大一高数期末考试复习题

本页满分36分本页得一．填空题（共5小题，每题4分，共计20分）分1lim(exx)x2.1．x012005exexdxx1x2．1.xyt2xdy3．设函数yy(x)由方程edtx01确定，则dxxf(x)4.设fx可导，且tf(t)dt，f(0)1，则fx.15．微分方程y4y4y0的通解为.二．选择题（共4小题，每题4分，共计16分）

.1．设常数kf(x)lnxxke0，则函数在(0,(A)3个;(B)2个;(C)12．微分方程y4y3cos2x的特解形式为（（A）yAcos2x;（B）y（C）yAxcos2xBxsin2x;（D）y*3．以下结论不用然成立的是（）.

)内零点的个数为（个;(D)0个..Axcos2x;Asin2x.

.dxdxbxdx（A）若c,da,b,则必有ff;cabxdx0（B）若f(x)f0在a,b上可积,则a;aTT（C）若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有fxdxa0xtdt（D）若可积函数ftfx为奇函数,则0也为奇函数.1f1exx14.设23ex,则x0是f(x)的（）.(A)连续点;(B)可去中止点本页满分12分(C)跳跃中止点;(D)无量中止点.本页三．计算题（共5小题，每题6分，共计30分）得23x2dx0xe分1．计算定积分.

fxdx;;xsinxdx2．计算不定积分cos5x.本页满分12分本页得xa(tsint),t分3．求摆线y2处的切线的方程.a(1cost),在F(x)xt)dt4.cos(x2设0，求F(x).本页满分15分本页n(n1)(n2)(n3)(2n)得5．设xnnlimxn分，求n.四．应用题（共3小题，每题9分，共计27分）1．求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.本页满分18分本页2．设平面图形D由x2y22x与yx所确定，试求D绕直线x2得分旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设a1,f(t)atat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小?并求最小值.本页满分7分本页五．证明题（7分）得f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)分设函数内可导且f(0)=f(1)0,f(1)1，2试证明最少存在一点(0,1),使得f()=1.一．填空题（每题4分，5题共20分）：11lim(exx)x2e2.1．x01x2005exexdx4x12．1e.xyet2dy3．设函数yy(x)dtxx0e1.由方程1确定，则dxx1x24.设fx可导，且tf(t)dtf(x)1，则fxe2.1，f(0)5．微分方程y4y4y0的通解为y(CC2x)e2x1.二．选择题（每题4分，4题共16分）：1．设常数k0，则函数f(x)lnxxk(0,)内零点的个数为（eB）.在(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程y4y3cos2x的特解形式为（C）（A）yAcos2x；（B）yAxcos2x；（C）yAxcos2xBxsin2x；（D）y*Asin2x3．以下结论不用然成立的是（A）dxdxbfxdx(A)(A)若c,da,b,则必有f;cabxdx0(B)(B)若f(x)f;0在a,b上可积,则a(C)(C)若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有aTxdxTfxdxfa0;xtdt(D)(D)fxtf若可积函数为奇函数,则0也为奇函数.1fx1ex14.设23ex,则x0是f(x)的（C）.(A)连续点;(B)可去中止点;(C)跳跃中止点;(D)无量中止点.三．计算题（每题6分，5题共30分）：1．计算定积分2x3ex2dx.0设x2t,则2x3ex221tetdt12tdx022tde解：100-------2tet22tdt20e0-------2e21et213e22022--------22．计算不定积分xsin5xdx.cosxxsinxdx1xd(1)1xdx544444x解：cosxcosxcosxcos--------3x1(tan2x1)dtanx4cos4x4x1tan3x1tanxC4cos4x124-----------3xa(tsint),tya(12处的切线的方程.3．求摆线cost),在(a(1),a)解：切点为2-------2dyasintka(1cost)tdxt1-------222yaxa(1)yx(2)a切线方程为2即2.-------2F(x)xt)dtcos(x2F(x)2(2x24.设0，则2xcosx1)cos(xx).n(n1)(n2)(n3)(2n)xnnlimxn5．设，求n.lnxn1nln(1i)解：ni1n---------2ni)11limlnxnlimln(1x)dxln(1nni1nn0--------------2xln(1x)101x1dx2ln21------------2=01xlimxne2ln214故n=e四．应用题（每题9分，3题共27分）1．求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：y1x设切点为（x0,y0)，则过原点的切线方程为2x02，（x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x04,y02.-----3由于点过原点和点(4,2)的切线方程为yx22-----------------------------3s22222(y22y)dy3-------------------3面积0=s2141x22xdx(x2)dx3或0222222．设平面图形D由x2y22x与yx所确定，试求D绕直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：VV1V212(12101y2)dy(2y)2dy0212(y1)2dy1y0-------6211)312(14(y04)33--------312(2x)(2xx2x)dx0法二：V=21x)2xx2dx21x2)dx(2(2x00------------------5(22x)2xx222xx2dx41032(2xx2)23121143043212412232323-------------43.设a1,f(t)atat在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时t(a)最小?并求最小值.由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.解:lna---------------3又由t(a)lnlna10得唯一驻点aeea(lna)2------------3当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-----2aee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1lne11.故ee--------------1五．证明题（7分）设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)f(0)=f(1)0,f(1)1，内可导且2试证明最少存在一点(0,1),使得f()=1.证明：设F(x)f(x)x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------21)=11)=f(1111，[1，f(F()-=1-2=1]上F