两面面角角称称为为该该平平面面对对H、V、W面的的倾倾角角，，，，。。显显然然，，当当平平面面平平行行于于投投影影面面时时，，其其倾倾角角为为0°°；垂垂直直于于投投影影面面时时，，其其倾倾角角为为90°；倾斜于于投影面面时，其其倾角在在0°<，，<90°。1.一般位置置平面既不平行行也不垂垂直于投投影面的的平面称称为一般般位置平平面。如如图3.25所示可直直接观察察分析得得到一般般位置平平面的投投影特性性：由于于平面倾倾斜于投投影面，，所以它它的三面面投影的的形状均均为空间间平面的的类似形形线框，，其面积积均小于于空间平平面的实实形面积积，不反反映实形形的真实实大小；；3个投影均均不能反反映平面面与3个投影面面的倾角角的真实实大小。。3.3空间平面面的投影影分析(a)(b)图3.25一般位置置平面的的投影3.3空间平面面的投影影分析2.投影面垂垂直面在三面体体系中垂垂直于任任意投影影面，而而与另两两投影面面倾斜的的平面，，称为投投影面的的垂直面面。投影面垂垂直面可可分为3种：(1)垂直于V面、且倾倾斜于另另两投影影面的平平面称为为正垂面面。(2)垂直于H面、且倾倾斜于另另两投影影面的平平面称为为铅垂面面。(3)垂直于W面、且倾倾斜于另另两投影影面的平平面称为为侧垂面面。3种投影面面垂直面面的投影影及投影影特性见见表3-3。由此可可得出投投影面垂垂直面的的投影特特性：在在所垂直直的投影影面上的的投影积积聚为一一条斜线线，该斜斜线与相相应投影影轴的夹夹角反映映出该平平面与其其他两个个投影面面的倾角角的真实实大小；；其他两两个投影影面互为为类似形形线框。。3.3空间平面面的投影影分析表3-3投影面垂垂直面的的三面投投影及其其投影特特性3.3空间平面面的投影影分析3.投影面平平行面平行于一一个投影影面且必必垂直于于另两个个投影面面的平面面称为投投影面平平行面。。投影面平平行面又又可分为为3种：(1)平行于H面的平面面称为水水平面。。(2)平行于V面的平面面称为正正平面。。(3)平行于W面的平面面称为侧侧平面。。投影面平平行面的的投影及及投影特特性见表表3-4。由此可可得出投投影面平平行面的的投影特特性为：：在所平平行的投投影面上上的投影影反映实实形，其其他两个个投影都都积聚为为直线且且平行于于相应的的投影轴轴。三个个倾角分分别为0°或90°。3.3空间平面面的投影影分析表3-4投影面平平行面的的三面投投影及其其投影特特性3.3空间平面面的投影影分析由此，我我们可以以得出这这样的结结论：从从投影面面垂直面面的3个投影，，可直接接获得该该平面对对投影面面的倾角角的真实实大小(其中一个个倾角为为已知，，即90°)，但不能能直接得得到其实实形；而而从投影影面平行行面的投投影，则则可直接接获得平平面的实实形(对投影面面的倾角角为已知知)。对于一一般位置置平面，，则要通通过图解解方法求求解其实实形和对对投影面面倾角的的真实大大小。3.3空间平面面的投影影分析由初等几几何可知知：①点在在平面上上，则该该点必在在此平面面的一条条直线上上。②直线线在平面面上，则则该直线线必通过过平面上上的两点点、或通通过平面面内的一一点且平平行于平平面上的的另一直直线。将上述两两个条件件应用于于投影法法，即可可解决在在平面上上的取点点、取直直线的问问题。如图3.26所示，点点K、直线KT和KM均位于由由相交两两直线AB、BC所确定的的平面上上。3.3.3平面上的的点和直直线3.3空间平面面的投影影分析【例3.6】】(1)在△ABC平面上过过点C作正平线线CD；(2)并在此面面上取一一点S，使之在在H面之上15mm，在V面之前25mm，如图3.27(a)所示。分析：(1)由正平线线CD的投影特特性可知知：其水水平投影影cd平行于OX轴，正面面投影倾倾斜于X轴。利用用这一投投影特性性，应用用平面上上取直线线的几何何原理即即可求解解出所求求的正平平线CD。(2)在平面上上取定点点S：平面上上的投影影面平行行线是一一条与所所平行的的投影面面等距的的直线。。据题意意，所求求点S应位于平平面上距距H面为15mm的一条水水平线EF上，同时时，它也也应位于于距V面25mm的一条正正平线MN上，因此此，所求求点S应为平面面上这两两条直线线的交点点。作图步骤骤：3.3空间平面面的投影影分析(a)点k在平面abc上(点k过平面上一直线)(b)直线kf在平面abc上(直线过平面上两已知点)(c)直线km在平面abc上(直线过平面上一点且平行平面上另一直线)图3.26在平面上上取点取取线3.3空间平面面的投影影分析(1)作正平线线CD：在水平平投影面面上，过过c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，连接c′d′′,则CD(cd,c′d′′)为所求，，如图3.27(b)所示。(2)确定S点：首先先作一条条平面△△ABC内的水平平线EF的正面投投影e′f′′，使其与与X轴相距15mm，然后再再作出其其水平投投影ef，以及平平面内的的正平线线MN的水平投投影mn，使其与与X轴相距25mm，mn与ef的交点即即为点S的水平投投影s，由此再再定出S点的正面面投影s′，即为所所求，如如图3.27(c)所示。