江苏省南通市海门区2021-2022学年高三上学期第二次诊断测试数学试题

2022届高三第二次诊断测试数学一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A，B的关系是（）A．B．C．D．2．已知向量，则（）A．1B．C．2D．3．已知复数（i为虚数单位），复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（）A．B．C．D．4．设，则（）A．B．C．D．5．函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，点P在射线上，点Q在过原点且倾斜角为（为锐角）的直线上．若，则的值为（）A．B．C．D．7．星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式转换，其中M为绝对星等，m为目视星等，d为距离（单位：光年），现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为，则牛郎星与织女星之间的距离约为（）（参考数据：）A．26光年B．16光年C．12光年D．5光年8．若直线与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．10．已知某物体作简谐运动，位移函数为，且，则下列说法正确的是（）A．该简谐运动的初相为B．函数在区间上单调递增C．若，则D．若对于任意，，都有，则11．如图，已知正方体的棱长为2，则（）A．平面B．平面C．顶点到平面的距离为D．过顶点A可作2条不同直线与直线所成的角均为12．已知函数的定义域，且，若，则（）A．B．在上是偶函数C．若，则函数在上单调递增D．，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的图象在点处的切线方程为_________．14．写出一个定义域为R的函数，使得不等式的解集为，该函数_________．15，已知数列满足，则_________．16．已知D，E分别是边长为2的等边边的中点，现将沿翻折使得平面平面，则棱锥外接球的表面积为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设数列的前n项和为．（1）求；（2）求数列的前n项和．18．（12分）在中，点D是边上的一点，．（1）求的值；（2）若，求的长．19．（12分）如图，四棱锥中，，且，O是的中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．20．（12分）已知点D，P在锐角所在的平面内，且满足．（1）若，求实数x，y的值；（2）已知，其中S为的面积．①求证：；②求的最小值，并求此时的值．21．（12分）已知函数．（1）求函数的最小值；（2）求证：函数存在两个零点（记为），且．22．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对成立，求实数a的取值范围．2022届高三第二次诊断测试数学一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】，∴，选A．2．【答案】B【解析】，选B．3．【答案】C【解析】在复平面内的对应点关于虚轴对称，，，选C．4．【答案】C【解析】，b最小，，∴，选C．5．【答案】C【解析】，则为偶函数，图象关于y轴对称，排除AD．时，，排除B．选C．6．【答案】D【解析】直线的频斜角设为，则，∴，，∴或．又∵为锐角，∴，即，，，，选D．7．【答案】B【解析】，∴，∴，最接近答案的为B．8．【答案】A【解析】与的图象有交点，∴有根，即与有根过作的切线，切点，，过，∴，则，∴，即，选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解析】，∴，A对．在，，∴，B对．，则，∴，∴，C错．，D对，选ABD．10．【答案】AC【解析】，∴，，∴，A对．在，，B错．，C对．的周期为，，，，∴此时，D错．选AC．11．【答案】BC【解析】法一：与平面不平行也不在平面内∴与平面不平行，A错．平面，∴平面，又平面，∴，平面，∴平面，又平面，∴．又∵平面，∴平面，B对．为平面的法向量，建系，到平面距离，C对．∵的外角平分线与和所成的角相等，均为，所以在平面内有一条满足需求．∵的角平分线与和所成的角相等都是，将角平分线绕点A向上转动到与面垂直过程中，存在两条直线与直线和所成的角为，∴符合条件的直线三条，D错．选BC．法二：对于A，∵与平面相交，，∴也与平面相交，A错．对于B，由三垂线定理知，∴平面，B正确．对于C，到平面的距离是D到平面距离的2倍，∴到平面的距离为，C正确．对于D，有3条，D错．选：BC．12．【答案】ACD【解析】法一：时，，即，A对．时，，当，即时，，∴不是偶函数，B错．时，，∴，∴，又∵定义域为，∴，∴，∴，即，∴在单调递增，C对．，∴，∴是以2为公比的等比数列，∴，D对，选ACD．法二：令，A正确．对于B，令，∴为上的奇函数，B错．对于C，任取且，则而∵，∴，∴在上，C正确．对于D，在原式中，令，令∴，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，，D正确．选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】，切线：，即14．【答案】【解析】，∴15．【答案】50【解析】∴16．【答案】【解析】B，C，D，E都在以为直径的圆上，圆心设为，半径为1，中点为H，则，令外接球球心为O，半径为R，令，∴，∴，∴．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证眀过程或演算步骤．17．【解析】（1）①当时，②，①-②，∴，∵，∴也满足上式，∴为等比数列且首项为1，公比为2，∴，∴．（2），∴①②①-②,∴．18．【解析】（1），．（2）在中，．19．【解析】（1）证明：∵平面平面，平面平面，∵，O为中点，∴，∴平面，∴，又∵，故四边形为菱形，∴，∵，∴平面．（2）∵与平面所成角为，∴，∴，如图建立平面直角坐标系，∴∴设平面和平面的一个法向量分别为，∴∴均指向所在半平面的内部，设二面角的平面角为，∴．20．【解析】（1），而，由平面向量基本定理知（2）①两边同除以②，当且仅当时取“=”此时，∴最小值