教学第八讲-向量组及其线性组合课件

第三章小结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解矩阵的初等变换初等矩阵矩阵初等变换的应用矩阵秩的定义矩阵秩的求法线性方程组解的存在性判定定理线性方程组通解的求法线性方程组第三章小结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩线1矩阵的初等变换1.初等行(列)变换2.初等变换3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.若A可逆，则A与单位阵E等价矩阵的初等变换1.初等行(列)变换2.初等变换3.行阶梯形矩21.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.初等矩阵的结论:初等矩阵推论1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变3初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=41.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).矩阵的秩最高阶非零子式定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．满秩矩阵降秩矩阵1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(把矩阵用初等行变5(5)A是满秩矩阵(5)A是满秩矩阵6解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵7

线性方程组解的存在性判定定理线性方程组解的存在性判定定理8求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系9主要内容向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩第四章向量组的线性相关性线性方程组的解的结构向量空间主要内容向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩第10n维向量、向量组的概念向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系向量组的线性组合第一节向量组及其线性组合主要内容n维向量、向量组的概念向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系向11定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实12例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量13

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一行，称为行向量，也就是行维向量写14注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的２．行向量15本书中,常用黑体小写字母ba、、、ba等表示列向量,用、、、等来表示行向量,所讨论的向量在没有特别指明的情况下都当作列向量.注:时,维向量具有直观的几何图像.例如,时,三维向量空间向量;时,二维向量平面向量;时,没有直观的几何图像.本书中,常用黑体小写字母ba、、、ba等表示列向量,用、16由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又把三维向量的全体所组成的集合而空间点与三维向量称为点称为三维向量空间.成的集合称为维向量空间.类似地,维向量的全体所组由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又17向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同.即有其中向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算18例设如果向量满足求解由题设条件,有例设如果向量满足求解由题设条件,有19

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如向量组与矩阵若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合20向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．向量组,,…，称为矩阵A的21

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.

n个m维列向量所组成的向量组构成一个m×n矩阵反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个22方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．线性方程组的向量形式方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．线性方程组的向量形式23方程组的三种形式方程组的三种形式24线性方程组的向量形式设线性方程组于是,就相当于是否存在线性方程组是否有解,一组数使得下列线性关系式成立:此时,又称向量可由向量组线性表示.线性方程组的向量形式设线性方程组于是,就相当于是否存在线性方25向量组的线性组合定义1对给定向量组若存在一组数aaa+++nnkkkL2211向量称为所给向量组的一个线性组合,称为该线性组合的系数.定义2对给定向量组与若存在一组数使则称向量是向量组的线性组合,又称向量能被向量组线性表示.向量组的线性组合定义1对给定向量组若存在一组数aaa+++26第八讲-向量组及其线性组合课件27例设由于因此是的线性组合.例设由于因此是的线性组合.28例都是的线性组合.维向量组任何一个维向量因为例零向量是任何一组向量的线性组合.因为例都是此向量组的线性组合.向量组中的任一向量因为例都是的线性组合.维向量组任何一个维向量因为例零向量是任何一29第八讲-向量组及其线性组合课件30第八讲-向量组及其线性组合课件31第八讲-向量组及其线性组合课件32定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．33第八讲-向量组及其线性组合课件34从而从而35第八讲-向量组及其线性组合课件36第八讲-向量组及其线性组合课件37第八讲-向量组及其线性组合课件38第八讲-向量组及其线性组合课件39第十周实验第一次实验内容：Matlab使用简介使用Matlab进行矩阵的计算使用Matlab进行向量的计算请提前预习实验内容请带实验指导书及实验报告纸请遵守实验指导老师的要求进行实验操作第十周实验40第十周实验实验安排：一班旧机房8：30开始二班新机房8：30开始三班新机房9：40开始第十周实验41第十周实验实验安排：一班旧机房14：00开始二班新机房14：00开始

第十周实验42第三章小结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解矩阵的初等变换初等矩阵矩阵初等变换的应用矩阵秩的定义矩阵秩的求法线性方程组解的存在性判定定理线性方程组通解的求法线性方程组第三章小结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩线43矩阵的初等变换1.初等行(列)变换2.初等变换3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.若A可逆，则A与单位阵E等价矩阵的初等变换1.初等行(列)变换2.初等变换3.行阶梯形矩441.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.初等矩阵的结论:初等矩阵推论1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变45初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=461.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).矩阵的秩最高阶非零子式定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．满秩矩阵降秩矩阵1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(把矩阵用初等行变47(5)A是满秩矩阵(5)A是满秩矩阵48解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵49

线性方程组解的存在性判定定理线性方程组解的存在性判定定理50求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系51主要内容向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩第四章向量组的线性相关性线性方程组的解的结构向量空间主要内容向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩第52n维向量、向量组的概念向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系向量组的线性组合第一节向量组及其线性组合主要内容n维向量、向量组的概念向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系向53定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实54例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量55

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一行，称为行向量，也就是行维向量写56注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的２．行向量57本书中,常用黑体小写字母ba、、、ba等表示列向量,用、、、等来表示行向量,所讨论的向量在没有特别指明的情况下都当作列向量.注:时,维向量具有直观的几何图像.例如,时,三维向量空间向量;时,二维向量平面向量;时,没有直观的几何图像.本书中,常用黑体小写字母ba、、、ba等表示列向量,用、58由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又把三维向量的全体所组成的集合而空间点与三维向量称为点称为三维向量空间.成的集合称为维向量空间.类似地,维向量的全体所组由空间解析几何知,空间通常作为点的集合,空间,一一对应,故又59向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同.即有其中向量的线性运算注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算60例设如果向量满足求解由题设条件,有例设如果向量满足求解由题设条件,有61

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如向量组与矩阵若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合62向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．向量组,,…，称为矩阵A的63

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.

n个m维列向量所组成的向量组构成一个m×n矩阵反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个64方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．线性方程组的向量形式方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．线性方程组的向量形式65方程组的三种形式方程组的三种形式66线性方程组的向量形式设线性方程组于是,就相当于是否存在线性方程组是否有解,一组数使得下列线性关系式成立:此时,又称向量可由向量组线性表示.线性方程组的向量形式设线性方程组于是,就相当于是否存在线性方67向量组的线性组合定义1对给定向量组若存在一组数aaa+++nnkkkL2211向量称为所给向量组的一个线性组合,称为该线性组合的系数.定义2对给定向量组与若存在一组数使则称向量是向量组的线性组合,又称向量能被向量组线性表示.向量组的线性组合定义1对给定向量组若存在一组数aaa+++68第八讲-向量组及其线性组合课件69例设由于因此是的线