北师大版【BS】八年级数学上册一次函数知识要点剖析

北师大版【BS】八年级数学上册一次函数知识要点剖析一、理解函数概念“五”注意教材中是这样定义的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.正确理解函数这一概念必须注意如下五点：一、注意理解“在一个变化过程中，有两个变量”函数中的两个变量，一个是自变量，另一个是函数（即因变量），其中自变量的变化才能引起函数的变化.因此，函数关系是指两个变量之间的一种特殊的对应关系，即变量x与变量y之间存在的对应关系.例如，y=2x-1中的对应关系是指：因变量y对应于自变量x的2倍减去1的差.二、注意理解“x的每一个确定的值”这句话有两层含义：（1）自变量x的取值不能使对应关系无意义，如y=，x的取值不能为1；（2）自变量x的取值不能使某个变化过程（实际问题）无意义.三、注意理解“x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”值得注意的是“y都有唯一确定的值”的含义，即有一个而且只有一个值.因此，自变量x在取值范围内的每一个确定的值，函数y都有一个而且只有一个值与它对应.如y=±x，这里y不是x的函数，因为在自变量x每个值，y有两个值与它对应.或如图所示，皆不是函数关系：四、注意正确判断“谁是谁的函数”判断“谁是谁的函数”，即在某个函数关系中，谁是自变量，谁是函数.在一个变化过程中，如果有两个变量，一个变量取其范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量“互为函数”，即谁都可作为对方的函数.通常，函数即因变量写在等号左边。五、注意正确确定“自变量的取值范围”1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义（1）整式型：其自变量的取值范围是全体实数.如函数y=3x+1，y=x2+x－4中自变量x的取值范围是全体实数.（2）分式型：其自变量的取值范围是使得分母不为零的实数.如函数y=中变量x的取值范围是x≠1（由x－1≠0得）.（3）二次根式型：其自变量的取值范围是使得被开方式为非负数的实数.如函数y=中自变量x的取值范围是x≥1（由x－1≥0得）.（4）复合型：即自变量同时含有上述两种或三种情况时，自变量的取值范围是它们的公共解.如函数y=中自变量x的取值范围是x－2≥0与x－3≠0的公共解，即x≥2且x≠3.2、自变量的取值必须使实际问题有意义当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.如一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，所得新正方形的周长为ycm.则y与x的关系式为y=12－4x,自变量x的取值范围是0<x<3.2、函数的表示方法函数有三种表示方法：（1）列表法；（2）图象法；(3)表达式法（也称关系式或解析式）.二、一次函数的概念、图象及其图象的性质1、一次函数的概念课本首先列举两例，得出两个函数关系式，从而引导归纳出一次函数的定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.〖解读〗：（1）一次函数的表达式y=kx+b（k≠0）的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可为任意数.（2）正比例函数的表达式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1，这是识别一次函数的关键；③无常数项或常数项为0.（3）正比例函数是一次函数的特殊形式.针对训练：（1）已知函数y=(2m-1)x+1-3m，m为何值时，①这个函数为正比例函数？②这个函数是一次函数？析解：解题过程中要注意，一次项系数2m-1不等于0．解：①由正比例函数的定义，有1-3m=0且2m-1≠0，得，∴时，y=(2m-1)x+1-3m为正比例函数．②由一次函数的定义知，当且时，y=(2m-1)x+1-3m为一次函数．（2）若函数，则m=_______。评注：学好概念是学好数学的前提，利用数学概念是数学解题的基本方法，熟知一次函数定义中自变量x的系数、次数要求是解本类题的关键．2、函数图象（1）函数图象的概念：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.（2）函数图象的画法：一般分为三步：①列表；②描点；③连线.3、一次函数的图象（1）形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.（2）画法：由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）和（－，0）的一条直线，当b=0时，即为正比例函数，其图象是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.（3）性质：一次函数性质涉及面广，知识度深，是函数考核方面的重中之重，因此正确的掌握，灵活的应用，便成为了学好一次函数的重点问题。探究一下一次函数的相关性质，一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。①k＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大。②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。