华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件

计算机图形学基础算法1、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示

6、图形学的其它应用计算机图形学基础算法1、三维形体的计算机表达1现实生活中的产品都是由不同类型的三维(3D)几何形状构成的集合体。描述产品对象的形状、大小、位置与结构等几何信息的模型称为几何模型(GeometricModel)。利用计算机图形技术可在计算机内部描述产品的几何模型和属性(如颜色、纹理等)，并生成直观真实感的图形。

三维几何形体的表达现实生活中的产品都是由不同类型的三维(3D)几2计算机中表示形体几何模型通常用：

线框模型表面模型实体模型线框模型和表面模型保存的三维形体信息都不完整。只有实体模型才能够完整地、无歧义地表示三维形体。

计算机中表示形体几何模型通常用：3点用三维坐标表示，是最基本的元素边是形体相邻面的交界，可为空间直线或曲线环是有序、有向的封闭边界，外环仅一个，逆时针方向，内环可有可无，也可多个，方向顺时针。面是一个单连通区域，可以是平面或曲面，由一个外环和若干个内环组成；面的方向由面的法矢决定，法矢向外为正向面。基本概念及定义点用三维坐标表示，是最基本的元素基本概念及定义4实体是由若干个面组成的闭包，实体的边界是有限个面的集合。形体表面上任一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域，我们把满足该定义的形体称为正则形体。否则为非正则形体，如存在悬面、悬边的长方体为非正则形体。

实体是由若干个面组成的闭包，实体的边界是有限个面的集合。形体5线框模型线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为直线、圆弧、二次曲线及样条曲线组成。

线框模型线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为直线、6线框模型在计算机内存储的数据结构：

顶点表：记录各顶点坐标值；

棱线表：记录每条棱线所连接的两顶点。classPOINTclassEDGE{{doublev[3];//坐标值intstart_point_no;//边的起点intpointtype;//点的属性intend_point_no;//边的终点

CURVEcur；//边方程定义；

…………..

…………..}}以立方体为例，其线框模型结构如下表：线框模型在计算机内存储的数据结构：classPOINT7优点结构简单，计算机内部易于表达，绘制快速；物体的三维数据可以产生任意视图，为生成工程图带来了方便缺点有二义性，缺少表面轮廓信息，当形状复杂、棱线过多时，会引起模糊理解。2.在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系的信息。从原理上讲，此种模型不能消除隐藏线、计算物性、生成数控加工刀具轨迹、有限元网格剖分、物体干涉检验等。优点缺点有二义性，缺少表面轮廓信息，当形状复杂、棱线过多时，8表面模型表面模型是用有连接顺序的棱边围成的有限区域来定义形体的表面,再由表面的集合来定义形体。表面可以是平面，也可以是柱面、球面等类型的二次曲面，也可是样条曲面构成的自由曲面。表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容。表面模型存储几何信息的方法是建立三表结构，即顶点表、边表和面表。表面模型表面模型是用有连接顺序的棱边围成的有限区域来91）顶点坐标值存放在顶点表中；

2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每条边标识顶点；

3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其组成边。1）顶点坐标值存放在顶点表中；10classPOINTclassEDGEclassFACE{{{

同线框模型同线框模型intedge_num；//边数

int*edge_no;//边链表

intface_type;//面类型

SURFACEsur；//面方程

………….………….…………….}}}classPOINTclassE11

表面模型唯一没有解决的问题是形体究竟在表面的哪一侧，因而在物性计算、有限元分析等应用中，表面模型在形体的表示上仍然缺乏完整性。表面模型可以满足面面求交，线面消隐、明暗处理和数控加工的要求。表面模型的特点表面模型唯一没有解决的问题是形体究竟在表面的哪一侧，12实体模型为了解决形体存在于表面的哪一侧的问题，可采用实体模型来描述三维立体在表面模型的基础上可用三种方法来定义表面的哪一侧存在实体。1）给出实体存在一侧的一点；2）直接用表面的外法矢来指明实体存在的一侧；3）用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向，该方法为CAD系统广泛采用。

（思考：为什么不直接用法矢？）实体模型为了解决形体存在于表面的哪一侧的问题，可采用实13用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向时，规定有向棱边按右手法则取向：沿着闭合的棱边所得的方向与表面外法矢方向一致。思考：相邻两个面的公共棱边的方向不会矛盾吗？

（有矛盾，CAD系统中增加“环”的定义解决矛盾）classPOINTclassEDGEclassFACE{{{

同线框模型同线框模型intedge_num；//边数

EDGE*edge;//边链表

intface_type;//面类型

SURFACEsur；//面方程

………….………….………….}}}数据结构如下：用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向时，规定有向棱边14根据实体模型，可以进行物性计算（如体积、质量，惯量）、有限元分析等应用。从前面的实体模型可知，本质上我们仍然采用了形体的边界表面的数学描述代替实体描述，并非真正描述了实体内部属性。这种典型的边界表面描述方法通常称为实体的边界表达方法（BREP），这在后面内容将详细介绍。根据实体模型，可以进行物性计算（如体积、质量，惯量）15线框、表面与实体模型的比较模型表示应用范围局限性二维线框画二维线框图（工程图）无法观察参数的变化，不可能产生有实际意义的形体三维线框画二、三维线框图不能表示实体、图形会有二义性表面模型艺术图形、形体表面的显示、数控加工不能表示实体实体模型物性计算、有限元分析用集合运算构造形体只能产生正则形体抽象形体的层次较低线框、表面与实体模型的比较模型表示应用范围局限性二维线框画二161、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示

6、图形学的其它应用1、三维形体的计算机表达17图形变换在CAD系统中，经常将显示的形体进行放大缩小、旋转、平移等，以便用户更清楚地观察或编辑操作。实现形体放大缩小、旋转、平移的方法是图形变换。在CAD系统中，常用的图形变换有平移、旋转、比例、投影等变换。图形变换在CAD系统中，经常将显示的形体进行放大缩小18二维图形变换二维图形变换19华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件20三维图形变换三维图形变换21简单几何形体的图形变换应用举例式中：T为所要进行的图形变换矩阵

假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，则经过图形变换后的坐标为：简单几何形体的图形变换应用举例式中：T为所要进行的图形变换矩22图形的显示流程图形的显示流程231、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示

