郑永杰四边形周长最小值问题解析课件

四边形周长最小值问题解析

郑永杰

2013年9月22日四边形周长最小值问题解析1四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定【例一】已知抛物线y=与y轴交于点A(0，3),与x轴交于点B(1，0),C(5，0)两点，如图所示。（1）求此抛物线的解析式。（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某一点（设为E)，再到达抛物线的对称轴上某点（设为F），后到达点A，最后回到点M，求使点P运动的总路程最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路程的长。四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定【例一2小贴士1

在一边确定的情况下，要使四边形的周长最小，应通过做已知线段端点的对称点，把另外三条线段转化到一条线段上来。小贴士13二、相对两边确定【例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，点D为边OB的中点。（1）若点E为边OA上一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。（2）若点E,F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E,F的坐标。并求CDEF周长的最小值。二、相对两边确定【例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OAC4郑永杰四边形周长最小值问题解析课件5【例3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2,0）,O(0，0),B(0，4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD.(1)求C,D两点坐标。（2）求经过A，B，D三点的抛物线解析式（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E,F（E在F上方），且EF=1，当E,F在什么位置时，四边形ACEF的周长最小？并求出最小值。【例3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别6

小贴士2当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过做对称点加平移，把另外两边转化到同一条直线上。小贴士27三、三边和确定，第四边的长不确定【例4】如图，抛物线y=与x轴交于A,B两点，直线BD的函数表达式为y=,抛物线的对称轴L与直线BD交于点C，与x轴交于点E。（1）求A,B,C三点坐标。（2）若点P为线段AB上的一个动点（点A,B不重合），以点A为圆心，以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以B为圆心，BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN,BM,MN.①求证：AN=BM,②在点P运动的过程中，四边形AMNB的周长是否有最小值，若有，求出该最小值三、三边和确定，第四边的长不确定【例4】如图，抛物线y=8如图所示，抛物线y=+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．（1）求A、B、C三个点的坐标；（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．①求证：AN=BM；②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．如图所示，抛物线y=+2x+3与x轴交于A、B两9

小贴士3当一边长确定，另外两边的长不确定，但其和确定时，要使四边形周长最小，只要使第四边最小，为此要把第四边与和确定的两边联系起来，得到关于第四边的函数关系式，再运用函数的有关知识确定第四边的最小值。F小贴士3F10四、相邻两边的长确定【例5】如图，已知A(-1，5),B(-3，3),C(-4，1),在y轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，并求出点D的坐标。四、相邻两边的长确定【例5】如图，已知A(-1，5),B(-11小贴士4当相邻两边的和确定时，要使四边形的周长最小时，只要使另外两边的和最小，为此用到一个常见的基本图形，如图左，点M,N是两定点，点P是直线L上一个动点，作M关于L的对称点M'，连结M'N交直线L与点P,则PM+PN=PM'+PN=MM'最小。MM'PN小贴士4MM'PN12

初中数学最值问题说

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2012年12月18日初中数学最值问题说zhengyongjie13求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多年教学经验，结合自己的教学体会，对其进行归纳总结。求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多14一、利用轴对称性求最值【例1】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB,BC上的中点，且AB=6，∠DAB=60°，点P是AC上的一个动点，则PE+PF的最小值为

