矩阵分析阶、可逆则矩

第八章

广义逆矩阵阵方程定理：设A

是数域K

上一个s

n

矩阵，则矩总是有解。如果rank(A，并且其中P与Q

分别是s

阶、n

阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为AXA

A0QA

P

Ir

00

(1)(2)B

P1X

Q1

IrC

D(3)

其中B,C,D

分别是任意r

(s

r),(n

r)

r,(n

r)(s

r)矩阵。证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到：1

Ir0

B

P1P

Ir

0Q

0

0C

D

0

0

左边

P

Ir0

IrB

Ir

0

Q0

Q

P

Ir

0

0

CD

0

0

P

Ir

0

0

A

右边

B

Ir

0

Q

P

Ir

0

0

0

0

所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任，则由(1)和(2)得取(1)的一个解X

可逆，所以从上式得P

Ir

0Q0QGP

Ir

0Q

P

Ir

0

0

0

0

0

0

因为P,QIr0QGP

Ir0

Ir

0

0

0

0

0

0

0

(4)把矩阵QGP

分块，设代入(4)式得Ir即BQGP

HC

D0

HB

Ir

0

Ir

0

0

0

CD

0

0

0

0

H

0

Ir

0

0

0

0

0

(5)由此得出，H

，代入(5)式便得出这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解。矩阵，矩阵方程定义：设A

是一个s

AXA

A

的通解称为A

的广义逆矩阵，简称为A

的广义逆。我们用记号A

表示A

的一个广义逆。B

P1G

Q1

IrC

D

定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组

AX

有解的充分必要条件是证明：必要性。设

AX

有解

X

，则充分性。设

AA

，则取

A

得A

A(

A

)

所以

A

是

AX

的解。

AA

A

。因为

A

AA

A

，所以

A

AA

A

AA

解）为定理(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次线性方程组

AX

有解，则它的一般解(通的解：其中

A

是

A

的任意一个广义逆。证明：任取A

的一个广义逆A

，我们来证是方程组

AX

这表明A

是

AX

的一个解。X

A

X

A

已知

AX

有解，根据前一个定理得：

AA

A(

A

)反之，对于AX

的任意一个解

，我们要证存在

A

的一个广义逆

A

，使得

A

。设A是s

矩阵，它的秩为r

，且0QA

P

Ir

00

其中P

与Q

分别是s

阶、n

阶可逆矩阵。由于

A

的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵

B,C,D

，使B

P1

Q1

IrC

D即分别把

Q

,

P1

分块，设B

P1Q

IrC

D

先分析

Q

与

P1

之间的关系。由已知A

，因此我们有Ir0Q

P1

00

Q

Y1

}r

2

Y

}n

r行行(6)P1

Z1

}r

2

Z

}s

r行行0

Y1

Z1

0

Y

Z

Ir

0则(6)式成为，从而。设

2

2

，因为

0，所以取

B

0,

D

0,C

(0,

,0,

k

1Y

,0,

,0)i

22所以Y1

Z1,1P

0且设

ki

0

。1Z

01

1r,k

)，Z

(k

,则Ir从而只要取则

A

0

Z1

Z1

Y1

Q0

P1

Ir0

C0

0

CZ

Y

1

2

C于是

Q1

Ir0

P10C

1

Ir100

PA

QC定理(齐次线性方程组解的结构定理)：数域K上n元齐次线性方程组AX

0的通解为的X

(Inn

A

A)Z其中

A1是

A

的任意给定的一个广义逆，Z

取遍K

n

中任意列向量。证明：任取Z

K

n，我们有

A[(Inn

A A)Z

]

(

A

AA A)Z

0Z

0nn所以

X

(I

A

A)Z

是方程组

AX

0解。反之，设

是方程组AX

0

的解，要证存在我们有利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。nnZ

Kn，使得

(I

A

A)Z。取Z

(Inn

A

A)

A

A

A

(

A)

0

nn所以

X

(I

A

A)Z

是方程组

AX

0的通解。推论：设数域K

是n

元非齐次线性方程组AX

有解，则它的通解为X

A

(I

A

A)Znn其中A

是A

的任意给定的一个广义逆，Z

取遍K

n

中任意列向量。证明：我们已经知道

A

是非齐次线性方程组

AX

的一个解，又知道(Inn

A

A)Z是导出组AX

0

的通解，所以nnX

A

(I解。

A

A)Z

是

AX

的通伪逆矩阵定义：设A

Cmn，若A

Cnm

，且同时有AA

A

A,

A

AA

A(

AA

)H

AA

, (

A

A)H

A

A则称A

是A

的伪逆矩阵。上述条件称为Moore－Penrose

方程。例：1

10

0

120设

A

，那么

A

1

0

2

，其中B

是可逆矩阵，则如果

A是一个可逆矩阵，那么A

A11设

A

1

12，那么

A

1

2O设A

BO

OB1OA

OO

下面我们

伪逆矩阵的求法定理：设ACmn

,A

BC

是A

的一个满秩分解，则X

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH是A

的伪逆矩阵。例1

：设求

A

。解：利用满秩分解公式可得A

21 0 1

0 2A

BC

11 0 1

2

从而A

的伪逆矩阵是(1 21)1

1

2A

CH

(CCH

)1

(BH

B)1

BH

1

1

0

(1

0

1

0

)1

2

1

1

0

11 2

0

2

1

010

10

1

1

2

11

例2

：设求A

。解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为1A

122

A

BC

11

12

1

(1

11)1(121)1

1

2A

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH1

12

110

110

22

1

1

10

5

1

1

10

5

1

112

1

1

A

(

AH

A)1

AH若ACrn

，则rA

AH

(

AAH

)1定理：伪逆矩阵A

唯一。证明：设

X

,Y

都是

A

的伪逆矩阵，则r推论：若

ACmr

，则X

XAX

XAYAX

X

(

AY

)H

(

AX

)H

X

(

AXAY

)H

X

(

AY

)H

XAY

XAYAY

(

XA)H

(YA)H

Y

(YAXA)H

Y

(YA)H

Y

YAY

Y。n根据此定理知，若

ACnn

，则

A

A1定理：设A

Cmn

，则(

A

)

A(

AAH

)

(

AH

)

A

(

A

)H

A(

AH

A)

A

(

AH

)

A

(

A

)HA

AH

(

AAH

)

(

AH

A)

AH证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。设

A

BC

是

A

的满秩分解，则

AH

A

的满秩分解可以写成AH

A

CH

(BH

BC)其中CH

是列满秩，BH

BC

为行满秩，故由式X

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH

得(

AH

A)

(BH

BC)H

(BH

BCCH

BH

B)1(CCH

)1C

CH

(BH

B)H

(BH

B)1(CCH

)1(BH

B)1(CCH

)1C

CH

(CCH

)1(BH

B)1(CCH

)1C因此(

AH

A)

AH

CH

(CCH

)1(BH

B)1(CCH

)1CCH

BH

CH

(CCH

)1(BH

B)1

BH

A同理可证：AH

(

AH

A)

AHermite证明A

U

U

H

AH解：因为r例：设

ACmn

，则

AH

A

是正定或半正定矩阵，故存在U

Cnn

，使得1

2HHnA

A

Udiag(

,

, ,

)U

UUH1

2

nH

AHU

AU

diag(

,

, ,

)

1,2

, ,r

0,r1

r2

n

0不妨设则1AH

A

U

0U

Hr1

U

HU

H1

10U

Hr

U

1

r

nr0rn其中故于是110

r

11

1

,

H

r

1

1Hr

rr

r，知令

B

U

Cnr

,C

HUH

CrnH

1

r

1由

X

C

(CCH

)1(BH

B)1

BH(

AH

A)

U

(HU

HU

)1(HU

HU

)1

HU

H1

1

1

1

1

111rU

H

U

(H

)1(H

)1

HU

H1

1

1

1

1

1

1

U

U

H

U

0nn因此由

A

AH

(

AAH

)

(

AH

A)

AH得A

(

AH

A)

AH

UU

H

AH例：已知解：的特征值的特征向量为求A

。A

21

0 1

0

2HA

A311

10,2

0,

1011

1X

(2

2T,0,

)22

2X

(

1

,

0,

1

)T2

3的特征向量为故X

3

(0,1,

0)T1

10201002

2U

0

0

1,

0

1

1

21/100

0代入

A

U

U

H

AH

得：

1

1

10A

U

U

H

AH

0

105

0

1

15练：已知练习

2

：设1

01A

0

1

0求其奇异值分解与

A

。1

01A

2