6、图形学的其它应用1、三维形体的计算机表达241）网格剖分算法目前三维几何图形的显示算法均是基于三角形网格，且算法不断被固化到硬件中（如显卡、图形加速卡等），如：三维游戏及动画复杂场景渲染显示

CAD模型显示有限元分析科学数据可视化电影、战场仿真1）网格剖分算法目前三维几何图形的显示算法均是基于25A）平面上的三角剖分任意多边形的三角剖分平面点集的三角剖分边界离散网格生成网格后处理分析、显示软件一般处理过程A）平面上的三角剖分任意多边形的三角剖分平面点集的三角剖分边26B）参数曲面的三角剖分为了显示三维零件形体，CAD系统内部提供参数曲面的三角剖分算法，对形体的每一个表面都进行三角剖分，如图所示。B）参数曲面的三角剖分为了显示三维零件形体，CAD系27经过三角剖分处理，三维零件形体表面都生成并记录了完整的多面体离散数据（即显示数据）CAD系统中的显示算法（线框图、消隐图、真实感显示图等）大多数都是基于该多面体离散数据的算法处理。经过三角剖分处理，三维零件形体表面都生成并记录了完整28C)空间散乱点集的三角剖分（曲面重建）C)空间散乱点集的三角剖分（曲面重建）29???合理分割数据并准确重建原产品特征约束模型仍存在困难???快速重建与产品外形拓扑一致的网格???合理分割数???快速重建与产品30局部网格基于三维Delaunay的构造重建的网格拓扑同产品局部外形拓扑一致局部点集的三维Delaunay剖分得到对应的Voronoi图连接Voronoi区中心点得到局部构造网格在八叉树点集中快速得到绕中心点的邻域点集局部网格基于三维Delaunay的构造重建的网格拓扑同产品局31D)有限元单元网格三角剖分有限元网格生成技术发展到现在,已经出现了大量的不同实现方法。当前广泛使用的Delaunay三角化、推进波前法和八叉树方法等。D)有限元单元网格三角剖分有限元网格生成技术发展到现在,已32华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件33三维几何数据压缩是指对描述三维场景的模型数据进行压缩,以便于模型数据的存储和网络传输,在分布式虚拟现实、协同应用、多用户视频游戏、模型数据在计算机内部的存储和传输有着非常重要的意义。事实上三维图形的信息容量有时也非常大，给存储和传输带来了严重的障碍，必须进行压缩编码才适应现有的网络传输技术，而且在一些需实时处理的应用场合更需要压缩技术的支持。2）三角形网格压缩三维几何数据压缩是指对描述三维场景的模型数据进34单分辨率模型的几何数据压缩单分辨率模型的几何数据压缩是指对物体的一种层次细节的多边形网格表示形式的几何数据进行压缩。使之生成：三角形条带、扇形、网格每个三角形独立地由其3个顶点的9个坐标来表述,如果用浮点数,则需要36个字节来描述一个三角形(暂且不考虑颜色、法向、纹理坐标等属性数据)；这种表述方案使得每个顶点约需被描述6次,浪费了大量存储空间。一种改进的方案是顶点和三角形分开表示，每个顶点用其3个浮点数表示的位置坐标确定;而每个三角形,则用三角形描述表来表示,其中每个表项仅包含该三角形的3个顶点序号.这使得存储空间得到很大程度的节省。