。变式：菱形两条对角线分别为6、8，其他条件不变，则则PE+PF的最小值为

。一、利用轴对称性求最值变式：菱形两条对角线分别为6、8，其他15二、把立体转化为平面求最值【例2】如图圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D,问蚂蚁眼怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？二、把立体转化为平面求最值16三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值【例3】如图，在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130km内的地方都要受其影响。（1）台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受到台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值17郑永杰四边形周长最小值问题解析课件18四、利用换元法求最值【例4】求函数y=2x+1的最大值。五、利用根的判别式求最值【例5】讨论函数的最值四、利用换元法求最值19七、利用构造几何图形求最值【例7】已知a,b是正数，且a+b=2,求的最大值和最小值。六、利用韦达定理求最值若a,b为实数，且令k=,试求k的最大值和最小值。七、利用构造几何图形求最值六、利用韦达定理求最值20八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值【例8】抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲乙两个粮库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A,B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量有110吨，从甲乙两库到A,B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨.千米",意思是每吨粮食运送1000米所需人民币）。八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值21路程（千米）运费（元/吨.千米）甲库乙库甲库乙库A库20121212B库2520108（1）若甲库运往a库粮食x吨，写出将粮食运往ab两库的总运费y元与x吨的函数关系；（2）当甲乙两库各运往ab两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？路程（千米）运费（元/吨.千米）甲库乙库甲库乙库A库201222九、变式题目要有代表性——通性通法（1）题目类型要有代表性，题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的综合性，如：复习一元二次方程时，可设计如下题目：已知：x+x-1=0,不解方程求下列算式的值：(1)

(2)

(3)(4)九、变式题目要有代表性——通性通法23上述小题包括了代数式变形的主要方式：通分、整体代换、分解因式、整式乘法、其他变形题目均为这四种方式或者他们的组合，学生通过这一题目就可以归纳出此类题目的主要解决方式。要选择体现“通性通法”即包含最基本的数学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，最好是一题多解，一题多变“的训练题，比如复习三角形中角度求法时，设计如下题目：上述小题包括了代数式变形的主要方式：通分、整体代换、分解因式24如图，△ABC中，AB=AC,两底角平分线BD,CE相交于点O,∠A=50°，求∠BOC的度数。若把条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，∠BOC的度数还能求出吗？请说明理由。如图，△ABC中，AB=AC,两底角平分线BD,CE相交于点25如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所26郑永杰四边形周长最小值问题解析课件27（盐城市2011）27．情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是

，∠CAC′=

°． 图1图2（盐城市2011）27．图128问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3问题探究图329拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图4拓展延伸图430拓展如图5：，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．拓展如图5：，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC31全新的思考方式：思维方式、反思性教学、君子和而不同此为素质，小人同而不和此为应试。三不主义——不读书、不研究、不合作。大脑潜在能力尚待开发。全新的思考方式：思维方式、反思性教学、32

四边形周长最小值问题解析

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2013年9月22日四边形周长最小值问题解析33四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定【例一】已知抛物线y=与y轴交于点A(0，3),与x轴交于点B(1，0),C(5，0)两点，如图所示。（1）求此抛物线的解析式。（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某一点（设为E)，再到达抛物线的对称轴上某点（设为F），后到达点A，最后回到点M，求使点P运动的总路程最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路程的长。四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定【例一34小贴士1

在一边确定的情况下，要使四边形的周长最小，应通过做已知线段端点的对称点，把另外三条线段转化到一条线段上来。小贴士135二、相对两边确定【例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，点D为边OB的中点。（1）若点E为边OA上一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。（2）若点E,F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E,F的坐标。并求CDEF周长的最小值。二、相对两边确定【例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OAC36郑永杰四边形周长最小值问题解析课件37【例3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2,0）,O(0，0),B(0，4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD.(1)求C,D两点坐标。（2）求经过A，B，D三点的抛物线解析式（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E,F（E在F上方），且EF=1，当E,F在什么位置时，四边形ACEF的周长最小？并求出最小值。【例3】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别38

小贴士2当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过做对称点加平移，把另外两边转化到同一条直线上。小贴士239三、三边和确定，第四边的长不确定【例4】如图，抛物线y=与x轴交于A,B两点，直线BD的函数表达式为y=,抛物线的对称轴L与直线BD交于点C，与x轴交于点E。（1）求A,B,C三点坐标。（2）若点P为线段AB上的一个动点（点A,B不重合），以点A为圆心，以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以B为圆心，BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN,BM,MN.①求证：AN=BM,②在点P运动的过程中，四边形AMNB的周长是否有最小值，若有，求出该最小值三、三边和确定，第四边的长不确定【例4】如图，抛物线y=40如图所示，抛物线y=+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．（1）求A、B、C三个点的坐标；（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．①求证：AN=BM；②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．如图所示，抛物线y=+2x+3与x轴交于A、B两41