3.3空间平面面的投影影分析(a)(b)(c)图3.27在平面上上作投影影面平行行线和取取定点3.3空间平面面的投影影分析3.3.4直线与平平面、平平面与平平面的相相对位置置直线与平平面、平平面与平平面之间间的相对对位置有有两种情情况，即即平行和和相交。。包括直直线与平平面、平平面与平平面的平平行和相相交，相相交又有有垂直相相交和倾倾斜相交交两种情情况。1.平行几何条件件：①如果果一直线线平行于于平面上上的一条条直线，，则直线线与该平平面平行行，如图图3.28所示。②如果果一平面面上的两两相交直直线平行行于另一一平面上上的两相相交直线线，则该该两平面面平行，，如图3.29所示。据据此，即即可解决决其投影影作图及及其相对对位置的的判断等等问题。。3.3空间平面面的投影影分析图3.28直线与平平面平行行图图3.29两平面面平行行3.3空间平平面的的投影影分析析【例3.7】试判断断直线线MN与平面面△ABC是否平平行，，如图图3.30(a)所示。。分析及及作图图：根根据上上述几几何条条件，，如果果能在在△ABC平面内内作出出一条条平行行于MN的直线线，则则直线线MN就与平平面△△ABC平行，，否则则就不不平行行。为为此，，在平平面上上先作作一条条辅助助线DB，使其其正面面投影影d′b′∥m′n′，再由由d′b′′找出DB的水平平投影影db。因为为水平平投影影db不平行行于mn，不符符合直直线与与平面面平行行的几几何条条件，，故知知MN不平行行于△△ABC，如图图3.30(b)所示。。3.3空间平平面的的投影影分析析(a)(b)图3.30判断直直线与与平面面是否否平行行3.3空间平平面的的投影影分析析【例3.8】试过点S作一平面平行行于已知平面面△ABC，如图3.31(a)所示。分析与求解：：根据其几何何条件，应过过点S作一对相交直直线，使其分分别平行于已已知平面△ABC内的任意两条条直线。为此此，过点S作一条直线SL1∥AB，按同法过点点S再作SL2∥BC，则SL1与SL2所组成的平面面即为所求平平面，如图3.31(b)所示。(a)(b)图3.31作平面平行于于已知平面3.3空间平面的投投影分析2.相交直线与平面或或平面与平面面相交，就会会产生交点或或交线。直线线与平面相交交，其交点为为直线与平面面所共有，它它既在直线上上又在平面上上，是直线与与平面的共有有点，如图3.32所示；同理，，两平面P和S相交，其交线线为一条直线线，它既在平平面P上又在平面S上，是两平面面的公有线，，如图3.33所示。图3.32直线与平面相相交3.3空间平面的投投影分析为讨论问题的的方便和清楚楚起见，本章章只讨论特殊殊情况下求交交点或交线的的问题。有兴兴趣的读者，，可从中找出出规律，以引引伸到一般位位置的线面相相交及面面相相交问题的求求解。图3.33平面与平面相相交3.3空间平面的投投影分析所谓特殊情况况主要指以下下3种：(1)特殊位位置直直线与与一般般位置置平面面相交交；(2)一般位位置直直线与与特殊殊位置置平面面相交交；(3)一般位位置平平面与与特殊殊位置置平面面相交交。在以上上每一一组相相交的的几何何要素素中，，至少少有一一个要要素的的某一一投影影具有有积聚聚性，，故可可利用用其积积聚性性直接接求交交点和和交线线。1)特殊位位置直直线与与一般般位置置平面面相交交如图3.34(a)所示，，铅垂垂线MN与△ABC平面相相交。。由图图中可可以看看出，，由于于直线线垂直直于H面，其其水平平投影影积聚聚为一一点，，因此此它们们的交交点S的水平平投影影s必与之之重合合。又又因为为交点点S属于△△ABC，故可可利用用面上上取点点的方方法，，即在在ΔABC上过点点S作辅助助线AD求出s′。直线与与平面面相交交，存存在着着投影影重叠叠部分分的可可见性性判别别问题题。即即判断断某一一同面面投影影中直直线被被平面面挡住住的一一段，，并用用虚线线表示示。显显然，，其交交点为为线段段投影影可见见与不不可见见的分分界点点，若若在一一侧为为可见见，则则另一一侧必必不可可见。。可见性性的判判别可可利用用重影影点的的投影影特性性。如如图3.34(b)所示，，为判判别直直线MN的正面面投影影的可可见性性，可可通过过正面面投影影中a′c′、m′n′的交点点［即即重影影点1′(2′)］引投投射线线，3.3空间平平面的的投影影分析析分别交交水平平投影影中mn和ac于点1和2，由于于点1在2的前面面，故故正面面投影影中2′为不可可见，，即点点Ⅱ所在直直线MN的2′s′′一段为为可见见，用用粗实实线表表示；；而其其余为为不可可见，，画成成虚线线。(a)(b)图3.34特殊位位置直直线与与平面面相交交3.3空间平平面的的投影影分析析2)一般位位置直直线与与特殊殊位置置平面面相交交［如如图3.35(a)所示］］如求图图3.35(a)所示直直线EF与铅垂垂面△△ABC的交点点。由由于△△ABC⊥H面，所所以其其水平平投影影积聚聚成一一条直直线abc，如图图3.35(b)所示。。交点点K是平面面上的的点，，其水水平投投影必必积聚聚在此此直线线上。。但交交点K同时又又是直直线EF上的点点，因因此根根据平平行投投影的的从属属性，，该点点的投投影必必在直直线的的同面面投影影之上上。于于是水水平投投影中中两直直线投投影的的交点点k就是所所给直直线和和平面面的交交点K的水平平投影影。