专题11空间向量与立体几何-2015年高考理数备考学易黄金易错点解析版

【易错雷区，步步为赢】

A. B. C．2πD.【答案】 A.3C.23【答案】

B.222D.如图，边长为2的正方体A1C中，作对角线A1C的垂面，垂足为H，A1H＝x，垂面与上表面相交得到的线段长为y，则y＝f(x)的大致图象为( 【答案】 A.0，2

4 3

，3C.0，4

8 3

，3【答案】 E，FAC1② 2

1→1A1D1M，CDNMNA1DB④E为△A1BDK为△B1CD1

证明：O1O⊥底面∴B1O⊥平面∴∠O1EC1C1－OB1－D的一个平面角，则

111∴O1C1＝a，B1O1＝3a，OO1＝2a，B1O＝BO2＋OO2＝111O1E＝B

2a

2×aRt△O1EC1×a可得EC1＝O1E2＋O

7＝

127

72

7

197

19

2

19ABC－A1B1C1A1ABCDAC(2)AA1BCC1B1的距离为3A1－AB－C(2)∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面AA1C1CA1E⊥CC1，EA1EBCC1B1，AA1BCC1B1，

＝1，CD＝MPCAPBM

，QAD∴D∥B.QB⊥AD.

PADABCD，∵MPC的中点

3

－2，2，2∴→ →

3AP＝(－1,0，3)，BM＝－2，－2，2APBMcosθ＝|cos〈→〉 → →＝ 2 2＝→→

＝72222

2×AP

所成角的余弦值为7【名师点睛，易错易错1、利用空间向量证明平行与垂1、(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD＝120°，E，FAC，DC图ABCBDC，EOBDC.因此∠EGOE－BF－C在△EOC中 3 BGO∽△BFC知 3＝＝＝2EC＝2BC·cos＝＝

4因此tan∠EGO＝EO＝2，从而 2

＝52的正弦值为5图(2)如图(2)BFCn1＝(0,0,1)．BEFn2＝(x，y，z)，→又BF＝

3，2，2， ，2，2 得其中一个n2＝(1，－＝设二面角E－BF－C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n，n〉|＝n1·n2 1.＝因此sin 2 2

2＝＝＝5

5，即所求二面角的正弦值为5易错2、利用空间向量求空间角AC⊥AB1OB1C 以O为坐标原点，OB，OB1，OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|OB|为单位长，建立的O－xyz.mA1B1C1则→m＝(1，－3， 1本题主要考查线面垂直的判定与性质，二面角大小的求解及空间向量的坐标运算等知识，以空间几何体[思路方法](1)充分利用菱形中蕴含的垂直关系，用传统的方法(综合法)即可证明．θφnθ＝cos；(3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二易错3、利用空间向量解决探索性问＝2，AB＝1EPCBEPBDFPCBF⊥ACF－AB－PEPCE(1,1,1)． FPC上，设 故→BF⊥AC，得BF·AC＝0，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，→

意在考查考生利用空间向量解决几何问题的方法及空间想象能力、运算能力和推理论证能力．(2)PBD的法向量． 一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为( B．(1,1，C．(1,1， D．(2,2，【答案】 → → → → 【答案】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹 B. 2 5【答案】

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所

C.2

3 【答案】

D. →cos→1→〉＝BC1·AE＝30.BC1AE所成角的余弦值为

→

104ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为3P4 【答案】②若BD1⊥平面PAC，则

【解析】在正方体中，易证A1D⊥平面AD1C1B，又C1P⊂平面AD1C1B，所以A1D⊥C1P，①正确 1BD1，即 标系，设正方体的边长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，又BP＝λBD1，所以－λ，λ)，若△PAC为钝角三角形，只能是∠APC是钝角，所以→→

CBDABD.∵AE＝22，∴GH＝ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4E，FAB，CDGEFEFABCDAEFDAG＋GC1A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,2)，∴ ∴→DBG∵G(0,1,0)，∴→＝(－2,1,0)，→

x＝1y＝2，z＝－1，∴n1＝(1,2，－1)．BCGn2＝(0,0,1)，〉 n1·n2 〉 .∴此二面角的余弦值为.6由于HG＝1，在△OHG中 2＝5DH＝2，在△DOH

＝OH＝＝∴cos 6＝.∴此二面角的余弦值为.6SA＝AB＝BC＝2，AD＝1MSB的中点．求证：AMSD；SCDSA