教学第01章矢量分析课件

第一章矢量分析本章内容1-1标量与矢量1-2矢量的代数运算1-3矢量的标积与矢积1-4标量场的方向导数与梯度1-5矢量场的的通量、散度与高斯定理1-6矢量场的环量、旋度与斯托科斯定理1-7无散场和无旋场第一章矢量分析本章内容11-8格林定理*1-9矢量场的唯一性定理*1-10亥姆霍兹定理*1-11正交曲面坐标系本章习题：

1-1、1-7、1-20、1-241-8格林定理本章习题：21.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度简介矢量的定义、运算等。重点讲解标量与矢量、物理场、常矢量与变矢量的异同；梯度、散度和旋度的物理概念和数学表示；格林定理和亥姆霍兹定理的涵义；三种常用坐标系的构成，线元、面（积）元和体（积）元以及矢量在三种坐标系中的表示。此外，对一些常用的矢量恒等式要记住。1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.331.1矢量代数1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量的几何表示1.1矢量代数1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物4矢量用坐标分量表示zxy矢量的大小或模：矢量的单位矢量：注意：单位矢量不一定是常矢量。

常矢量：大小和方向均不变的矢量。

矢量用坐标分量表示zxy矢量的大小或模：矢量的单位矢量：注意5（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为6（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交7（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则从图示不难看出：矢积所得矢量的方向与和成有螺旋关系，积矢量垂直于由和所确定的平面其大小则为由两矢量所确定的平行四边形的面积（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用8（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积91.2三种常用的正交曲线坐标系

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交曲线坐标系三维空间任意一点的101、直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx1、直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单112、圆柱面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量2、圆柱面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面123、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量3、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变134、坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq

ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

f4、坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标与直角坐标与o141.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

在某一时刻，确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：1.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。时变15标量场的等值面

标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。u=2u=3u=4等值面标量场的等值面 标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一162.标量场方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向减小；

——u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。

式中：

2.标量场方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变17梯度的表达式：圆柱面坐标系

球面坐标系直角面坐标系

3、标量场的梯度（或）意义：描述标量场在空间某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向梯度的表达式：圆柱面坐标系球面坐标系直角面坐标系3、标量18标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（19

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

例1.2.1

设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为20表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为表征其方向的单位矢量(2)由方向导数与梯度之间21而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。而该点的梯度值为显然，梯度描述了P点处标量函22第01章矢量分析课件23第一章矢量分析本章内容1-1标量与矢量1-2矢量的代数运算1-3矢量的标积与矢积1-4标量场的方向导数与梯度1-5矢量场的的通量、散度与高斯定理1-6矢量场的环量、旋度与斯托科斯定理1-7无散场和无旋场第一章矢量分析本章内容241-8格林定理*1-9矢量场的唯一性定理*1-10亥姆霍兹定理*1-11正交曲面坐标系本章习题：

1-1、1-7、1-20、1-241-8格林定理本章习题：251.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度简介矢量的定义、运算等。重点讲解标量与矢量、物理场、常矢量与变矢量的异同；梯度、散度和旋度的物理概念和数学表示；格林定理和亥姆霍兹定理的涵义；三种常用坐标系的构成，线元、面（积）元和体（积）元以及矢量在三种坐标系中的表示。此外，对一些常用的矢量恒等式要记住。1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3261.1矢量代数1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量的几何表示1.1矢量代数1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物27矢量用坐标分量表示zxy矢量的大小或模：矢量的单位矢量：注意：单位矢量不一定是常矢量。

常矢量：大小和方向均不变的矢量。

矢量用坐标分量表示zxy矢量的大小或模：矢量的单位矢量：注意28（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为29（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交30（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则从图示不难看出：矢积所得矢量的方向与和成有螺旋关系，积矢量垂直于由和所确定的平面其大小则为由两矢量所确定的平行四边形的面积（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用31（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积321.2三种常用的正交曲线坐标系

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交曲线坐标系三维空间任意一点的331、直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx1、直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单342、圆柱面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量2、圆柱面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面353、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量3、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变364、坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq

ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

f4、坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标与直角坐标与o371.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

在某一时刻，确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：1.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。时变38标量场的等值面

标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。u=2u=3u=4等值面标量场的等值面 标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一392.标量场方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向减小；

——u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。

式中：

2.标量场方向导数意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变40梯度的表达式：圆柱面坐标系

球面坐标系直角面坐标系

3、标量场的梯度（或）意义：描述标量场在空间某点的最大变化率及其变化最