三角形条带的引入进一步减少了不必要的顶点传输：两个相邻的三角形公用一条边,那么从第二个三角形开始,一个新顶点的加入和其前一个三角形的一条边即可构成另一三角形,这使得每个顶点最多必须传送两次。单分辨率模型的几何数据压缩单分辨率模型的几何数据压缩是指对物35该技术有利于缓解图形显示硬件传输瓶颈，加速显示速度该技术有利于缓解图形显示硬件传输瓶颈，加速显示速度36多分辨率模型的压缩是面向多分辨率模型的压缩方法，多分辨率模型可分为：离散多分辨率模型连续多分辨率模型离散多分辨率模型是对复杂的三角形网格通过简化算法逐步得到不同细节层次的多个三角网格模型连续多分辨率模型则是通过一种紧凑的模型表示方法,可生成任意多个不同分辨率的模型（不介绍）。多分辨率模型的几何数据压缩多分辨率模型的压缩是面向多分辨率模型的压缩方37离散多分辨率模型的压缩离散多分辨率模型是对复杂的三角形网格经过一系列简化操作得到了多个不同分辨率的多边形网格模型。这种简化算法通过对三角形网格施以局部的变化而逐步得到不同的细节层次(LOD)，为了保证对原始网格的足够近似,每个简化步骤都须得到控制。离散多分辨率模型的压缩离散多分辨率模型是对复杂38在分布式图形应用中,针对多分辨率模型,累进传输是一个非常有效的传送措施。该方案的思想是首先传输LOD层次中一个最低分辨率的模型，然后在绘制操作开始的同时传送一系列的细化操作（类似JPGE2000思想）；逐步细化的LOD显示可以与更加细化LOD操作信息的传送同步进行,减少了操作人员的等待时间。但是由于累进传输对全局状态设置的要求以及累进传输受到传输速度的制约,使得累进传输的研究进展较为缓慢。随着研究的逐步深入，会使得几何压缩的算法更加成熟和先进，更能满足网络几何图形传输、分布式虚拟环境、电子购物等的应用需求,进一步推动计算机图形学向前发展。在分布式图形应用中,针对多分辨率模型,累进传39华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件403）相交测试与碰撞测试在计算机图形学、CAD、CAE中经常遇到相交测试盒碰撞测试（运动物体）。如鼠标拾取，视窗裁剪、曲面求交、光线跟踪、布尔运算、装配干涉校验、动画漫游、运动碰撞、机器人与机床刀具的轨迹规划等。尤其对较大规模数据的模型而言，相交测试和碰撞测试的速度对系统影响很大。3）相交测试与碰撞测试在计算机图形学、CAD、CAE中经常遇41基本定义：射线：r(t)=o+t·dO:原点，d：射线方向T：参数基本定义：射线：r(t)=o+t·d42轴对齐包容盒（矩形盒）：通常称：AABB表面平行于坐标面有向包容盒：简称：OBB即任意方向的AABB往往由一个中心，三个单位矢量和三个半边长定义包容盒轴对齐包容盒（矩形盒）：有向包容盒：包容盒43离散有向多面体简称k－DOPn3n1n2n4s1d1maxd1min由k/2（k为偶数）个规一化法矢ni定义，每个ni有两个标量值dimin和dimax，由三元组（ni，dimin，dimax）描述一个平板层Si，所有平板层的交集是k－DOP的实际体积，上图为8－DOP。离散有向多面体n3n1n2n4s1d1maxd1min由k/44包容盒的创建：AABB：直接比较所有多面体（前面的离散多面体）顶点坐标即可得k－DOP：是AABB得扩展，将所有多面体顶点坐标投影到k－DOP的每条法线ni上，然后保留dimin、dimax，所有这些值定义一个最小的k－DOP。球体包容盒：计算比较麻烦。较为简单的方法是先计算AABB，再计算AABB的中心，以此为球心，球心到最远顶点的距离即为半径。其它更好更优的算法可查资料。显然，最远距离两点最为球的直径是最优解，关键是快速搜索。包容盒的创建：AABB：直接比较所有多面体（前面的离散多面体45OBB：计算方法较多，较繁琐。方法之一是：1）计算凸包2）计算凸包质心3）计算协方差矩阵的特征向量4)其特征向量即为OBB三个方向5）向三个方向投影即可求出半长值AABB、圆球包容盒比较粗糙（分块多包容盒改进），算法简单K－DOP比AABB更紧致，但计算较多OBB则较k－DOP更优选用何种包容盒视复杂度而定。OBB：计算方法较多，较繁琐。方法之一是：AABB、圆球包容46测试算法实现基本原则：1）尽可能用最简单算法排除或确定相交情形；2）充分利用前一次计算结果；3）如果使用了多种测试，可以尝试改变内部顺序，或许会有意外收效；4）尽量避免复杂计算（如sin，cos，开方等）5）尽量降低维数，使问题简化；6）相交测试复杂时，先用包容盒排除7）养成计时比较的习惯，采用真实数据及计算环境8）确保计算鲁棒性测试算法实现基本原则：47常用相交测试算法：射线——球体测试；射线——长方体测试；线段——长方体测试；射线——三角形测试；射线——多边形测试；平面——长方体测试；三角形——三角形测试；三角形——长方体测试；BV——BV测试（AABB、K－DOP、球、OBB两两之间）……………..。常用相交测试算法：48碰撞处理分为：碰撞测试、碰撞确定、碰撞反应碰撞处理在游戏中是最重要的算法之一，目前算法很多，文献很多，目前没有一个算法能够对所有情形都有效的处理算法。常见测试方法有：1）用射线测试2）BSP树测试3）一般层次构造测试4）k－DOP树测试5）OBB树测试（较K－DOP方法好）。。。。。。一般刚体处理简单一些，柔软物体（液体、衣物）处理更难。碰撞处理分为：碰撞测试、碰撞确定、碰撞反应491、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示

6、图形学的其它应用1、三维形体的计算机表达50显示器显示原理常规显示器上的图形由荧光屏的点阵组成，电子束按行列次序扫描点矩阵，并由显示内容来控制所扫描的点是否发亮，每扫描一遍称为一帧。荧光屏上每一点称象素（Pixel）。每个象素都对应于Buffer中的一个存储单元，里面存放着该象素的显示亮度值。象素的亮度值控制电子束对荧光屏的轰击强度，象素在帧缓存寄存器中的位置编码控制电子束的偏转位置。分辨率（Resolution）是光栅扫描显示设备最重要的指标显示器用于显示字符、图形（触摸显示屏还可作为输入设备）显示器显示原理常规显示器上的图形由荧光屏的点阵组成，电子束按51计算机图形的具体应用范围很广，但是从基本的处理技术看只有两类：线条类：如工程图、地图、曲线图表等；明暗图类（与照片相似）：为了生成图形，首先要有原始数据或数学模型，如工程人员构思的机械零件模型，飞机的总体方案模型，地形航测的判读数据等等。这些数字化的输入经过计算机处理后变成图形输出。三维图形的线框显示属于第一类三维图形的浓淡图及真实感显示是第二类计算机图形的具体应用范围很广，但是从基本的处理技术看只有两类52经过三角剖分处理，计算机内部增加了完整的三维形体逼近多面体近似表达数据结构（即表面全部由以三角形为主的多边形构成，如右下图所示）。在线框显示模型中，为显示方便，分别对边界边和内部边作标识。显示方法：遍历所有多边形网格的点表和边表。两种显示状态可以任选：

a）仅显示轮廓边（内部边不显示）

b）显示所有离散多边形特点：简单快捷，但有二义性。1）线框图显示算法经过三角剖分处理，计算机内部增加了完整的三维形体逼近53线框显示往往导致理解的二义性，如下图。为消除二义性，CAD系统经常采用消除遮挡的不可见线或面的显示算法。习惯上称作消除隐藏线和隐藏面，简称消隐。线框显示往往导致理解的二义性，如下图。54消隐算法的分类：消隐的对象是三维物体，消隐结果与观察物体有关，也与视点有关。2）线框消隐显示算法消隐算法的分类：消隐的对象是三维物体，消隐结果与观察物体有关55

(c)多面体的轮廓分类A）凸多面体消隐算法设V为由视点出发的观察向量，N为某多边形面的法向量。若V·N>0，称该多边形为后向面。若V·N<0，称该多边形为前向面。如右图c，后向面总是看不见的。

(a)前向面

(b)后向面d)凸多面体因此，对凸多面体（右图d）消隐，仅需判断前向面(即V·N<0)，画出所有前向面的各棱边即可。为加速计算，将凸多面体变换，使观察方向V与Z轴方向一致，则仅判断前向面的法矢分量Nz<0即可Vn(c)多面体的轮廓分类A）凸多面体消隐算法(56

