一同角三角函数基本关系式2022优秀文档

同角关系及诱导公式一、同角三角函数基本关系式1.倒数关系2.商数关系3.平方关系tan·cot=1sin2+cos2=1tan=cot=sincoscossin二、诱导公式奇变偶不变,符号看象限.3.本质通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的三角函数值相等或互为相反数,

反映了三角函数的周期性及各种对称性.1.定义2.口诀用自变量

的三角函数表示自变量为(kZ)的三角函数的公式叫诱导公式.2k1.已知

cot(-)=2,求

sin(

+)的值.32解:

∵cot(-)=2,又

cot(-)=-cot,∴cot=-2.∴

是第二或第四象限角,且

tan=-.12∴cos2==.1+tan2

145又

sin(

+)=-cos,32255,

是第二象限角,255,

是第四象限角.-∴sin(

+)=

32∴cos=255,

是第四象限角.255,

是第二象限角,-典型例题2.已知

cot=m(m0),求

cos.

解:

∵cot=m(m0),∴角

的终边不在坐标轴上.若

是第一或第二象限角,则

csc=

1+cot2

=

1+m2.∴sin=csc11+m21=.∴cos=sincot=

.m1+m21+m2若

是第三或第四象限角,则

csc=-

1+cot2

=-

1+m2.∴sin=csc11+m21=-.∴cos=sincot=-.m1+m21+m23.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.23解法1将已知等式两边平方得

sincos=-

<0,187∵0<<,∴sin>0.∴由

sincos<0

知

cos<0.∴sin-cos=(sin-cos)2=

1-2sincos

=.43sin+cos=,sin-cos=,4323解方程组得sin=,cos=.2

+462

-46∴tan==

.sincos-9-4

27解法2将已知等式两边平方得

sincos=-

<0,187∵0<<,∴sin>0.∴由

sincos<0

知

cos<0.∴tan==

.sincos-9-4

27∴sin,cos

是方程

x2-x-=0

的根,且

cos

为小根.

18723∴cos=,sin=.2

+462

-463.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.23解法3由已知

sin,

,cos

成等差数列,设其公差为

d,则26∴sin=

-d,26cos=

+d.26∴由

sin2+cos2=1得:(

-d)2+(

+d)2=1.2626解得

d=-或.2323∴tan==

.sincos-9-4

27∴cos=,sin=.2

+462

-46当

d=

时,sin

=

<0,与

0<<

时

sin>0矛盾,232

-46∴d=-.233.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.234.已知

f()=

.(1)化简

f();sin(-)cos(2-)tan(-+

)32cot(--)sin(--)(2)若

是第三象限角,且

cos(-)=,求

f()

的值;3215(3)若

=-

,求

f()

的值;331解:(1)f()=sincoscot

-cotsin

=-cos;(2)∵cos(-)=-sin,32∴由已知可得

sin=-.15∵

是第三象限角,∴cos<0.∴cos=-

1-sin2

=-256.256∴f()=-cos=.(3)∵

=-

=-62+

,33153∴f(-

)=-cos(-

)33133153=-cos(-62+

)=-cos

53=-cos=-.123

5.已知

0<<

,tan

+cot

=

,求sin(-

)的值.522

2

2

3

解:

∵tan

+cot

=

,2

2

sin

2∴由已知可得

sin=

.45∵0<<

,2

cos=

1-sin235∴=

.∴sin(-

)=sincos

-cossin3

3

3

=

×-×12354532=(4-33

).1016.已知

为锐角,且

tan=

,求的值.sin2cos-sin

sin2cos212解:

∵tan=

,12又∵

为锐角,1+tan2

1∴cos2==

.45∴cos=

.52∴原式=2sincos2-sin

2sincoscos2

sincos2

2sincoscos2

=1

2cos

==.547.已知

tan(-)=2,求:(1);(2)2sin(3+)cos(+)+sin(-)sin(-).4cos2-3sin2+1sin2-2sincos-cos2

3252解:(1)∵tan(-)=2,又

tan(-)=-tan,∴tan=-2.∴原式=

5cos2-2sin2

sin2-2sincos-cos2

1+tan2

2tan2-tan

=5-2tan2

tan2-2tan-1==-.73(2)由(1)知tan=-2,∴原式=2(-sin)(-sin)+(-cos)sin

=2sin2-sincos

=cos2(2tan2-tan)=2.8.角

的终边上的点

P

与

A(a,

b)

关于

x

轴对称(a0,

b0),角

的终边上的点

Q

与

A

点关于直线

y=x

对称,求

sinsec+tan

∙cot+seccsc

的值.解法1依题意

P(a,-b),Q(b,a),设

r=

a2+b2,则:sin=-,sec=

,tan=-,cot=

,sec=,csc=.brrbbabarara∴原式=-

+(-)

