高考随机变量和其分布列试题

高考随机变量和其分布列试题高考随机变量和其分布列试题高考随机变量和其分布列试题2011年高考《随机变量及其分布列》试题精选一、选择题:1.(浙江卷理科9)有5本不相同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A）15（B）25（C）35（D）45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得2223222AAAAAA2223322P1.5A552.(辽宁卷理科5)从1，2，3，4，5中任取2各不相同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=（A）18（B）14（C）25（D）123.(全国新课标卷理科4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）13（B）12（C）23（D）34解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有339种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为3913议论：本题观察排列组合、概率的看法及其运算和解析问题、解决问题的能力。4．（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的状况是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．12B．35C．23D．34【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种状况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率1113P.所以选D.22245．(湖北卷理科7)如图，用K、A1、A2三类不相同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2最少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为答案：B解析：系统正常工作概率为1C20.90.8(10.8)0.90.80.80.864，所以选B.6．(陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行旅游，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A）136（B）19（C）536（D）16【答案】D【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行旅游有11111111CCCCCCCC种，且等可能，最后一66554433小时他们同在一个景点有1111111CCCCCCC种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是6554433p1111111CCCCCCC655443311111111CCCCCCCC6655443316，应选D7.(四川卷理科12)在会集1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有获得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不高出．．．4的平行四边形的个数为m，则mn( )（A）415（B）13（C）25（D）23答案：B解析：基本事件：2从采用个，.其中面积为2的(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)2nC35156平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)；m=3+2=5故mn51153.8．(福建卷理科4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B．13C．12D．23【答案】C二、填空题:1.(浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司送到了个人简历，假设该毕业生获得甲公司面试的概率为23，获得乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司可否让其面试是相互独立的。记为该毕业生获得面试得公司个数。若5【答案】31P(0)，则随机变量的数学希望E12【解析】：212P(0)(1)(1p)3121p，的取值为0，1，2，321P(0)，122121121142P(1)(1)(1)(1)(1)(1)32322322122112112115P(2)(1)(1)(1)，32232232212P(3)211232212故E1452501231212121232.(江西卷理科12)小波经过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内扔掷一点，若此点到圆11心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波24周末不在家看书的概率为【答案】1316【解析】小波周末不在家看书包含两种状况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概141613率为.163.(湖南卷理科15)如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）PA;（2）PBA.答案：2PA;PBA14解析：（1）是几何概型：S2正PA；（2）是条件概率：S圆PAB1PBA.PA4评析：本小题主要观察几何概型与条件概率的计算.4.(湖北卷理科12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则最少取到1瓶已过保质期的概率为（结果用最简分数表示）答案：28145解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为P12CC2723028145.5.(重庆卷理科13)将一枚平均的硬币扔掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为11解析：。硬币扔掷6次，有三类状况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面32次数此后反面次数相同多；，③概率为331153C，①②的概率显然相同，故①的概率为622161516112326.(安徽卷江苏5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】13【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种,满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是2163.7．(福建卷理科13)盒中装有形状、大小完好相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不相同的概率等于_______。【答案】358．(上海卷理科9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律以下表x123?!P(ε=x)?请小牛同学计算的数学希望，尽管“！”处无法完好看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E。【答案】29．(上海卷理科12)随机抽取9个同学中，最少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每个月天数相同，结果精确到）。【答案】三、解答题:1.(全国卷理科18)依照过去统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主最少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的希望。【解析】：设该车主购买乙种保险的概率为p，由题：p(10.5)0.3，解得（Ⅰ）设所求概率为P1，则P1=1(10.5)(10.6)0.8.故该地1位车主最少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8.(Ⅱ)甲乙两种保险都不购买的概率为1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为，则B（100，0.2），E1000.220答：该地1位车主最少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8,的希望值是20。2.(四川卷理科18)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不高出两小时免费，高出两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不高出两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不高出三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会高出四小时。（Ⅰ）求出甲、乙所付租车花销相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车花销之和为随机变量，求的分布列与数学希望E；解析：（1）所付花销相同即为0,2,4元。111111设付0元为P1，付2元为P2，付4元为P34282481114416则所付花销相同的概率为PPPP123516（2）设甲，乙两个所付的花销之和为，可为0,2,4,6,8P(0)18P(2)11115442216P(4)111111544242416P(6)11113442416P(8)1114416分布列02468P18516516316116E55917848223.(山东卷理科18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队最少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学希望E.【解析】（Ⅰ）红队最少两名队员获胜的概率为=0.55.（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则P(0)=0.1;P(1)++=0.35;P(2)=0.4;P(3)=0.15.所以的分布列为0123数学希望E=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.4.(天津卷理科16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完好相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球很多于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学希望E(X).【解析】本小题主要观察古典概型及其概率计算公式、失散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,观察运用概率知识解决简单的实责问题的能力.（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件(0,1,2,3)Ai,则i21CC32P(A)322CC5315.（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=AA,23又11122CCCCC32232P(A)222CC5312117,且A2,A3互斥,所以23P(B)P(A)P(A).2510（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0,1,,2,P(X=0)=792(1),P(X=1)=1010077211C(1),P(X=2)=21010507492( )10100,所以X的分布列是X012P9214910050100X的数学希望E(X)=0910012150+249100=75.5．(江西卷理科16)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定薪水级别．公司准备了两种不相同的饮料共8杯，其颜色完好相同，并且其中4杯为A饮料，别的4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月薪水定为3500元；若4杯选对3杯，则月薪水定为2800元，否则月薪水定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月薪水的希望．解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则i4iCC44P(xi)(i0,1,2,3,4)4C8，所以所求的分布列为X01234P116361617070707070（2）设Y表示该员工的月薪水，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，相对的概率分别为170，1670，5370，所以11653E(Y)3500280021002280．707070所以此员工薪水的希望为2280元．本题观察排列、组合的基础知识及概率分布、数学希望．6.(重庆卷理科17)某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与希望。解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有22C42种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为22C2844327（Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又31p1，432724C22143p2，4327p323CA443439综上知，的分布列为：123p114427279从而有E11446512327279277．(湖南卷理科18)某商店试销某种商品20天，获得以下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充．至．．3件，否则不．进．货．.将频率视为概率.求当天商店不进．货．的．．概率；记X为第二天开始营业时该商品视为件数，求X的分布列和数学希望.解：P“当天商店不进货”=P“当天商品销售量为0件”+P“当天销售量为1件”153202010由题意知，X的可能取值为2，3.PX2P“当天销售量为1件”52014PX3P“当天商品销售量为0件”+P“当天销售量为2件”+P“当天销售量为3件”12092052034故X的分布列为X23P1434所以X的数学希望为1311EX23.444评析：本大题主要观察生活中的概率统计知识和方法.求失散型随机变量的分布列和数学希望的方法，以及互斥事件概率的求法.8.(陕西卷理科20)如图，A地到火车站共有两条路径L和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不1影响，所用时间落在各时间段内的频率以下表：时间（分钟）10202030304040505060L的频率1L的频率2现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。（Ⅰ）为了尽最大可能在各自赞同的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在赞同的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学希望。【解析】：（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i1,2用频率估计相应的概率可得，1P(A)0.10.40.5。P(A1)P(A2)甲应选择L12P(B)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9P(B1)P(B2)乙应选择L21（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自赞同的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知P(B)0.9又由题意知，A，B独立，P(X1)P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(X)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54X的分布列为X0129.(辽宁卷理科19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间