//假设已知凸多面体的面—边—顶点表Begin

对凸多面体变换使V与Z同向；for（所有的面）

{计算该面法矢的z分量Nz；

if（Nz>0）{for(该面所有棱边）画出棱边；

}}End凸多面体消隐算法如下：Vnizxy//假设已知凸多面体的面—边—顶点表凸多面体消隐算57B）任意多面体消隐算法算法思路：

1）为运算方便，对视锥以外的物体应先行裁剪过虑，以减少不必要的运算。

2）后向面上的所有棱边都不可见

3）对每一个前向面的所有棱边判断可见性，即判断面对线的遮挡关系。在判断面与线的遮挡关系过程中，要反复地进行线线、线面之间的求交运算，因此求交计算速度将是关键。线面求交线线求交B）任意多面体消隐算法线面求交线线求58某一直线段对任一平面的遮挡关系判断算法：

(1)若线段两端点及视点在给定平面同侧（图a），线段可见，转7

(2)若线段投影与平面投影的包围盒无交（图b），线段可见，转7图a视点与线段同侧

图b包围盒不交某一直线段对任一平面的遮挡关系判断算法：图a视点与线段59(3)求直线与平面的交点。若无交点，转4；否则，交点在线段内部或外部，则判断

a）若交点在线段内部，交点将线段分成两段，与视点同侧的一段可见，转7；剩余另一段在视点异侧，转4继续判断。

b）若交点在线段外部，转4继续判断。

(4)求剩下线段的投影与平面边界投影的所有交点根据交点在原直线方程的参数值求出Z值(即深度)若无交点，转5。

(3)求直线与平面的交点。若无交点，转4；60

(5)以上所求得的各交点将线段的投影分成若干段，求出第一段中点。

(6)若第一段中点在平面的投影内，则相应的段被遮挡，否则不被遮挡；其他段的遮挡关系可依次交替取值进行判断。（见图d）(7)当前循环结束，各可见段进入下一个面的比较，直至所有面比较完毕。图d分段交替取值(5)以上所求得的各交点将线段的投影分成若干段，求出第一段61

上述算法为一条边，一个面的情况，对多条边、多个面则通过循环嵌套实现。如果消隐对象有N条棱，当N很大时，用两两求交的方法这个工作量是很大的O（N2）。为了提高算法的效率，需要设法减少求交的工作量，因此相交测试是关键。如上述算法中仅需对可见子线段与其余平面进行类似的可见性判断，对不可见线段不予计算。

不同消隐算法的关键在于加速计算的策略和方法不同。现在的商用CAD系统消隐算法正确率不能达到100%，速度也有待提高。重点在于线段可见性的判断速度和正确性。上述算法为一条边，一个面的情况，对多条边、多个面则62对CAD图形来说，需要显示轮廓，而非内部三角形边界，为此必须对前面的算法修正：1）三角剖分时，标识是否内部边界；2）计算是否轮廓边界；3）内部边、轮廓边不必计算消隐；4）对其它边进行正常消隐计算。对CAD图形来说，需要显示轮廓，而非内部三角63C）画家算法原理

1)把屏幕置成背景色;2）物体的各个面按其离视点的远近进行排序，排序结果存在一张深度优先级表中;3）按照从表头到表尾的顺序逐个用背景色填充绘制各个面，用指定颜色绘制面的边界。由于后显示的图形取代先显示的画面，而后显示的图形所代表的面离视点更近，所以由远及近的绘制各面，就相当于消除隐藏面。这与油画作家作画的过程类似，先画远景，再画中景，最后画近景。由于这个原因，该算法习惯上称为画家算法或列表优先算法。

这种算法必须首先建立深度优先级表。C）画家算法原理64华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件65遮挡关系判断示意图

画家算法原理简单，关键是如何对场景中物体按深度排序。其缺点是只能处理互不相交的面，而且深度优先级表中面的顺序可能出错。

在两个面相交，三个以上的面重叠的情形，用任何排序方法都不能排出正确的序。这时只能把有关的面进行分割后再排序。

画家算法既可用于线框图消隐，也可用于简单的浓淡图绘制（只需按指定颜色绘制多边形，不必画边界）遮挡关系判断示意图画家算法原理简单，关键是如何661、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示6、图形学的其它应用1、三维形体的计算机表达67真实感显示

1）光照效果影响因素2）简单效果的浓淡图生成3）一般性效果图形生成4）真实感效果图生成5）纹理映射真实感显示1）光照效果影响因素681）光照效果影响因素当光照射到物体表面时，物体对光会发生反射、透射、吸收、衍射、折射和干涉。

被物体吸收的部分转化为热。

颜色是人对光的生理反映，反射、透射的光进入人的视觉系统，使我们能看见物体的颜色。为模拟这一现象，我们建立一些数学模型来替代复杂的物理模型。这些模型就称为明暗效应模型或者光照明模型。思考：我们所见物体的颜色是怎样形成的？影响观察物体颜色的主要因素有哪些？1）光照效果影响因素当光照射到物体表面时，物69在不考虑人的生理因素的情况下，物体的颜色与光源颜色、物体表面物理特性、表面粗糙度、周边环境等因素有关。在正常的情况下，光沿着直线传播，当光遇到介质不同的表面时，会产生反射和折射现象，而且在反射和折射的时候，它们遵循反射定律和折射定律。在不考虑人的生理因素的情况下，物体的颜色与光源70研究光照模型的目的：确定物体表面的每一个多边形或者多边形中的每一个点的颜色，以便实现具有真实感显示效果的三维形体渲染绘制。研究光照模型的目的：确定物体表面的每一个多边71A）单颜色填充多边形算法思路：根据多面体表面的平面法矢决定颜色值，直接调用OpenGL的多边形填充算法即可。算法简单，但轮廓分明，各多边形之间过渡不光滑。2）简单效果的浓淡图生成A）单颜色填充多边形2）简单效果的浓淡图生成72B）Gouraud模型算法思想：为使多边形边界之间光滑显示，先计算多边形各顶点光强，后通过双线性插值，计算多边形内各点光强。能保证多边形边界颜色的连续性，但高光模糊，有时出现过亮或过暗条纹（即马赫效应）。

计算较为简单，OpenGL算法已实现硬件加速。B）Gouraud模型算法思想：为使多边形73算法步骤：For（每一个三角形）{1)计算多边形顶点的平均法向；2)根据基本光照模型计算顶点的平均光强；3)通过线性插值，计算多边形的边上的各点光强；4)通过线性插值，计算多边形内部各点的光强。}算法步骤：For（每一个三角形）743）一般性效果图形生成简单光照明模型--Phong模型浓淡图绘制算法实现A）理想漫反射B）镜面反射

C）环境光

D）

Phong光照明模型A）Z缓冲器(Z-Buffer)算法

B）扫描线算法

C）区间扫描线算法

3）一般性效果图形生成简单光照明模型--Phong模型浓淡图75简单光照明模型--Phong模型

简单光照明模型模拟物体表面对光的反射作用。光源被假定为点光源，反射作用被细分为镜面反射(SpecularReflection)和漫反射(DiffuseReflection)。简单光照明模型只考虑物体对直接光照的反射作用，而物体间的光反射作用，只用环境光(AmbientLight)来表示。简单光照明模型--Phong模型简单光照明模76不妨设：

入射光强为Il

物体表面上点P的法向为N

从点P指向光源的向量为L

两者间的夹角为图

漫反射A）理想漫反射当光源来自一个方向时，漫反射光均匀向各方向传播，与视点无关，它是由表面的粗糙不平引起的，因而可假定漫反射光的空间分布是均匀的。p不妨设：图漫反射A）理想漫反射p77如果Il表示点光源的强度，kd表示物体表面漫反射系数，则漫反射方程可描述为：

(0≤≤若N为物体表面的单位法向量，L为物体表面上一点指向光源的单位矢量，则：

如果有多个光源，则光强度计算式为：图

漫反射如果Il表示点光源的强度，kd表示物体表面漫反78B）镜面反射

对于理想镜面，反射光集中在一个方向，并遵守反射定律。

对一般的光滑表面，反射光集中在一个范围内，且由反射定律决定的反射方向光强最大。

图

镜面反射光因此，对于同一点来说，从不同位置所观察到的镜面反射光强是不同的。镜面反射光强可表示为：Ks是与物体有关的镜面反射系数，a为视线方向V与反射方向R的夹角，n为反射指数，反映了物体表面的光泽程度，一般为1～2000，数目越大物体表面越光滑。B）镜面反射图镜面反射光因此，对79

镜面反射光将会在反射方向附近形成很亮的光斑，称为高光现象。

镜面反射光产生的高光区域只反映光源的颜色将V和R都格式化为单位向量，镜面反射光强可表示为：式中：

对多个光源：图

镜面反射光镜面反射光将会在反射方向附近形成很亮的光斑，称80

C）环境光

环境光是指光源间接对物体的影响，是在物体和环境之间多次反射，最终达到平衡时的一种光。近似地认为同一环境下的环境光，其光强分布是均匀的，它在任何一个方向上的分布都相同。例如，透过厚厚云层的阳光就可以称为环境光。在简单光照明模型中，用一个常数来模拟环境光，用式子表示为：

其中：Ia为环境光的光强Ka为物体对环境光的反射系数

C）环境光其中：Ia为环境光的光强81

D）Phong光照明模型

综上分析，Phong光照明模型表述为：由物体表面上一点P反射到视点的光强I为环境光的反射光强Ie、理想漫反射光强Id、和镜面反射光Is

的总和，即：按R、G、B三种颜色分量展开计算得：I＝Ie

＋Id

＋Is由此可得：D）Phong光照明模型按R、G、B三种颜色分量展开计算得82用Phong模型进行计算时，对物体表面上每个点P，均需计算光线的反射方向R，再由V计算（R·V），为减少计算，可作如下假设：

a)光源在无穷远处，即光线方向L为常数；

b)视点在无穷远处，即视线方向V为常数；c)为避免计算反射方向R，用（H·N）代替（R·V），这里H为L和V的平分向量，即：

H＝（L＋V）/|L＋V|注意：Phong模型对物体表面的每一点的光强进行计算，显然其计算量较大。用Phong模型进行计算时，对物体表面上每个83Phong模型计算实例图中可以看出高光指数、漫反射及镜面系数对显示效果的影响Phong模型计算实例84Phong光照明模型是真实感图形学中提出的第一个有影响的光照明模型，生成图象的真实度已达到可接受程度。但在实际应用中，它是一个经验模型，还具有以下的一些问题：用Phong模型显示出的物体象塑料，没有质感；没有考虑距离对光照强度的衰减影响；环境光是常量，没有考虑物体之间相互的反射光；镜面反射的颜色是光源的颜色，与物体的材料无关；镜面反射的计算在入射角很大时会产生失真；

Phong模型是简单的局部光照模型，对物体间相互反射及折射、阴影处理欠缺等。Phong光照明模型是真实感图形学中提出的第一个有85浓淡图绘制算法实现过程

通过前面介绍的gouraud模型、Phong光照模型可计算物体表面上点的颜色值。为了显示形体的三维真实感效果图，下面介绍多面体浓淡图的如何绘制。由于空间三维物体是连续点集。显然直接计算点的颜色将无法确定计算采样点的位置和数目。

事实上，我们仅能看到屏幕所能显示的区域。如果能够求得屏幕上每一个象素点所对应的物体上点的颜色，这样就可绘制整个图形。浓淡图绘制算法实现过程通过前面介绍的gouraud模86

为了得到屏幕上某象素点所对应的物体上点的颜色，假定作经过该象素点的一条射线，射线平行于观察视线，则射线与多面体物体可能有多个交点。

如果物体不是透明的，则处于最前面的交点的颜色即为所求，如右图所示。

最简单的算法——Z缓冲区（Z－Buffer）算法为了得到屏幕上某象素点所对应的物体上点的颜色，87为计算物体表面上对应象素点的颜色，用帧缓存器存放每个象素颜色（按光照模型计算），用深度缓存空间来存放每个象素深度值Z，称为Z缓冲器（即Z－Buffer）。A）Z缓冲器(Z-Buffer)算法

cz为计算物体表面上对应象素点的颜色，用帧缓存88绘制时思路：a）Z缓冲器中每个单元值是对应象素点所反映物体对象的z坐标值，初值取成z的极小值。

b）将待处理的景物表面上的采样点变换到图像空间，计算其深度值z。

c）并根据采样点在屏幕上的投影位置，将其z值与已存贮在z缓存器中相应象素处的原可见点的深度值进行比较。

d）如果该采样点位于Z缓存器所记录的可见点之前，则将该采样点处的表面颜色填入帧缓存器相应象素，同时用其深度值更新z缓存器存贮的深度值。否则，不写入也不更新。绘制时思路：89Z-Buffer算法（）{for(i=0，1，…，m)//m：窗口水平方向象素数目

for(j=1，…，n）//n：窗口垂直方向象素数目

{用背景色初始化帧缓存CB：CB(i,j)=背景色；

用最小Z值初始化深度缓存：ZB(i,j)=Zmin；

}

for(每一个多边形)

{将该多边形进行投影变换；

扫描转换该多边形在视平面上的投影多边形；

for(该多边形所覆盖的每个象素(i,j))

{计算该多边形在该象素的深度值Zi,j；

if(Zi,j>ZB(i,j）)

{ZB(i,j)＝Zi,j；

计算该多边形在该象素的颜色值Ci,j；

CB(i,j)=Ci,j；

}

}

}

}注：对投影多边形进行裁剪得到有效区域，可加快显示速度Z-Buffer算法（）90Z-Buffer算法在象素级上以近物取代远物。形体在屏幕上的出现顺序是无关紧要的。这种取代方法实现起来远比总体排序灵活简单，有利于硬件实现。然而Z-Buffer算法存在缺点：占用空间大，没有利用图形的相关性与连续性。Z-Buffer算法以算法简单著称，但也以占空间大而闻名。Z-Buffer算法需要开一个与图象大小相等的缓存数组ZB，可一次性显示。当然，也可只用一个深度缓存变量zb，但需逐点计算显示，显示效率低下。Z-Buffer算法在象素级上以近物取代远物91

B）扫描线Z-buffer算法

如何减少Z-buffer的缓冲内存，并利用相关性提高点与多边形的包含性测试和深度计算速度，就得到扫描线Z-buffer算法。从最上扫描线开始向下对每条扫描线作处理。对每条扫描线来说，把相应的帧缓冲器单元置成底色，在z缓冲器中存放z的极小值。B）扫描线Z-buffer算法如何减少Z92与Z－buffer算法相比，扫描线Z－buffer将整个绘图窗口内的消隐问题分解到一条条扫描线上解决，使所需的Z缓冲器大大减少。对每个多边形检查它在oxy平面上的投影和当前扫描线是否相交（如右上图），若不相交则跳过该多边形；若相交则扫描线和多边形边界交点一定成对出现，对每对交点间的象素计算多边形所在平面对应点的深度(即z值)，并和z缓冲器中相应深度值比较。对所有多边形和帧缓冲器每一行都作上述处理。利用多边形Y桶分类、活化边表处理相邻扫描线和象素的连贯性，提高算法效率。交线与Z－buffer算法相比，扫描线Z－buff93C）区间扫描线算法

扫描线z缓冲器算法将消隐问题分散到每一条扫描线上去解决，这样问题变得较简单了。但在每个象素处计算多边形z值的工作量仍是很大。实际上每条扫描线被各多边形边界在oxy平面上的投影分割成为数不多的区间（如右图），每一个区间上只显示一个面。因此，只要在区间上任一点处，找出在该处z值最大的一个面，这个区间上的每个象素就用这个面的颜色来显示。这就是所谓区间扫描线算法。C）区间扫描线算法扫描线z缓冲器算法将消94区间扫描线算法使得在一条扫描线上每个区间只计算一次深度值，不需要Z缓冲器。它是把当前扫描线与各多边形在投影平面的投影的交点进行排序后，使扫描线分为若干子区间。因此，只要在该区间任一点处找出在该处z值最大的一个面，这个区间上的每一个象素就用这个面的颜色来显示。当然，现在计算机的硬件发展很快，缓存数组所耗空间已不是障碍。区间扫描线算法使得在一条扫描线上每个区间只计95华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件96

Phong模型的区间扫描线绘制算法，CAD系统中最常用Phong模型的区间扫描线绘制算法97

4）真实感效果图生成

A)全局关照模型

B)光线跟踪

C)辐射度算法4）真实感效果图生成98A）整体光照明模型简单光照明模型和局部光照明模型，虽然可以产生物体的真实感图象，但它们都只是处理光源直接照射物体表面的光强计算，不能很好的模拟光的折射、反射和阴影等，也不能用来表示物体间的相互光照明影响。而基于简单光照明模型的光透射模型，虽然可以模拟光的折射，但是这种折射的计算范围很小，不能很好的模拟多个透明体之间的复杂光照明现象。对于上述的这些问题，就必须要有一个更精确的光照明模型。整体光照明模型就是这样的一种模型，它是相对于局部光照明模型而言的。在现有的整体光照明模型中，主要有光线跟踪和辐射度两种绘制方法。A）整体光照明模型简单光照明模型和局部光照明99B）光线跟踪算法的基本思想

光线跟踪算法是真实感图形学中的主要算法之一，算法具有原理简单、实现方便和能够生成各种逼真的视觉效果等优点。在真实感图形学对光线跟踪算法的研究中，Whitted提出了第一个整体光照模型，并给出一般性光线跟踪算法的范例，综合考虑了光的反射、折射透射、阴影等。光线跟综过程示意图B）光线跟踪算法的基本思想光线跟踪算法是真实100简单光透射模型把透射光分为理想漫透射和规则透射。由光源发出的光称为直接光，物体对直接光的反射或折射称为直接反射和直接折射。把物体表面间对光的反射和折射称为间接光，间接反射，间接折射。这是光线在物体间的传播方式，是光线跟踪算法的基础。由光源发出的光到达物体表面后，产生反射和折射，简单光照明模型和光透射模型模拟了这两种现象。在简单光照明模型中，反射被分为理想漫反射和镜面反射光。简单光透射模型把透射光分为理想漫透射和规则透101

最基本的光线跟踪算法是跟踪镜面反射和折射。从光源发出的光遇到物体的表面，发生反射和折射，光就改变方向，沿着反射方向和折射方向继续前进，直到遇到新的物体。但是光源发出光线，经反射与折射，只有很少部分可以进入人的眼睛。因此实际光线跟踪算法的跟踪方向与光传播的方向是相反的，而是视线跟踪。由视点与象素(x，y)发出一根射线，与第一个物体相交后，在其反射与折射方向上进行跟踪，如图所示。

最基本的光线跟踪算法是跟踪镜面反射和折射。102此时，光线在离视点最近的景物表面交点处的走向有以下三种可能：★当前交点所在的景物表面为理想漫射面。跟踪结束。★当前所在的景物表面为理想镜面．光线沿其镜面反射方向继续跟踪。★当前交点所在的景物表面为规则透射面．光线沿其规则透射方向继续跟踪。显然，上述过程是一递归跟踪过程。对每一根穿过屏幕象素中心的光线的跟踪构成了一棵二义树。虽然光线在景物间的反射和折射可以无限地进行下，但在实际计算时不可能做无休止的光线跟踪，因而需要给出光线跟踪的终判条件。如设定跟踪层数，光亮度小于给定值等条件。此时，光线在离视点最近的景物表面交点处的走向103华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件104华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件105C）辐射度方法辐射度方法是继光线跟踪算法后，真实感图形绘制技术的一个重要进展。光线跟踪算法成功地模拟了景物表面间的镜面反射、规则透射及阴影等整体光照效果。由于光线跟踪算法的采样特性和局部光照模型的不完善性，该方法难于模拟景物表面之间的多重漫反射效果，因而不能反映色彩渗透现象。将热辐射工程中的辐射度方法引入到计算机图形学中，用辐射度方法成功地模拟了理想漫反射表面间的多重漫反射效果。

经过十多年的发展，辐射度方法模拟的场景越来越复杂，图形效果越来越真实。C）辐射度方法辐射度方法是继光线跟踪算法后，106与前面介绍的光照模型与绘制方法有所不同，辐射度方法基于物理学的能量平衡原理，它采用数值求解技术来近似每一个景物表面的辐射度分布。

在图形绘制场景中，景物表面的辐射度分布与视点选取无关，辐射度方法是一个视点独立(Viewindependent)的算法。由于其视点无关性，使之可广泛应用于虚拟环境的漫游(walkthrough)系统中。与前面介绍的光照模型与绘制方法有所不同，辐射107华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件108a）二维纹理映射概念b）纹理的表示方法c）纹理映射实现方法

d）其它纹理映射方法5）纹理映射a）二维纹理映射概念5）纹理映射109二维纹理映射实质上是从二维纹理平面到三维景物表面的一个映射(如右图)。通常，二维纹理在一个纹理空间（s,t）坐标系内的矩形区域中用光强度值来定义，其中每一点处，均定义有一灰度值或颜色值。而场景中的物体表面则在景物空间（u，v）坐标系中定义的，投影平面上的象素点是在图象空间内的直角坐标系xoy中定义的。a）二维纹理映射概念二维纹理映射实质上是从二维纹理平面到三维景物表面的一个映110在绘制时，应用纹理映射方法可以方便地确定景物表面上任一可见点P处在纹理空间中的对应位置(s,t)；而(s,t)处所定义的纹理值或颜色值即描述了景物表面在P处的某种纹理属性。把该点处的纹理颜色值作为漫反射系数代入光照模型（如简化的Phong反射模型）中进行计算，就能够生成具有纹理效果的真实感图象。纹理影射技术可分为如下两步进行：

a）纹理表示：确定表面的哪些参数需定义成纹理形式，即确定纹理属性。

b）映射纹理：建立纹理空间与景物空间及景物空间与屏幕图象空间之间的映射关系。在绘制时，应用纹理映射方法可以方便地确定景物表面上任一可111b）纹理的表示方法

二维纹理最常见的表示方法就是数字化的彩色图象，其分辨率用m×n表示，颜色数用2k表示，例如，k=1表示黑白（二值）图象；用位图（BitMap）文件（BMP文件）或其它格式的图象文件（例如：PCX，TIFF或JPEG等图象文件）保存。纹理的另外一种表示方法就是用解析函数或过程来表示。例如：我们可以用三维空间中定义的共振函数（正弦函数）来生成木纹理或大理石纹理，这种纹理映射方法称为过程纹理映射。b）纹理的表示方法

纹理的另外一种表示方112c）纹理映射实现方法

大体上，实现纹理影射的方法有两类：

a）将纹理模式映射到景物表面，然后再从景物表面映射到投影平面，即：纹理空间→景物空间→图象空间；

为简化计算，由纹理空间向景物空间映射采用线性映射：

由景物空间向图象空间变换通过平行或透视投影来实现。b）将象素区域映射到景物表面，再由景物表面映射到纹理空间，即：图象空间→景物空间→纹理空间。

这一类方法避免了象素的分割计算，并能简化反走样处理；但是它一般需要计算投影变换和纹理映射的逆变换。c）纹理映射实现方法

大体上，实现纹理影射的方法有两类113华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件114环境映射（反射映射）如茶具上映射房间背景凸凹纹理（如桔子皮的模拟）几何扰动

法矢扰动过程纹理（体纹理）：三维木材材质效果三维大理石效果d）其它纹理映射方法环境映射（反射映射）d）其它纹理映射方法1151、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示6、图形学的其它应用1、三维形体的计算机表达1161）基于图像的绘制技术2）人体建模（皮肤、肌肉、头发、表情、衣服、运动）与虚拟主持人3）基于点的造型4）科学数据可视化体可视化及数字人体技术场可视化（流体、磁场、温度、应力等）5）自然景观仿真6）地理信息系统7）非照片真实感图形绘制8）动画与游戏9）其它1）基于图像的绘制技术1171）基于图像的绘制技术1）基于图像的绘制技术118二种思路：1）通过纹理映射方法把图片贴到三维模型上漫游，但要注意纹理拼接，全景图的合成

生产车间漫游2）直接在二维图像的基础上实现漫游，但漫游的路径应和图像采样路径不能过大的误差，否则视图插值后失真严重。

博物馆旅游，风景旅游二种思路：119华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件120华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件1212）人体建模与虚拟主持人（皮肤、肌肉、头发、表情、衣服、运动）虚拟主持人：通过建模赋予其和真人一样的动感及丰富的个性，和真实主持人相配合（增强现实技术）人体建模：尽可能象真人一样，广泛用于3D游戏，二种思路：利用IBR技术将真人纹理进行映射

直接基于物理的三维建模技术2）人体建模与虚拟主持人（皮肤、肌肉、头发、表情、衣服、运动1223）基于点的造型基于点的点云处理技术以点作为绘制和造型的基本元素克服网格方法的高度复杂性和低鲁棒性无需显式存储拓扑高度的数据局部性3）基于点的造型基于点的点云处理技术以点作为绘制和造型的基本1234）科学数据可视化体可视化及数字人体技术“数字人体—人体系统数字学”是当今医学科学、生命科学、信息科学、智能科学技术和计算机科学技术的高度综合。难点：三维重建过程中的特征分类

4）科学数据可视化体可视化及数字人体技术“数字人体—人体系统124场可视化（流体、磁场、温度、应力等）——等值面生成分形数据显示场可视化（流体、磁场、温度、应力等）——等值面生成分形数据显125自然景观仿真自然景观仿真1265）地理信息系统已二维地图为基础，对重要地点进行三维建模及IBR技术，如通过漫游引导消防灭火等数字地图，GPS导航图、城市规划用谷歌地图的街景查看功能可以在网上360度全方位查看纽约市、旧金山、芝加哥和其它12个城市的街景。实现方法：全方位谷歌摄影车现场拍摄。原理：GIS＋IBR2007年被时代周刊评为最佳发明5）地理信息系统已二维地图为基础，对重要地点进行三维建模及I1276）非照片真实感图形绘制（NPR）以非真实感效果的造型、绘制和动画算法形成画家手工风格的图形。6）非照片真实感图形绘制（NPR）以非真实感128华中科技大学大学CAD技术及应用-第二部分-图形课件1297）动画、游戏、电影特技我国网游业的发展，史玉柱的传奇生涯7）动画、游戏、电影特技我国网游业的发展，史玉柱的传奇生涯13089年与3伙伴4000元巨人创业，91年迁珠海，92年底，销售近2亿元95年,巨人“三大战役”，12种保健品、10种药品、10几款软件推向市场94年初，巨人大厦开工，预计3年、72层、需12亿，96年资金告急，97年初筹资未果，爆发财务危机停工，负债2.5亿，内地“首负”。2000年，运作“脑白金”（前“脑黄金”），创大量财富，并以“神秘人”身份清偿预售楼花款04年进军网游，成立征途网络，05年《征途》推出，06年达6.26亿，07年月利润上市，美国上市。计算机游戏5个元素：图像、声音、操作界面、游戏性、故事好的游戏需仔细策划，包括市场定位、剧本、角色CG＋多媒体技术是基础89年与3伙伴4000元巨人创业，91年迁珠海，92年底，销131特技：动画变形(基于图像)特技：动画变形(基于图像)132特技：动画变形（几何＋图像）特技：动画变形（几何＋图像）133可以粗略地将CG电影分为场景和角色两部分。全CG的场景其代表是虚拟现实(VirtualReality)技术，当然作为CG技术在一个更高层面上的体现，VR技术的广度和深度可以大大超越电影的范畴与局限性。VR技术起先用于一些发达国家飞机驾驶员和汽车驾驶员的模拟体验上，整个生态场景由计算机实时动态生成，根据受测者的行为而模拟出不同后果。如VR系统在美国纽约市海德天文馆的应用，据称该天文馆拥有全球最大的产生身临其境效果的虚拟系统。利用数字技术，该系统能投影50万颗星星，而利用机械投影系统一般只能投影1万2千颗星星。VR技术的出现进一步拓宽了CG应用的空间。

VR技术很快就在电脑游戏等娱乐领域体现出无穷的魅力和商业价值，对于电影来说，虚拟现实是交互式电影(InteractiveMovie)的实现途径之一，试想由观众亲涉其间，控制角色的举动，从而对场景产生互动后果，这是怎样一个梦幻般的体验啊！未来电影中，虚拟现实完全可能与现实分庭抗礼，使观众真正置身于一个虚实莫辨的主观体验的境界之中。VR与CG电影当前我国的创意产业政策，创意产业园兴建热潮可以粗略地将CG电影分为场景和角色两部分。V1341、几何物体的计算机表达方法2、三维图形变换方法3、三角剖分作用、典型方法，为什么要进行几何压缩4、三维模型的线框消隐图显示方法5、三维模型的浓淡图显示方法6、三维场景的真实感图形显示方法7、结合本人的专业背景，举例说明对图形学的需求思考与讨论1、几何物体的计算机表达方法思考与讨论135计算机图形学基础算法1、三维形体的计算机表达2、图形变换3、基础算法4、线框及消隐显示5、真实感显示

6、图形学的其它应用计算机图形学基础算法1、三维形体的计算机表达136现实生活中的产品都是由不同类型的三维(3D)几何形状构成的集合体。描述产品对象的形状、大小、位置与结构等几何信息的模型称为几何模型(GeometricModel)。利用计算机图形技术可在计算机内部描述产品的几何模型和属性(如颜色、纹理等)，并生成直观真实感的图形。

三维几何形体的表达现实生活中的产品都是由不同类型的三维(3D)几137计算机中表示形体几何模型通常用：

线框模型表面模型实体模型线框模型和表面模型保存的三维形体信息都不完整。只有实体模型才能够完整地、无歧义地表示三维形体。

计算机中表示形体几何模型通常用：138点用三维坐标表示，是最基本的元素边是形体相邻面的交界，可为空间直线或曲线环是有序、有向的封闭边界，外环仅一个，逆时针方向，内环可有可无，也可多个，方向顺时针。面是一个单连通区域，可以是平面或曲面，由一个外环和若干个内环组成；面的方向由面的法矢决定，法矢向外为正向面。基本概念及定义点用三维坐标表示，是最基本的元素基本概念及定义139实体是由若干个面组成的闭包，实体的边界是有限个面的集合。形体表面上任一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域，我们把满足该定义的形体称为正则形体。否则为非正则形体，如存在悬面、悬边的长方体为非正则形体。

实体是由若干个面组成的闭包，实体的边界是有限个面的集合。形体140线框模型线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为直线、圆弧、二次曲线及样条曲线组成。

线框模型线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为直线、141线框模型在计算机内存储的数据结构：

顶点表：记录各顶点坐标值；

棱线表：记录每条棱线所连接的两顶点。classPOINTclassEDGE{{doublev[3];//坐标值intstart_point_no;//边的起点intpointtype;//点的属性intend_point_no;//边的终点