+brrbbabarara=-1-

+=0.a2+b2a2b2a2解法2依题意

-=2k+

(kZ),即

=2k+

+.2

2

∴原式=sin+tancot(2k+

+)+

cos(2k+

+)2

12

cos

1sin(2k+

+)2

1=sin+tan(-tan)+-sin

1cos

1cos

1=-1-tan2+sec2

=0.课后练习1.已知

sin+sin2=1,求

cos2+cos4的值.解:由

sin+sin2=1

得sin=1-sin2=cos2.∴cos2+cos4=sin+sin2=1.2.已知

cos=(m≤-1),求

sin,cot.

m2+12m

解:由已知

cos<0,

∴角

的终边在第二或第三象限或为

x

轴的非正半轴.当角

的终边在第二象限或为

x

轴的非正半轴时,sin=

1-cos2=

,m2+1m2-12m

tan==.sincosm2-1当角

的终边在第三象限时,sin=-

1-cos2=

,1+m21-m22m

tan==.sincos1-m2已知cotx=m,x(2k-,2k)(kZ),求cosx的值.tan==.∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.解得d=-或.=-1-tan2+sec2∴sin,cos是方程x2-x-=0的根,且cos为小根.tan==.∴sec(+)=-∴由sincos<0知cos<0.已知tan(-)=2,求:(1);=sin45ºcos60º+cos45ºsin60º∴cos=sincot=-.∵0<<,∴sin>0.∴cos=,sin=.∴()2=1+2.sin2+cos2=13.设

sin,cos

是方程

2x2-(

3

+1)x+m=0

的两根,求:(1)

+及

m

的值;(2)方程两根

sin,cos

及此时

的值.1-cot

sin1-tan

cos解:(1)由已知

sin+cos=

,sincos=.

3

+122m1-cot

sin1-tan

cos∴

+=+1-

sin1-

coscossinsincos=cos-sin

cos2-sin2

=+cos-sin

cos2

sin-cos

sin2

=sin+cos=

.

3

+12∵(sin+cos)2=1+2sincos,2m∴()2=1+2

.

3

+12解得

m=.32解:(2)由(1)知原方程为

2x2-(

3

+1)x+

=0.

32∴

=2k+或

=2k+(kZ).3

6

3.设

sin,cos

是方程

2x2-(

3

+1)x+m=0

的两根,求:(1)

+及

m

的值;(2)方程两根

sin,cos

及此时

的值.1-cot

sin1-tan

cos解得

x1=

,x2=.1232sin=

,cos=,12sin=,cos=,12∴或3232∴由sincos<0知cos<0.且tan=-.(1)+及m的值;(2)方程两根sin,cos及此时的值.∴=.∴角的终边在第二或第三象限或为x轴的非正半轴.∴sec(+)=-奇变偶不变,符号看象限.∴cos=,sin=.∴由sin2+cos2=1得:(-d)2+(+d)2=1.csc=-1+cot2∴sin与cos异号.cos2-sin2∴-<cos<0,0<sin<.解:∵=sinA+cosA=2sin(A+45º),∴|cos|=-cos.5.已知

tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求

sec(+)

的值;4.已知

cos(-)=a(|a|≤1),求

cos(

+)+sin(-)

的值;566

23解:

∵cos(-)=a(|a|≤1),6

∴cos(

+)=cos[-(-)]566

=-cos(-)=-a,6

=cos(-)=a,6

sin(

-)=sin[

+(-)]236

2

∴cos(

+)+sin(-)5623=-a+a=0.解:∵tan(-)=a2,又

tan(-)=-tan,∴tan=-a2.∵|cos(-)|=-cos,又

|cos(-)|=|cos|,∴|cos|=-cos.∴cos<0.∴sec(+)=-

cos1=

1+tan2

=

1+a4.6.若

+

=0,试判断

cos(sin)sin(cos)

的符号;1-cos2

sin

1-sin2

cos|cos|sin

|sin|cos解:

由已知+

=0,∴sin

与

cos

异号.∴

是第二或第四象限角.当

是第二象限角时,-1<cos<0,0<sin<1.∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.∴cos(sin)sin(cos)<0.故

cos(sin)sin(cos)

的符号为“

-

”号.当

是第四象限角时,同理可得

cos(sin)sin(cos)>0.故

cos(sin)sin(cos)

的符号为“

+

”号.∵-<-1,1<,2

2

∴-<cos<0,0<sin<.2

2

解:

∵

是第二象限角,7.已知

sin=

,cos=,若

是第二象限角,求实数

a

的值.1+a

3a-11+a

1-a

∴0<sin<1,-1<cos<0.

1+a

3a-11+a

1-a

0<<1,-1<<0,∴解得

0<a<.13又

sin2+cos2=1,

1+a

3a-11+a

1-a

∴()2+()2=1.整理得

9a2-10a+1=0.解得

a=

或

a=1(舍去).19故实数

a

的值为.198.在

△ABC

中,sinA+cosA=

,AC=2,AB=3,求

tanA

的值和

△ABC

的面积.22解:

∵

=sinA+cosA=2

sin(A+45º),22∴sin(A+45