T工程制图全套教程7102

第2章

投影法基础

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教学提示：为将空间物体在图纸上表达出来，即将三维空间中的立体用二维平面上的图形来表示，工程中采用投影的方法来实现。投影法分为中心投影法和平行投影法，其中，平行投影法又分为正投影法和斜投影法两种。为了清楚地表达空间物体的真实形状和大小，在工程中一般采用正投影的方法获得一组图形来设计和表达工程对象，这一组图形称为三面投影(正面投影、侧面投影和水平投影)，在工程上又称为视图。有时，还需要用平行投影法获得立体感较强的轴测图来进行辅助性的观察和看图。本章主要介绍投影法的基本概念、三面投影的基本画法和常用轴测图的画法。教学要求：本章要求学生重点掌握正投影法和轴测投影的基本概念及投影规律，并学会应用正投影法获得物体的三面投影。●2.1投影法基础知识

●2.2三投影面体系与物体的三面投影

●2.3轴测图的基本概念本章内容2.1投影法基础知识

在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在墙壁或地面上出现了物体的影子，这是一种自然的投影现象。人们发现，空间物体在一个平面上留下了影子，该影子反映出物体一定形状。根据这种现象，人类总结了这种投影现象的几何关系，创造了投影法，解决了用平面图形来表达空间物体的问题。

1.投影法的基本概念假想用光线照射物体，使物体在平面上留下影子的方法就称为投影法。分别将光线、平面和影子抽象为投射线、投影面和投影，因此投影就是通过物体的投射线与投影面的交线。用工程理论的术语来描述，我们把一定条件下、一系列投射线通过表达对象与投影面交点的总和，称为图像。此图像也称为该表达对象在该投影面上的投影，而获得投影的方法称为投影法，如图2.1所示。投影法是平面上表示空间形体的基本方法，是画法几何及工程制图的基础。2.1.1投影法的基本概念

综上所述，投影法所具备的条件如下：

(1)投射中心以及从投射中心出发的投射线。

(2)不通过投射中心的投影面。

(3)表达对象(几何要素或物体)。

2.投影法的分类工程上常用的投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类，如图2.1所示。其中，平行投影法有正投影法和斜投影法之分。

1)中心投影法投射线从一点发出来的投影法称为中心投影法，用中心投影法得到中心投影，如图2.1(a)所示。中心投影一般用于表达较大的场景或目标，例如地貌、建筑物等，这种投影形成的图形称为透视图。透视图的立体感很强，常作为一种效果图，不注重于物体尺寸的表达，如图2.2所示。2.1投影法基础知识2.1.1投影法的基本概念(a)中心投影法(b)平行投影法图2.1投影法及其分类2.1投影法基础知识2)平行投影法 投射线互相平行的投影法称为平行投影法，如图2.1(b)所示。其中，投射线垂直于投影面时的平行投影法称为正投影法；图2.2透视图2.1投影法基础知识投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法。而用正投影法和斜投影法分别得到的投影称为正投影和斜投影。用正投影能直接和方便地表达空间物体的真实形状、大小和空间位置，所得到的图形广泛地用于工程图样，因此我们常将正投影简称为投影，如图2.3(b)所示。在用正投影法表达一个空间物体时，往往是将该物体的主要表面或主要轮廓线平行于投影面放置，这样得到的投影能够真实地反映物体在该投影方向上的形状和大小。但物体的一个投影不能唯一确定其各个方向的形状、大小和位置，因此工程上常常将物体置于一个多投影面体系，用一组正投影从各个方向来表达物体。如图2.3(b)所示的投影图就是用一组两面正投影来表达一个工程对象的投影图。如果将物体相对于投影面倾斜放置而采用正投影法、或者将物体正放而采用斜投影法，可以在同一投影面上表达物体3个方向的形状，这种投影称为轴测投影，如图2.3(c)所示。轴测投影的立体感强，直观性好、容易看懂，它对于人们理解和掌握物体的形状十分有利，但其尺寸的度量性却不如多面正投影图，因此在生产和设计中常作为辅助图样或商业广告。

