三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式(一)三角函数的诱导公式(一)三角函数的诱导公式(一)V:1.0精细整理，仅供参考三角函数的诱导公式(一)日期：20xx年X月三角函数的诱导公式（一）[学习目标]1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点一诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.(3)公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.思考1任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系思考2设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0，y0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．知识点二诱导公式的记忆2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．思考你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗题型一给角求值例1求下列各三角函数值．(1)sin(－eq\f(8,3)π)；(2)coseq\f(19,6)π；(3)sin[(2n＋1)π－eq\f(2,3)π]．解(1)sin(－eq\f(8,3)π)＝－sineq\f(8,3)π＝－sin(2π＋eq\f(2,3)π)＝－sineq\f(2,3)π＝－sin(π－eq\f(π,3))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).(2)coseq\f(19,6)π＝cos(2π＋eq\f(7,6)π)＝cos(π＋eq\f(π,6))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)sin[(2n＋1)π－eq\f(2,3)π]＝sin[2nπ＋(π－eq\f(2,3)π)]＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).跟踪训练1求下列三角函数值．（1）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43,6)π))；(2)coseq\f(29,6)π；(3)tan(－855°)．解(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43,6)π))＝－sineq\f(43,6)π＝－sin(6π＋eq\f(7,6)π)＝－sineq\f(7,6)π＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)；(2)coseq\f(29,6)π＝cos(4π＋eq\f(5,6)π)＝coseq\f(5,6)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)；(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.题型二给值求值问题例2已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴sin(105°＋α)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(180°＋?α－75°)

)＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).跟踪训练2已知cos(π＋α)＝－eq\f(3,5)，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，∵π<α<2π，∴eq\f(3π,2)<α<2π，∴sinα＝－eq\f(4,5).∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq\f(1,5).题型三三角函数式的化简例3化简下列各式．（1）eq\f(tan?2π－αsin－2π－αcos6π－α,cos?α－πsin5π－α)；（2）eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°).解(1)原式＝eq\f(\f(sin?2π－α,cos?2π－α)·sin－αcos－α,cos?π－αsinπ－α)＝eq\f(－sinα－sinαcosα,cosα－cosαsinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα.(2)原式＝eq\f(\r(1＋2sin360°－70°cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.跟踪训练3化简：(1)eq\f(sin?540°＋α·cos－α,tan?α－180°)

；（2）eq\f(cos?θ＋4π·

cos2θ＋π·

sin2θ＋3π?,sin?θ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ).解(1)原式＝eq\f(sin[360°＋?180°＋α]·cosα,－tan?180°－α)＝eq\f(sin?180°＋αcosα,tanα)＝eq\f(－sinαcosα,\f(sinα,cosα))＝－cos2α.(2)原式＝eq\f(cosθ·cos2θ·sin2θ,sinθ·

－sinθ·cos2θ)＝－cosθ.分类讨论思想在三角函数中的应用例4证明：eq\f(2sin?α＋nπcosα－nπ?,sin?α＋nπ＋sinα－nπ)

＝(－1)ncosα，n∈Z.证明当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，左边＝eq\f(2sin?α＋2kπcosα－2kπ?,sin?α＋2kπ＋sinα－2kπ)

＝eq\f(2sinαcosα,sinα＋sinα)＝eq\f(2sinαcosα,2sinα)＝cosα.右边＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左边＝右边．当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，左边＝eq\f(2sin?α＋2kπ－πcosα－2kπ＋π?,sin?α＋2kπ－π＋sinα－2kπ＋π)

＝eq\f(2sin?α－πcosα＋π?,sin?α－π＋sinα＋π)

＝eq\f(2－

sinα－cosα,－sinα＋－sinα)＝eq\f(2sinαcosα,－2sinα)＝－cosα.右边＝(－1)2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边．综上所述，eq\f(2sin?α＋nπcosα－nπ?,sin?α＋nπ＋sinα－nπ)

＝(－1)ncosα，n∈Z成立．1．sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)2．cos(－eq\f(16π,3))＋sin(－eq\f(16π,3))的值为()A．－eq\f(1＋\r(3),2) \f(1－\r(3),2)\f(\r(3)－1,2) \f(\r(3)＋1,2)3．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))化简：eq\f(cos?180°＋αsinα＋360°?,sin－

α－180°cos－180°－α).一、选择题1．cos600°的值为()\f(\r(3),2)\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(1,2)2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．23．已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sinα等于()A．－eq\f(12,13)\f(12,13)\f(5,12)D．±eq\f(12,13)4．若sin(－110°)＝a，则tan70°等于()\f(a,\r(1－a2))\f(－a,\r(1－a2))\f(a,\r(1＋a2))\f(－a,\r(1＋a2))5．tan(5π＋α)＝m，则eq\f(sin?α－3π＋cosπ－α,sin－

α－cosπ＋α)的值为()\f(m＋1,m－1)\f(m－1,m＋1)C．－1D．16．若sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cos(π＋α)的值为()\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),3)C．±eq\f(\r(5),3)D．以上都不对二、填空题7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝.8．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π<α<2π，则sin(α－2π)＝.\f(cos－585°,sin585°＋sin－570°)的值等于．10．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为．三、解答题11．化简下列各式．(1)sin(－eq\f(19,3)π)coseq\f(7,6)π；（2）sin(－960°)cos1470°－cos(－240°)sin(－210°)．12．若cos(α－π)＝－eq\f(2,3)，求eq\f(sin?α－2π＋sin－α－3πcosα－3π?,cos?π－α－cos－π－αcosα－4π)

的值．当堂检测答案：1．答案A解析sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).2．答案C解析原式＝coseq\f(16π,3)－sineq\f(16π,3)＝coseq\f(4π,3)－sineq\f(4π,3)＝－coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3)－1,2).3．答案B解析∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2).∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k).∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).4．化简：eq\f(cos?180°＋αsinα＋360°?,sin－

α－180°cos－180°－α).解原式＝eq\f(

－cosα·sinα,[－sin?α＋180°]·cos180°＋α)＝eq\f(sinαcosα,sin?α＋180°cos180°＋α)＝eq\f(sinαcosα,－sinα－cosα)＝1.课时精炼答案一、选择题1．答案D解析cos600°＝cos(360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).2．答案D解析原式＝(－sinα)2＋cosαcos(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.3．答案A解析∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(5,13)，又α是第四象限角，∴sinα<0，则sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(12,13).4．答案B解析∵sin(－110°)＝－sin110°＝－sin(180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，∴cos70°＝eq\r(1－

－a2)＝eq\r(1－a2)，∴tan70°＝eq\f(sin70°,cos70°)＝eq\f(－a,\r(1－a2)).5．答案A解析原式＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(m＋1,m－1).6．答案B解析∵sin(π－α)＝sinα＝log232－2＝－eq\f(2,3)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,9))＝－eq\f(\r(5),3).二、填空题7．答案－eq\f(\r(3),3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝－eq\f(\r(3),3).8．答案－eq\f(\r(3),2)解析由cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝eq\f(1,2)，故sin(α－2π)＝sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－

\f(1,2)

2)＝－eq\f(\r(3),2)(α为第四象限角)．9.答案eq\r(2)＋2解析原式＝eq\f(cos360°＋225°,sin360°＋225°－sin360°＋210°)＝eq\f(cos225°,sin225°－sin210°)＝eq\f(－cos45°,sin180°＋45°－sin180°＋30°)＝eq\f(－\f(\r(2),2),－\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq\r(2)＋2.10．答案－3解析∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bc