2022-2023学年北师大版必修第一册 1.1.1　第2课时　集合的表示 课件（39张）

第2课时集合的表示第一章课标要求1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.了解空集的含义.3.会用区间表示集合.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

集合的表示方法1.列举法列举法是把集合中的元素

出来写在花括号“{

}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.

元素与元素之间必须用“,”隔开

2.描述法描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.一一列举

名师点睛1.用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)集合的元素必须是明确的;(2)不必考虑元素出现的先后顺序;(3)集合的元素不能重复;(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}.2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合.3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结.如集合{x|x<0或x≥3}.4.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D={x∈R|x<9}可以表示为D={x|x<9}.5.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故该集合中元素是不确定的.6.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.(

)(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.(

)(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.(

)(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.(

)××√√2.下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么?提示它们是互不相同的集合.①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R;②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点};④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合.知识点2

集合的分类1.集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有

的集合叫作有限集,含有

的集合叫作无限集.

2.把不含有任何元素的集合叫作

,记作

.

名师点睛1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集.2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0.有限个元素

无限个元素

空集

⌀过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示,属于有限集.(

)(2)一元二次方程解的集合可以是空集.(

)×√2.空集是有限集还是无限集?提示空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.知识点3

区间及其表示1.设a,b是两个实数,且a<b,我们作出规定:

此条件不能省略

定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}

[a,b){x|a<x≤b}

(a,b]这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上表示区间时,用实心点表示

区间的端点,用空心点表示

区间的端点.

半开半闭区间

半开半闭区间属于不属于2.实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“

”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为如下情况:

“∞”处一定要用开区间符号

定义符号数轴表示{x|x≥a}[a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤b}(-∞,b]{x|x<b}(-∞,b)无穷大名师点睛1.区间左端点的值小于右端点的值.2.有完整的区间外围记号.3.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)集合{1}可用区间[1,1]表示.(

)(2)区间可以表示空集.(

)(3)有的区间和集合可以互化.(

)××√2.用区间表示下列数集:(1){x|x≥1}=

;

(2){x|2<x≤3}=

;

(3){x|x≤-5}=

;

(4){x|-1≤x<2}=

.

答案

(1)[1,+∞)

(2)(2,3]

(3)(-∞,-5](4)[-1,2)重难探究•能力素养全提升探究点一集合的表示角度1用列举法表示集合【例1】

用列举法表示下列集合:(1)方程x2-1=0的解组成的集合;(2)单词“see”中的字母组成的集合;(3)所有正整数组成的集合;(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.解(1)方程x2-1=0的解为x=-1,或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.规律方法

1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合;(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间无顺序,满足无序性.2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集、点集,还是其他集合.变式训练1用列举法表示下列集合:故方程组的解集为{(2,1)}.(2)不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}.(3)由式子可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.角度2用描述法表示集合【例2】

用描述法表示下列集合:(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(3)不等式x-2<3的解组成的集合.解(1){(x,y)|y=-x}.(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.规律方法

1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合;(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;(3)使函数y=有意义的实数x组成的集合.解(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}.解学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对变式探究若把例3中的集合改为A=,哪位同学解答正确?解代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.探究点二集合表示方法的选择与转换【例4】

用适当的方法表示下列集合:(2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形},或{正方形}.(4)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.规律方法

表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.变式训练3用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){-3,-1,1,3,5}.解(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.探究点三已知集合中元素个数求参数范围【例5】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.解当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.规律方法

1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用.变式探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值范围.解得k<1,且k≠0.故k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}.变式探究2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围.解①当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}.本节要点归纳1.知识清单:(1)用列举法和描述法表示集合;(2)两种表示法的综合应用;(3)区间.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:点集与数集的区别.学以致用•随堂检测全达标1.已知集合A=,则下列关系式不成立的是(

)A.0∈A B.1.5∉A

C.-1∉A D.6∈A