2.1投影法基础知识

(c)轴测投影

(a)表达对象

(b)多面正投影

2.1投影法基础知识2.1.2平行投影的基本性质平行投影有如下基本性质：1)实形性当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。如图2.4所示，直线DC、GH、JB和KA等均平行于V面，在V面上的投影反映实长，如。平面BCDGHJ平行于V面，在V面上的投影反映实形。2)积聚性当直线或平面图形平行于投射线时，其投影积聚成点或直线。在如图2.4所示中，直线AR、KQ等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一点；平面EFML、FGHOM等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一条线。2.1投影法基础知识图2.4平行投影影的投影影特性2.1投影法基基础知识识3)类似性当当直线线或平面面图形倾倾斜于投投影面时时，直线线的投影影仍然是是直线，，平面图图形的投投影是原原图形的的类似形形，但直直线或平平面图形形的投影影均小于于实长或或实形。。像这种种原形与与投影间间不相等等也不相相似，而而两者的的边数、、凸凹、、曲直、、平行关关系不变变的性质质称为类类似性。。在图2.4中，平面面四边形形ABJK、EFGD在V面上的投投影为类类似的四四边形、、。。4)平行性如如果空空间直线线平行，，则它们们投影仍仍然相互互平行。。在图2.4中，EF、GD相互平行行，它们们在V面上的投投影、、仍仍然相互互平行。。5)从属性2.1投影法基基础知识识2.1.2平行投影影的基本本性质几何元素素的空间间从属关关系在投投影中不不会发生生改变：：属于直直线的点点的投影影必定落落在直线线的同面面投影上上，属于于平面的的点和线线的投影影必定落落在平面面的同面面投影上上。如图图2.4所示，S点在直线线KJ上，S点的投影影一定在上上。6)定比性(1)若空间直直线上一一点把该该直线分分成两段段，则该该两线段段之比，，必等于于其投影影之比。。如图2.5(a)所示，点点K在直线AB上，其投投影必在在ab上(从属性)，且由于于Aa//Kk//Bb，故有AK∶KB=ak∶kb。(2)空间平行行线段的的长度之之比，等等于其投投影之比比。如图图2.5(b)所示，分分别过F和G作fe和gh的平行线线，可得得到两个个相互平平行的相相似三角角形及矩矩形，从从而得EF∶HG=ef∶hg。2.1投影法基基础知识识2.1.2平行投影影的基本本性质(b)(a)图2.5平行投影影的定比比性2.1投影法基基础知识识从图2.6中的4个立体图图的投影影情况可可知，当当从上往往下进行行投影时时，它们们获得的的投影相相同，均均为一对对同心圆圆。这说说明，一一个投影影不能唯唯一地表表达物体体的形状状，因此此必须建建立一个个投影面面体系，，将物体体同时向向几个投投影面进进行投影影，用多多个投影影图来确确切地、、完整地地表达空空间物体体。这种种方法获获得的一一组投影影称为多多面正投投影，亦亦简称为为投影。。2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影图2.6不同物体体在同一一投影面面上的投投影相同同2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影2.2.1三投影面面体系我们知道道，笛卡卡儿直角角坐标系系将三维维空间分分为8个象限(分角)，每个象象限的位位置如图图2.7(a)所示。在在国家标标准GB/T4458.1—2002中规定，，我国采采用第一一分角投投影法(简称第一一角画法法)绘制图样样，而国国际上有有的国家家(如美国、、日本等等)则采用第第三角投投影法(简称第三三角画法法)。在第一分分角中，，由正立立投影面面V、水平投投影面H和侧立投投影面W共3个相互垂垂直的投投影面(分别简称称为V面、H面和W面)构成的投投影面体体系称为为三投影影面体系系，如图图2.7(b)所示。三三投影面面两两相相交产生生的交线线OX、OY、OZ，称为投投影轴，，简称为为X轴、Y轴和Z轴。2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影图2.7投影体系系2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影如图2.8(a)所示，将将物体置置于三投投影面体体系中，，用正投投影法分分别向3个投影面面投影后后，得到到了物体体的三面面投影。。国家标标准规定定：正面投影影是对物物体由前前向后进进行投影影，在正正面上所所得到的的投影。。水平投影影是对物物体由上上向下进进行投影影，在水水平面上上所得到到的投影影。侧面投影影是对物物体由左左向右进进行投影影，在侧侧面上所所得到的的投影。。如图2.8(b)和图2.8(c)所示，投投影后将将物体移移开，V面保持不不动，将将H面连同其其投影绕绕X轴向下旋旋转90°，W面连同其其投影绕绕Z轴向右旋旋转90°，使它们们与V面处于同同一平面面上，并并约定投投影轴和和投影面面的边框框略去不不画，从从而得到到物体的的三面投投影，如如图2.8(d)所示。2.2.2三面投影影的形成成2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影图2.8三面投影影的形成成2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影上述投影影过程表表明，一一旦物体体在投影影面体系系中的位位置确定定，并规规定X、Y、Z轴方向分分别为物物体的长长、宽、、高3个方向如如图2.9(a)所示，则则空间物物体与其其平面投投影以及及我们所所熟悉的的空间直直角坐标标系就有有了一一一对应的的关系。。实际上，，我们还还可以这这样来理理解三面面投影的的形成过过程：所所谓物体体的正面面投影，，可看成成是令该该物体的的空间坐坐标值Y=0后获得的的平面投投影图，，即完成成了该物物体从三三维空间间向二维维平面的的转换。。因此正正面投影影仅反映映出物体体的长(X)和高(Z)方向的形形状和大大小；同同理，物物体的水水平投影影即是令令Z=0，而侧面面投影则则是令X=0，因此，，物体的的水平投投影仅反反映出物物体的长长(X)和宽(Y)，侧面投投影仅反反映出物物体的宽宽(Y)和高(Z)。2.2.3三面投影影的投影影规律2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影根据物体体与其三三面投影影的位置置和对应应关系，，可反映映出以下下几个特特点：(1)三面投影之间间的位置配置置关系是：水水平投影在正正面投影的正正下方，侧面面投影在正面面投影的正右右方。(2)三面投影之间间的对应关系系是：每个投投影反映物体体长、宽、高高中的两个方方向的大小。。正面投影和和水平投影同同时反映物体体的“长”；；正面投影和和侧面投影同同时反映物体体的“高”；；水平投影和和侧面投影同同时反映物体体的“宽”。。由此而得到到以下的三面面投影规律(又称三等关系系)：①正面投影影与水平投影影长对正。②正面投影影与侧面投影影高平齐。③水平投影影与侧面投影影宽相等。(3)三面投影与物物体6个方位的关系系是：正面投投影反映物体体的上、下、、左、右4个方位；水平平投影反映物物体的前、后后、左、右4个方位；侧面面投影反映物物体的上、下下、前、后4个方位。2.2三投影面体系系与物体的三三面投影图2.9三面投影的投投影规律2.2三投影面体系系与物体的三三面投影多面正投影图图用多个投影影图准确地、、真实地反映映出物体的长长、宽、高3个方向的形状状和大小，作作图简便，标标注尺寸也很很方便，广泛泛地应用于工工程设计和制制造领域，但但这种图样的的立体感较差差。轴测图是是工程中常采采用的另一种种图样，它是是在单一的投投影面上同时时反映物体的的三维方向的的表面形状，，立体感强，，比较符合人人们的视觉习习惯，但由于于它的度量性性较差，作图图过程也比多多面正投影复复杂，因而在在工程上仅作作为辅助图样样或效果图，，用以帮助人人们看图和进进行空间想象象。2.3轴测图的基本本概念2.2.3三面投影的投投影规律对同一物体分分别采用三面面投影和轴测测投影绘制的的两种图形，，如图2.10所示。2.3.1轴测图的基本本知识图2.10多面正投影图图与轴测图2.3轴测图的基本本概念1.轴测图的形成成和投影特性性用平行投影法法将物体连同同确定物体空空间位置的直直角坐标系一一起投射到单单一影面，所所得的投影图图称为轴测图图，如图2.11(a)所示。图2.11轴测图的形成成和投影特性性2.3轴测图的基本本概念由于轴测图是是用平行投影影法得到的，，因此具有以以下投影特性性：(1)空间相互平行行的直线，它它们的轴测投投影互相平行行。(2)空间立体上凡凡是与坐标轴轴平行的直线线，在其轴测测图中也必与与轴测测轴互相平行行。(3)空间立体上两两平行线段或或同一直线上上的两线段长长度之比，在在轴测图上保保持不变。2.轴测图的基本本术语轴测图的基本本参数如图2.11所示。(1)轴测投影面：：轴测图中的的投影面称为为轴测投影面面。它是一个个单一的投影影面。一般用用大写的拉丁丁字母表示，，如图中的P面。(2)点的轴测投影影：过空间点点的投射线与与轴测投影面面的交点称为为该点的轴测测投影。本章章中约定，用用带有下角标标1的大写拉丁字字母表示，如如A1、B1等。2.3轴测图的基本本概念2.3.1轴测图的基本本知识(3)轴测轴：确定定空间物体的的坐标轴OX、OY、OZ在P面上的投影称称为轴测投影影轴，简称轴轴测轴，记为为O1X1、O1Y1、O1Z1。(4)轴间角：轴测测轴之间的夹夹角称为轴间间角，记为∠∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1。(5)轴向伸缩系数数：由于形体体上3个坐标轴对轴轴测投影面的的倾斜角度不不同，所以在在轴测图上各各条轴线长度度的变化程度度也不一样，，因此把轴测测轴上的线段段与空间坐标标轴上对应线线段的长度比比，称为轴向向伸缩系数。。如图2.11(b)所示，设A点为单位坐标标(u，u，u)，则经过投影影后，A点轴测投影A1的坐标为(i，j，k)，则X，Y，Z轴的伸缩系数数为：，，2.3轴测图的基本本概念画轴测图时，，只要首先按按轴间角的大大小画出轴测测轴，然后按按相应的轴向向伸缩系数沿沿轴向测量就就可画出轴测测图。因此，，“轴测”的的含义就是沿沿轴向测量的的意思。3.轴测图的分类类1)根据投射方向向与轴测投影影面的相互位位置分类根据投射方向向与轴测投影影面的相互位位置，轴测图图可分为以下下两大类。(1)正轴测图：投投射方向垂直直于轴测投影影面，如图2.12(a)所示。(2)斜轴测图：投投射方向倾斜斜于轴测投影影面，如图2.12(b)所示。2.3轴测图的基本本概念图2.12轴测图的分类类2.3轴测图的基本本概念2)根据选定的不不同轴向伸缩缩系数分类在每一类轴测测图中，根据据选定的不同同轴向伸缩系系数，轴测图图又可分为以以下3种。(1)正(或斜)等轴测图的轴轴向伸缩系数数p=q=r。(2)正(或斜)二轴测图的轴轴向伸缩系数数p=rq。(3)正(或斜)二轴测图的轴轴向伸缩系数数prq。3)勾画立体草图图为了作图方便便，工程上常常用正等测图图和斜二轴测测图来勾画立立体草图。(1)正等测图。当三根坐标轴轴与轴测投影影面倾斜的角角度相同时，，用正投影法法得到的投影影图称为正等等测图，简称称正等测。由由于空间坐标标轴OX、OY、OZ对轴测投影面面的倾角相等等，可计算出出其轴间角，，其中O1Z1轴规定画成铅铅垂方向，如如图2.13(a)所示2.3轴测图的基本本概念根据三根坐标标轴与轴测投投影面倾斜的的角度相同，，由理论计算算可知：三根根轴的轴向伸伸缩系数为p=q=r=0.82，但为了作图图方便，通常常用简化伸缩缩系数“1”。用此轴向伸伸缩系数画出出的图形其形形状不变，但但比实物的实实际轴测图放放大1.22倍，如图2.13(b)所示。图2.13正等测图的轴轴间角和轴向向伸缩系数2.3轴测图的基本本概念(2)斜二等轴测图图。如果使XOZ坐标面平行于于轴测投影面面，采用斜投投影法，得到到的轴测图称称为斜二等轴轴图，简称斜斜二测。由于于XOZ坐标面平行于于轴测投影面面，在这个坐坐标面的轴测测投影反映实实形，因此斜斜二等轴测图图的轴间角是是：∠Z1O1X1=90°，这两根轴的的轴向伸缩系系数为p=r=1；O1Y1与水平线成45°，即∠X1O1Y1=Y1O1Z1=135°，其轴向伸缩缩系数一般取取为q=0.5。如图图2.14(a)所示。由如图2.14(b)所示的斜二测测图可知：平平行于XOZ坐标面的圆的的斜二等轴测测投影反映实实形，作图十十分简便。但但平行于XOY，YOZ两个坐标面的的圆的斜二测测投影将变形形为椭圆，这这些椭圆的短短轴不与相应应的轴测轴平平行，且作图图较繁。因此此，斜二等轴轴测图一般用用来表达只在在一个方向上上互相平行的的平面内有圆圆或圆弧的立立体，这时只只要把这些平平面选为平行行于XOZ坐标面即可。。2.3轴测图的基本本概念图2.14斜二测图的轴轴间角和轴向向伸缩系数2.3轴测图的基本本概念1.用坐标法绘制制直线AB的轴测投影轴测图的基本本作图方法一一般采用坐标标法。作轴测测图时，首先先应选择好轴轴测图的种类类，即确定好好轴间角和轴轴向伸缩系数数。为使表达达清晰及作图图方便，通常常将轴测轴Z1画成垂直方向向，再根据轴轴间角画出另另两个轴测轴轴和和。。已知A(30，50，10)，B(0，10，40)。轴间角2.3.2轴测图的基本本作图方法，轴向伸缩系系数作图步骤如下下：(1)根据轴间角，，画出轴测轴轴如图2.15(a)所示。(2)在轴轴上，取，，在轴轴上取取。。过点点作作直线平平行于，过点点作直直线平行于，，两直线线相交于a点。过a点作直线平平行于，，且=10。得到点，如图2.15(b)所示。2.3轴测图的基本本概念(3)在Y1轴上取。过点作直线平行于，且。得到点。连接两点，即得直直线AB的轴测投影。。(a)(b)图2.15直线的轴测投投影2.3轴测图的基本本概念2.平行于各坐标标面的圆的轴轴测图在工程零件中中常见的一类类基本立体是是回转体，如如圆柱、圆锥锥、圆球等。。回转体的轴轴测图主要涉涉及到垂直于于回转轴的圆圆的轴测图。。圆的轴测投投影一般情况况下会变形为为椭圆。对应应各种不同类类型的轴测图图，椭圆的长长短轴的比例例会不一样，，与相应轴测测轴的夹角也也会因此而不不一样。本节节仅介绍平行行于各坐标面面的圆的正等等测和斜二测测。1)平行于各坐标标面的圆的正正等测平行于坐标面面的圆的正等等测图(如图2.16所示)，可采用坐标标法绘制(绘图步骤如图图2.17所示)，这种作图方方法虽然较为为精确，但很很繁琐，对于于参考图形或或效果图来说说也没有必要要。工程上常常用几何上推推导出的一种种近似画法(仅适用于正等等测图)来绘制。即将将正等测图中中的椭圆近似似看成是四段段圆弧相切而而成。作图时时只要找到这这四段圆弧的的圆心和切点点，即可画出出，因此称这这种近似画法法为“四心椭椭圆法”。现现以平行于水水平投影面的的圆的正等测测图为例，说说明四心椭圆圆法的作图方方法，其作图图步骤如图2.18所示2.3轴测