教学第八章柱体扭转-元件课件

第八章柱体扭转圆轴扭转——平面假设非圆截面柱体——横截面翘曲柱体扭转精确求解是十分困难的第八章柱体扭转圆轴扭转——平面假设目录§8.1

扭转问题的基本解法§8.2

薄膜比拟法§8.3

椭圆截面杆件的扭转§8.4

矩形截面杆件的扭转§8.5

开口薄壁杆件的扭转目录§8.1扭转问题的基本方程柱体扭转横截面翘曲自由扭转——翘曲不受限制约束扭转——翘曲受到限制弹性力学讨论自由扭转§8.1扭转问题的基本方程柱体扭转柱体自由扭转计算模型自由扭转假设1.刚截面假设2.翘曲假设位移解法基本方程§8.1基本方程2单位长度相对扭转角

调和方程柱体自由扭转计算模型§8.1基本方程2单位长度相对扭转柱体扭转边界条件侧面边界条件翘曲函数表达端面边界条件困难端面边界条件T=GDj§8.1基本方程3柱体扭转边界条件侧面边界条件翘曲函数表达端面边界条件困难端面柱体扭转应力解法扭转应力函数y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函数

§8.1基本方程4yc=const

边界条件侧面端面单连域取为0柱体扭转应力解法§8.1基本方程4yc=const边界§8.2薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布

薄膜比拟§8.2薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）薄膜边界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所围的体积调整薄膜的高度，使2V=T，则 Z=y

薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式yc=0

§8.1基本方程4薄膜边界垂度Z=0薄膜垂度微分方程薄膜所围的体积薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布薄膜的等高线

§8.1基本方程4切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方向导数成正比切应力与等高线相切切应力线

ts薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布§8.1基§8.3椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转应力函数§8.3椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件最大切应力横截面翘曲§8.3椭圆截面杆件2扭转应力最大切应力§8.3椭圆截面杆件2扭转应力§8.4矩形截面杆件扭转矩形截面杆件扭转应力函数构造困难应力解法基本方程为泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。§8.4矩形截面杆件扭转矩形截面杆件任何泊松方程，只要找协调方程

特解

协调方程侧面边界条件§8.4矩形截面杆件2协调方程协调方程§8.4矩形截面杆件2协调方程侧面边界条件设§8.4矩形截面杆件3协调方程设§8.4矩形截面杆件3根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以协调方程的特解线性迭加就是方程通解

根据边界条件所以§8.4矩形截面杆件4根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以协调方程的特解根据边界条件则两边同时乘以并在（-b，b）区间积分，可得应力函数§8.4矩形截面杆件5根据边界条件则两边同时乘以并在（-b，b）区间积分，可得j由端面面力边界条件确定

§8.4矩形截面杆件6j由端面面力边界条件确定§8.4矩形截面杆件6取n=0一项§8.4矩形截面杆件7tmax取n=0一项§8.4矩形截面杆件7tmax§8.5开口薄壁杆件狭长矩形杆件a/b≥10和g

→0.333最大切应力

单位长度扭转角§8.5开口薄壁杆件狭长矩形杆件开口薄壁杆件横截面由等宽度的狭长矩形组成§8.5开口薄壁杆2开口薄壁杆件横截面由等宽度的狭长矩形组成§8.5开口薄§8.5开口薄壁杆3§8.5开口薄壁杆3应力集中长边中点切应力给出了相当精确的解答局部切应力局部tmax与圆弧半径r与狭长矩形的短边di的比值有关

§8.5开口薄壁杆4应力集中§8.5开口薄壁杆4第八章柱体扭转圆轴扭转——平面假设非圆截面柱体——横截面翘曲柱体扭转精确求解是十分困难的第八章柱体扭转圆轴扭转——平面假设目录§8.1

扭转问题的基本解法§8.2

薄膜比拟法§8.3

椭圆截面杆件的扭转§8.4

矩形截面杆件的扭转§8.5

开口薄壁杆件的扭转目录§8.1扭转问题的基本方程柱体扭转横截面翘曲自由扭转——翘曲不受限制约束扭转——翘曲受到限制弹性力学讨论自由扭转§8.1扭转问题的基本方程柱体扭转柱体自由扭转计算模型自由扭转假设1.刚截面假设2.翘曲假设位移解法基本方程§8.1基本方程2单位长度相对扭转角

调和方程柱体自由扭转计算模型§8.1基本方程2单位长度相对扭转柱体扭转边界条件侧面边界条件翘曲函数表达端面边界条件困难端面边界条件T=GDj§8.1基本方程3柱体扭转边界条件侧面边界条件翘曲函数表达端面边界条件困难端面柱体扭转应力解法扭转应力函数y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函数

§8.1基本方程4yc=const

边界条件侧面端面单连域取为0柱体扭转应力解法§8.1基本方程4yc=const边界§8.2薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布

薄膜比拟§8.2薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）薄膜边界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所围的体积调整薄膜的高度，使2V=T，则 Z=y

薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式yc=0

§8.1基本方程4薄膜边界垂度Z=0薄膜垂度微分方程薄膜所围的体积薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布薄膜的等高线

§8.1基本方程4切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方向导数成正比切应力与等高线相切切应力线

ts薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布§8.1基§8.3椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转应力函数§8.3椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件最大切应力横截面翘曲§8.3椭圆截面杆件2扭转应力最大切应力§8.3椭圆截面杆件2扭转应力§8.4矩形截面杆件扭转矩形截面杆件扭转应力函数构造困难应力解法基本方程为泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。§8.4矩形截面杆件扭转矩形截面杆件任何泊松方程，只要找协调方程

特解

协调方程侧面边界条件§8.4矩形截面杆件2协调方程协调方程§8.4矩形截面杆件2协调方程侧面边界条件设§8.4矩形截面杆件3协调方程设§8.4矩形截面杆件3根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以协调方程的特解线性迭加就是方程通解

根据边界条件所以§8.4矩形截面杆件4根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以协调方程的特解根据边界条件则两边同时乘以并在（-b，b）区间积分，可得应力函数§8.4矩形截面杆件5根据边界条件则两边同时乘以并在（-b，b）区间积分，可得j由端面面力边界条件确定

§8.4矩形截面杆件6j由端面面力边界条件确定§8.4矩形截面杆件6取n=0一项§8.4矩形截面杆件7tmax取n=0一项§8.4矩形截面杆件7tmax§8.5开口薄壁杆件狭长矩形杆件a/b≥10和g

→0.333最大切应力

单位长度扭转角§8.5开口薄壁杆件狭长矩形杆件开口薄壁