§8.7保角变换和曲线坐标

§8.7保角变换和曲线坐标学习思路：

弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到平面的单位圆。

这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。由于应用保角变换，矢量－位移，张量－应力公式以及K-M函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分析。

在本节学习之前，请你先学习附录2，（有关保角变换的知识）学习要点：

1.保角变换和曲线坐标；

2.矢量的保角变换；

3.位移分量的曲线坐标表达式；

4.应力分量的曲线坐标表达式。为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换z=()

将物体在z平面上所占的区域变为在平面所占的区域。一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。

假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为平面的单位圆内的区域，并且将z平面上的区域S的边界l映射为单位圆，对应的关系如下表：平面z平面=0（无穷远点）z=0（原点）=const（圆）=const（曲线）=const（半射线）=const（曲线）域域Sddz

由于平面上的任一点可以表示为，。和是点的极坐标。

而根据保角变换公式z=()，则z平面任意一点也可以通过和表示。因此，和又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。曲线坐标的概念：平面的一个圆周=const和一条径向直线=const分别对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作=const和=const。

于是和可以看作z平面上一点的曲线坐标。由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴和的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标，即=const与x轴夹角，如果A为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标夹角。设Ax,Ay分别表示矢量A在x，y轴的投影；A,A表示在=const和=const上的投影，则上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动角后，其在Oxy坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（，）中的位置，如图所示。

如果用u,u分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则

根据保角变换，有所以

沿曲线（）取微分线段dz，则在平面对应的有d，由于

所以，取其共轭可得

。

将上式回代到公式，可得下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先，设K-M函数和(z)分别使用和1(z)代替，同时令

根据位移表达式，有

在z平面上，将位移矢量向曲线坐标和投影。由公式可得

上式两边同时乘以2G，可得

上式是平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。如果用,,表示物体在曲线坐标中的应力分量。则

因为和,而由公式

所以

上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。§8.8无限大薄板的孔口问题学习思路：

本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题，确定K-M函数的基本求解公式。推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式，将K-M函数转换为曲线坐标形式。采用的方法仍然是将K-M函数分解为以级数表达的解析函数和对数表达的多值函数两部份。

对于K-M函数的级数形式，通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程。这个求解过程，利用保角变换后孔口边界的特殊性质，使用柯西积分使得计算简化。学习要点：

1.保角变换公式与K-M函数；

2.利用孔口边界条件确定K-M函数求解公式；

3.柯西积分确定K-M函数的级数形式。保角变换的目标是：将z平面上的孔口边界l映射为平面上的单位圆，将l以外的无限区域S映射为平面上的单位圆内的有限区域，将z平面上的无穷远点映射为平面的坐标原点，如图所示。

保角变换公式：

是将l以外的无限区域映射为单位圆内（||＜1）的普遍变换式，公式中R为实数，Ck为复数，而且<1。

保角变换公式确定以后，可以确定K-M函数和()，即将K-M函数和1(z)变换到曲线坐标中去。其中

因为

由于<1，将上式展开，有

所以，

lnz=ln+单位圆内部的解析函数。

另外

。

根据上述分析，的各项都转变为单位圆内的单值解析函数。因此其中，

。讨论边界条件确定K-M函数和0()。根据面力边界条件，经过保角变换后，可得

在单位圆的圆周上，。所以上述面力边界条件可以表示为

根据公式，则在边界即单位圆周上

将上述K-M函数的边界值回代面力边界条件，并且将已知函数与需要确定的未知函数分开，可得其中已知函数为因为和0()是单位圆内的泰勒级数，它们是从z平面上lR之外无穷区域的罗伦级数转化而来的。因此对于公式幂级数求解时，由于方程两边都含有k=eik的各个项（k由－∞到∞），比较各个同类项的系数，即可求得ak，bk的值。不过这样作太麻烦了，由于和0()在单位圆内是解析的，而且在圆内和圆周上是连续的，因此可以直接采用柯西积分计算。

将边界条件的第一式两边乘以