小贴士3当一边长确定，另外两边的长不确定，但其和确定时，要使四边形周长最小，只要使第四边最小，为此要把第四边与和确定的两边联系起来，得到关于第四边的函数关系式，再运用函数的有关知识确定第四边的最小值。F小贴士3F42四、相邻两边的长确定【例5】如图，已知A(-1，5),B(-3，3),C(-4，1),在y轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，并求出点D的坐标。四、相邻两边的长确定【例5】如图，已知A(-1，5),B(-43小贴士4当相邻两边的和确定时，要使四边形的周长最小时，只要使另外两边的和最小，为此用到一个常见的基本图形，如图左，点M,N是两定点，点P是直线L上一个动点，作M关于L的对称点M'，连结M'N交直线L与点P,则PM+PN=PM'+PN=MM'最小。MM'PN小贴士4MM'PN44

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2012年12月18日初中数学最值问题说zhengyongjie45求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多年教学经验，结合自己的教学体会，对其进行归纳总结。求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多46一、利用轴对称性求最值【例1】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB,BC上的中点，且AB=6，∠DAB=60°，点P是AC上的一个动点，则PE+PF的最小值为

。变式：菱形两条对角线分别为6、8，其他条件不变，则则PE+PF的最小值为

。一、利用轴对称性求最值变式：菱形两条对角线分别为6、8，其他47二、把立体转化为平面求最值【例2】如图圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D,问蚂蚁眼怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？二、把立体转化为平面求最值48三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值【例3】如图，在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130km内的地方都要受其影响。（1）台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受到台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值49郑永杰四边形周长最小值问题解析课件50四、利用换元法求最值【例4】求函数y=2x+1的最大值。五、利用根的判别式求最值【例5】讨论函数的最值四、利用换元法求最值51七、利用构造几何图形求最值【例7】已知a,b是正数，且a+b=2,求的最大值和最小值。六、利用韦达定理求最值若a,b为实数，且令k=,试求k的最大值和最小值。七、利用构造几何图形求最值六、利用韦达定理求最值52八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值【例8】抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲乙两个粮库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A,B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量有110吨，从甲乙两库到A,B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨.千米",意思是每吨粮食运送1000米所需人民币）。八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值53路程（千米）运费（元/吨.千米）甲库乙库甲库乙库A库20121212B库2520108（1）若甲库运往a库粮食x吨，写出将粮食运往ab两库的总运费y元与x吨的函数关系；（2）当甲乙两库各运往ab两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？路程（千米）运费（元/吨.千米）甲库乙库甲库乙库A库201254九、变式题目要有代表性——通性通法（1）题目类型要有代表性，题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的综合性，如：复习一元二次方程时，可设计如下题目：已知：x+x-1=0,不解方程求下列算式的值：(1)

(2)

(3)(4)九、变式题目要有代表性——通性通法55上述小题包括了代数式变形的主要方式：通分、整体代换、分解因式、整式乘法、其他变形题目均为这四种方式或者他们的组合，学生通过这一题目就可以归纳出此类题目的主要解决方式。要选择体现“通性通法”即包含最基本的数学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，最好是一题多解，一题多变“的训练题，比如复习三角形中角度求法时，设计如下题目：上述小题包括了代数式变形的主要方式：通分、整体代换、分解因式56如图，△ABC中，AB=AC,两底角平分线BD,CE相交于点O,∠A=50°，求∠BOC的度数。若把条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，∠BOC的度数还能求出吗？请说明理由。如图，△ABC中，AB=AC,两底角平分线BD,CE相交于点57如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC