初三自主招生教学案18分式

分知识梳理：1、分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成A的形式。如果B中含有字母，式子A 做分式2、分式的基本性质：AAM；AAMM B B3、分式的运算： A AD（1）加减法： ； 乘除法：ACACACAD B A 乘方：B 4、整数指数幂na01aapa

a0，p是正整数例题精讲：例1：若a2b2c2bc，则cb的值是 a a 3a2例2：（1）a ，b ，则 3a25abx23xy（2）x2xy2y201例3：设a、b是实数， 1

x2

1， 1

1 b

14：化简2a23a2a2a53a24a52a28aa a a a例5：已知abc1，求

aba bcb cac第1例1：已知a、b、c均为非零

abb

aba

， 题型三：拆项相消法1：（1）试证：

1 （其中n是正整数（2）计

nn1

n 1 2 9 （3）证明：对任意大于1的正整数n，有11 1 2 3 nn 例2：化简分式： x23x x25x x27x题型四：因式分解法例1：已知实数a、b、c满足abc0，abc8，则111的值为 A.正 B. C.负 D.可为正数，也可以为负a2b例2：化简求值：ac2b

b2cab2c

c2abc2a x例3：化简求值： x1

13xx2x3

11x22x1x2x 1x32x1题型五：求倒拆分法 x 1：x2x1aa2，a0x4x21 ，例2：已知实数a、b、c满足条件 1，bc，

1， 的值a 3b 4a abbc同步练习：练：计算

(a1

b1

c

)(

1

abbc

2xy，则x x x练习3：已

a，

b，

c，求证：

b y

z

x

1

1b14xyz（a，b，c互不相等）xyza b c m2

m12m

n2

1mn第3练习6试证：对任意的正整数n

＜12 23 n(n1)(n ＜练习7已知a、b、c为实数，且a2b2c21a11b11c113 c a b练习8：化简（式中a、b、c两两不相等）： 2ab b2a2abac

2bcabbc

2caacbc 1

xx2xx练习9：化简分式：x x

x

x11x x1

2x x

2xx 0：若x2mx11，求x6m3x31的值参考答1：答案：1解析：直接通分，得到原式

b2c2abaca2bcab

，根据已知条件

bc

，所以原式等于1说明：如果方程或代数式没有很强的规律性，可以先直接通分，找到与已知条件相关的结论得到答案例2：答案：（1）3；（2）5或 a3a 解析：（1）原式

3aba a 12 说明：若直接带入求解较复杂，若分子分母能因式分解，然后能够约分，可先化简再计算（2）已知方因式分解，求得xy0或x2y0，所以xy或x2y，分别带入原式求解即可例3：答案32解析：观察到题目中有两处1a和1b，且ba1b1a，所以不妨设1ax，1by，则原方x，yy23xyx20y35x，所以原式=y35。 说明：如果方程或代数式中有较强的规律性，可以用整体思想，必要的时候设未知数求解例4：答案

8a(a1)(a2)(a2)(a解析：原式=2a22aa11a22a3a613a26a2a412a26a2a6

1a

1

1 a=(2a1)

(a3)

(3a2)

(2a2) a1 a a2 a=(2a1)(a3)(3a2)(2a2) 1a a a a=a

a

a

a (a1)(a (a2)(a(a2)(a3)(a1)(a=(a1)(a2)(a2)(a 8a(a1)(a2)(a2)(a说明：直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多。例5：答案：1第5abc代替1，从而使化简更简洁。下面提供三种化简变形的方法，可仔细体会，其化简中的本质的东西。原式

b aba

bcb1

cac b1= b1=1b1b

bbb

bcabc1bc原式= a

ab aba abcb abcac aba abcab abaaab=aba

1ab

a1

，将之代入原1 1原式= b

bcb c c b1=1b1b

b

1bc例1：答案：8或abcabcabck abk 则ack bck ab ab 所以abck10，故k1abck1abacbc

2c2b2aabc0abacbccba 说明：引进一个参数 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用题型三：拆项相消法例1：答案：（1）证明：1 (n1)n n n(n n(n 11（n是正整数）n(n n解：由（1）可1 1 2 ) (11(11(11) 9＝

1． 证明：

1 1

n(n ＝(1

)(1

( 111 n11＝ nn

一定为正数 2 3 n(n 解析 1 是常考的一种变形n(n n例2：答案 x25x1解析：原式

x2x x2x x3x= 1 x x2x x3x x4= x

x

x25x第7说明：三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简。本题在将每个分式的母因式分解后，各个分式具有

的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，这种化简的法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧1：答案：C解析：常见的代数式化简：

11abbcac，常用的三数和平方公式 abc2a2b2c22abbc 例2： abcab解析：原式

bcabca

cabcaacbac bcabc=abcbcaacbabcab ab ab abx 2x23x x 13xx 1 2x3x22x x2 2xx21x2解析：原式=

x3

x x32x22x x3

x

x

xx2 x212x1 x

x=x

x1x

x12x 2x

3x题型五：求倒拆分法例1：答案

1x2x 12aa解析：由题意得， xx1a，所以xxa1，x

x

a

2 ，2x4x21 1 x a x xx21 a ，所以x4x211说明：当分式的分子为乘积式，分母为和时，可考虑求倒数例2：答案

解析：ab61

3bc114a

34 ，

6

所以abbcac1116，所 同步练习：练：答案

abbc =解析：原 [3(111)](111)=

1abbc abbc abbc2练习2：答案122解析：解法一：由求根公式法得x1 2y，分别带入解得原式=1 2解法二：观察发现x2y2xyxy，xyxy2x，xyxy2y，所以不妨 2 xya，xyb，所以原 化为

2b，所x 2 12x 练习3：解析：观察式子a，b，c很有规律，不妨先算其中一个找到规律：a1xyz， 1a1b1 y 1 xy所以1

1

xy

xy

xy

xyzxy练习4：解析：用设k法，设原式为k，得到三个方程，相加即可练习5：答案

解析： 1 m2 m12m n2 mm m1m nn n 1根据

11

1

，因

11 nn

n

n

226：证明略解 ：因为1nn

n1n2

n2

2

，所1 11 1

12 23 nn1n 21 23 2 34

n1n211

1

21 n1n 2n1n 练习7答案：0或 a11b11c11bcacbcxaxbx， x1113xab

a

ababcabc 0 c 第9因为abc2a

c

2abbcac，所abbc

x21abbcac01x210，x1

2练习8：答案原式

aba

babc

cacb

1

1 aba bab cac a a b a b a9答案a

a2 x 1

aa21 ∴原式

a

a2a3a2

a