教学第六章排队与服务系统课件

§6排队与服务系统一、生灭过程二、排队与服务系统三、排队系统11/26/20221§6排队与服务系统一、生灭过程二、排队与服务系统三、排队一、生灭过程1、定义：由定义可知，生灭过程的各个状态是相通的.设X所描述的是某群体含有个体的个数随时间变化的过程,在时间间隔为h的一小段时间内,忽略高阶无穷小后,只有三种可能：11/26/20222一、生灭过程1、定义：由定义可知，生灭过程的各2、柯氏方程一、生灭过程11/26/202232、柯氏方程一、生灭过程11/22/20223一、生灭过程11/26/20224一、生灭过程11/22/20224平稳分布存在，上述即为所求，否则平稳分布不存在。一、生灭过程11/26/20225平稳分布存在，上述即为所求，否则平稳分布不存在。例1、一个服务机构，其顾客按比率为一个服务员,并且服务时间是一个均值为指数分布的随机变量.如果服务机构没有顾客,则顾客一到就服务,否则就排队.然而,如果机构内有两人在排泊松过程到达,只有的人数。（1）写出状态空间；（2）求出Q矩阵；（3）求平稳分布。队就离开而不返回.令X(t)表示服务机构中一、生灭过程11/26/20226例1、一个服务机构，其顾客按比率为一个服务员,并且服务时间是解:(1）S={0,1,2,3};(2)设X(t)=0,如果有一个顾客，则转移到状态1，顾客在(t,t+h)内到达的概率为这样,由于两个及两个以上顾客不能同时到达故于是,Q矩阵的第一行为如果一个顾客在服务机构中,假定t以前没有完成,在(t,t+h)对其的服务将完成的概率为一、生灭过程11/26/20227解:(1）S={0,1,2,3};(2)设X所以，若X(t)=1,则在(t,t+h)内变到0的概率为因此另一种情况为一个顾客到过程转到状态2，于是Q矩阵的第二行为一、生灭过程11/26/20228所以，若X(t)=1,则在(t,t+h)内变到0当X(t)=2时，Q的第三行为当X(t)=3时，Q的第四行为所以（3）由生灭过程的结论知平稳分布为一、生灭过程11/26/20229当X(t)=2时，Q的第三行为当X(t)=3时，Q的第四行为将本例所描述的问题及所解决的方法一般化就是排队与服务系统。一、生灭过程11/26/202210将本例所描述的问题及所解决的方法一般化就是排二、排队与服务系统1、排队问题与服务系统的分类（1）消失制系统（2）等待制系统（3）混合制系统等待与混合制系统中，还有服务原则问题：（1）先到先服务；（2）随机服务；（3）优先服务。11/26/202211二、排队与服务系统1、排队问题与服务系统的分类2、排队模型的表示与研究问题(1)排队模型可表示为其中(2)研究以下问题1)系统绝对通过能力A,即单位时间内被服务顾客的人数;2)系统相对通过能力Q,即被服务顾客数与请求服务的顾客数的比值;3)系统消失概率,服务系统满员的概率或服务员都在忙着,排队位置满座的概率;二、排队与服务系统11/26/2022122、排队模型的表示与研究问题(1)排队模型可表示为其中(2)4)系统内顾客的平均数L;5)系统内排队等候顾客;（3）Little公式当系统达到统计平稳状态后，系统内顾客的平均数L和系统内顾客所化时间的平均数W有着重要关系。6)系统内顾客所花时间的平均值W;7)系统内顾客花在排队等候时间的平均值类似地，系统内顾客在排队等候时间的平均值排队等候顾客的平均数满足：与系统内二、排队与服务系统11/26/2022134)系统内顾客的平均数L;5（3）Little公式当系统达到统计平稳状态后，系统内顾客的平均数L和系统内顾客所化时间的平均数W有着重要关系。6)系统内顾客所花时间的平均值W;7)系统内顾客花在排队等候时间的平均值类似地，系统内顾客在排队等候时间的平均值排队等候顾客的平均数满足：与系统内二、排队与服务系统11/26/202214（3）Little公式当系统达到统计平稳状态三、排队系统1、设系统内仅有一个服务员，顾客按强度顾客到达时服务员不闲时立即离去，服务时间T服从参数为的指数分布。求：（1）系统的绝对通过能力；（2）系统的相对通过能力。泊松过程到达，11/26/202215三、排队系统1、设系统内仅有一个服务员，顾客设X(t)=0表示系统闲,X(t)=1系统忙,则对于任意时间t,系统状态概率满足由例1可知：解之得三、排队系统11/26/202216设X(t)=0表示系统闲,X(t)=1系统忙,系统的相对通过能力当系统达到平稳状态时系统的绝对通过能力系统的消失概率为三、排队系统11/26/202217系统的相对通过能力当系统达到平稳状态时系统的绝对通过能力系统2、系统的状态空间为设系统内仅有n个服务员，顾客按强度顾客到达时，服务员不闲时立即离去，服务时间T服从参数为的指数分布。求：（1）系统的绝对通过能力；（2）系统的相对通过能力。泊松过程到达，三、排队系统11/26/2022182、系统的状态空间为设系统内仅有n个服务初始条件为解上述方程组，得状态概率：三、排队系统11/26/202219初始条件为解上述方程组，得状态概率：三、排队系统11/22/由于系统的状态互通且状态数有限，所以极限概率存在：由状态概率图可以求得：其中：所以三、排队系统11/26/202220由于系统的状态互通且状态数有限，所以极限概率存3、易知，系统是生灭过程，状态空间为利用生灭过程的结论得设系统内仅有1个服务员，顾客按强度顾客到达时，服务员不闲，顾客排队，等候服务，服务时间T服从参数为的指数分布。泊松过程到达，三、排队系统11/26/2022213、易知，系统是生灭过程，状态空间为利用生灭过程的系统内顾客的平均数为排队顾客的平均数为在系统内顾客所化时间的平均值为三、排队系统11/26/202222系统内顾客的平均数为排队顾客的平均数为在系统内顾客所顾客排队时间的平均值为4、三、排队系统11/26/202223顾客排队时间的平均值为4、三、排队系统11/22/20222系统的状态空间为由状态转移概率图可以求得设系统内仅有一个服务员，顾客按强度顾客到达时，服务员不闲时如m个坐位不满，顾客参加排队，等待服务。否则，立即离去，服务务时间T服从参数为指数分布。泊松过程到达，4、三、排队系统11/26/202224系统的状态空间为由状态转移概率图可以求得设系系统的消失概率为系统相对通过能力系统的绝对通过能力系统内顾客的平均数三、排队系统11/26/202225系统的消失概率为系统相对通过能力系统的绝对通过能力系统内顾客排队等候的顾客平均数三、排队系统11/26/202226排队等候的顾客平均数三、排队系统11/22/2022系统内所化时间的平均值为系统内顾客排队所化时间的平均值为三、排队系统11/26/202227系统内所化时间的平均值为系统内顾客排队所化时间的平均值为三、5、显然系统的状态空间为由系统的状态转移概率图可知，本系统为生灭过程，于是设系统内有n个服务员，顾客按强度顾客到达时所有服务员不闲时，顾客参加排队，直到服务员为其服务为止。所有服务员服务务时间T服从参数为指数分布。泊松过程到达，三、排队系统11/26/2022285、显然系统的状态空间为由系统的状态转移概率系统内顾客的平均数三、排队系统11/26/202229系统内顾客的平均数三、排队系统11/22/202229系统内排队等候顾客的平均数系统内顾客所化时间的平均值三、排队系统11/26/202230系统内排队等候顾客的平均数系统内顾客所化时间的平均值三、排队系统内顾客排队等候所化时间的平均值6、7、8、服务时间服从Gamma分布系统作业:P224习题六2、4、6、8、11三、排队系统11/26/202231系统内顾客排队等候所化时间的平均值6、7、8、§6排队与服务系统一、生灭过程二、排队与服务系统三、排队系统11/26/202232§6排队与服务系统一、生灭过程二、排队与服务系统三、排队一、生灭过程1、定义：由定义可知，生灭过程的各个状态是相通的.设X所描述的是某群体含有个体的个数随时间变化的过程,在时间间隔为h的一小段时间内,忽略高阶无穷小后,只有三种可能：11/26/202233一、生灭过程1、定义：由定义可知，生灭过程的各2、柯氏方程一、生灭过程11/26/2022342、柯氏方程一、生灭过程11/22/20223一、生灭过程11/26/202235一、生灭过程11/22/20224平稳分布存在，上述即为所求，否则平稳分布不存在。一、生灭过程11/26/202236平稳分布存在，上述即为所求，否则平稳分布不存在。例1、一个服务机构，其顾客按比率为一个服务员,并且服务时间是一个均值为指数分布的随机变量.如果服务机构没有顾客,则顾客一到就服务,否则就排队.然而,如果机构内有两人在排泊松过程到达,只有的人数。（1）写出状态空间；（2）求出Q矩阵；（3）求平稳分布。队就离开而不返回.令X(t)表示服务机构中一、生灭过程11/26/202237例1、一个服务机构，其顾客按比率为一个服务员,并且服务时间是解:(1）S={0,1,2,3};(2)设X(t)=0,如果有一个顾客，则转移到状态1，顾客在(t,t+h)内到达的概率为这样,由于两个及两个以上顾客不能同时到达故于是,Q矩阵的第一行为如果一个顾客在服务机构中,假定t以前没有完成,在(t,t+h)对其的服务将完成的概率为一、生灭过程11/26/202238解:(1）S={0,1,2,3};(2)设X所以，若X(t)=1,则在(t,t+h)内变到0的概率为因此另一种情况为一个顾客到过程转到状态2，于是Q矩阵的第二行为一、生灭过程11/26/202239所以，若X(t)=1,则在(t,t+h)内变到0当X(t)=2时，Q的第三行为当X(t)=3时，Q的第四行为所以（3）由生灭过程的结论知平稳分布为一、生灭过程11/26/202240当X(t)=2时，Q的第三行为当X(t)=3时，Q的第四行为将本例所描述的问题及所解决的方法一般化就是排队与服务系统。一、生灭过程11/26/202241将本例所描述的问题及所解决的方法一般化就是排二、排队与服务系统1、排队问题与服务系统的分类（1）消失制系统（2）等待制系统（3）混合制系统等待与混合制系统中，还有服务原则问题：（1）先到先服务；（2）随机服务；（3）优先服务。11/26/202242二、排队与服务系统1、排队问题与服务系统的分类2、排队模型的表示与研究问题(1)排队模型可表示为其中(2)研究以下问题1)系统绝对通过能力A,即单位时间内被服务顾客的人数;2)系统相对通过能力Q,即被服务顾客数与请求服务的顾客数的比值;3)系统消失概率,服务系统满员的概率或服务员都在忙着,排队位置满座的概率;二、排队与服务系统11/26/2022432、排队模型的表示与研究问题(1)排队模型可表示为其中(2)4)系统内顾客的平均数L;5)系统内排队等候顾客;（3）Little公式当系统达到统计平稳状态后，系统内顾客的平均数L和系统内顾客所化时间的平均数W有着重要关系。6)系统内顾客所花时间的平均值W;7)系统内顾客花在排队等候时间的平均值类似地，系统内顾客在排队等候时间的平均值排队等候顾客的平均数满足：与系统内二、排队与服务系统11/26/2022444)系统内顾客的平均数L;5（3）Little公式当系统达到统计平稳状态后，系统内顾客的平均数L和系统内顾客所化时间的平均数W有着重要关系。6)系统内顾客所花时间的平均值W;7)系统内顾客花在排队等候时间的平均值类似地，系统内顾客在排队等候时间的平均值排队等候顾客的平均数满足：与系统内二、排队与服务系统11/26/202245（3）Little公式当系统达到统计平稳状态三、排队系统1、设系统内仅有一个服务员，顾客按强度顾客到达时服务员不闲时立即离去，服务时间T服从参数为的指数分布。求：（1）系统的绝对通过能力；（2）系统的相对通过能力。泊松过程到达，11/26/202246三、排队系统1、设系统内仅有一个服务员，顾客设X(t)=0表示系统闲,X(t)=1系统忙,则对于任意时间t,系统状态概率满足由例1可知：解之得三、排队系统11/26/202247设X(t)=0表示系统闲,X(t)=1系统忙,系统的相对通过能力当系统达到平稳状态时系统的绝对通过能力系统的消失概率为三、排队系统11/26/202248系统的相对通过能力当系统达到平稳状态时系统的绝对通过能力系统2、系统的状态空间为设系统内仅有n个服务员，顾客按强度顾客到达时，服务员不闲时立即离去，服务时间T服从参数为的指数分布。求：（1）系统的绝对通过能力；（2）系统的相对通过能力。泊松过程到达，三、排队系统11/26/2022492、系统的状态空间为设系统内仅有n个服务初始条件为解上述方程组，得状态概率：三、排队系统11/26/202250初始条件为解上述方程组，得状态概率：三、排队系统11/22/由于系统的状态互通且状态数有限，所以极限概率存在：由状态概率图可以求得：其中：所以三、排队系统11/26/202251由于系统的状态互通且状态数有限，所以极限概率存3、易知，系统是生灭过程，状态空间为利用生灭过程的结论得设系统内仅有1个服务员，顾客按强度顾客到达时，服务员不闲，顾客排队，等候服务，服务时间T服从参数为的指数分布。泊松过程到达，三、排队系统11/26/2022523、易知，系统是生灭过程，状态空间为利用生灭过程的系统内顾客的平均数为排队顾客的平均数为在系统内顾客所化时间的平均值为三、排队系统11/26/202253系统内顾客的平均数为排队顾客的平均数为在系统内顾客所顾客排队时间的平均值为4、三、排队系统11/26/202254顾客排队时间的平均值为4、三、排队系统11/22/20222系统的状态空间为由状态转移概率图可以求得设系统内仅有一个服务员，顾客按强度顾客到达时，