相关链接：1．正比例函数的图像肯定经过__________象限，同时y的值会随着x的增大而_________。2．若一次函数的图像经过一、三象限，且，则一次函数的解析式应为_________。答案：1.二、四；减小。2.性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置，反之亦然。①b＞0直线与y的交点在x轴的上方。②b=0直线过原点。③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。相关链接：1．已知一次函数的图像与轴相交负半轴，则图像肯定会过（）A.一、二、三象限B.二、三、四象限C.一、二、四象限D.一、三、四象限2．若一次函数的图像，与轴围成的三角形面积为4，则一次函数的解析式应为_________________。答案：1.D.2.或性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；当b确定k变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。相关链接：1．已知直线经过点，且平行于直线。(1)求该函数的解析式；(2)如果这条直线经过点，求m的值。2．如下图，有四条直线围成的正方形的面积为8，且四个顶点分别在轴上，则经过四条直线的一次函数解析式分别是什么？答案：1．（1）；（2）2。２．。性质四：一般的，一次函数的k、b都未确定，他的图像分为四种情况：注意：一般的画一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)图像时，选取（0，b）、（－，0）两点，即选取直线与两坐标轴的交点。相关链接：1．一次函数，y随x的增大而减小，且k-b＞0，那么这个函数的图像经过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2．如下图，如果一次函数中，，且当时，y＞0，那么一次函数的图像只能是()1.C1.C2.B三、应注意的问题1、由函数关系式画出函数图象，再由函数图象比较“数”，这是“数”与“形”的相互转化，是函数解题的重要手段．2、根据一次函数的图象获取信息，主要是观察图象与两坐标轴的交点，图象上标明的一些点的坐标及增减性．四、一次函数表达式的确定1、方法：待定系数法：先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法，其中未知数的系数也叫做待定系数.2、步骤：（1）设出含有待定系数的一次函数表达式（正比例函数设y=kx；一次函数设y=kx+b）；（2）把已知条件（自变量与因变量的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），求出待定系数；（4）将求得的待定系数的值代回所设的表达式.确定一次函数的表达式，就是确定式中所含的未知系数的值，有时这个未知数需要我们设定，主要的解题思路是解方程．（一）确定正比例函数与一次函数的表达式应具备的条件：1．由于正比例函数中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式．2．一次函数是有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值．（二）正比例函数与一次函数表达式的确定方法：1．对于正比例函数，将一个已知点的纵、横坐标代入中，解一元一次方程，求出k就能确定它的表达式．例1一个正比例函数的图象经过点A（-2，4），写出这个正比例函数的表达式．析解：把点A的纵、横坐标代入表达式中，即其中的，即，解得，所以，函数的表达式为：．2．对于一次函数，将两个已知点的纵、横坐标分别代入中，建立关于k，b的两个方程，求出k，b的值，就能确定函数的表达式．例2直线经过点A（-3，0）和点B（0，2），求这条直线的表达式．析解：本题的确定方法为：把点A和点B的横、纵坐标分别当作x，y的值代入中，可得两个方程：，得出，，从而得出直线的表达式为：．总结：若直线与坐标轴分别交于（m，0），（0，n）点，则3．如果题中没有给出函数的表达式，首先要设出表达式，再根据已知条件求出未知数的值．例3已知一次函数的图象经过点（0，1）和（-1，-3），求它的表达式．析解：本题并没有给出一次函数的表达式，需要我们设出来，可设这个一次函数的表达式为（），然后将点的坐标代入其中，仿照上面的方法可得，此函数的表达式为：．（三）两个特殊的确定方法：1．根据交点确定：由题目中的已知条件，找出对解决问题有用的条件．例4已知一个一次函数的图象和直线与y轴相交于同一点，且过点（2，-6），求此一次函数的表达式．析解：如果设要求的一次函数的表达式为（），因为直线与y轴的交点为（0，2），易知其中的未知数，再根据另一条件求得，所以此函数的表达式为：．2．由平行线确定：如果两条直线平行，那么表示这两条直线的表达式中的“k”值相等，在解题时要注意这个“隐含条件”．例5若直线平行于直线，且过点（5，-9），求直线的表达式．析解：直接可得，再将已知点的坐标代入求出，所以，此函数的表达式为：．（四）与已知一次函数对称例6.已知某一次函数的图像与直线关于x轴对称，求此一次函数解析式．解：由于两一次函数图像关于x轴对称，则直线上的点A(x，y)关于x轴的对称点A′(x，－y)必在所求函数的图像上，即两函数自变量取值相同时，函数值恰好互为相反数，故所求函数解析式为，整理得．评析：由一次函数图像的特征可知，若两函数及的图像关于x轴对称，则必有，仿照此法，也可以求两函数的图像关于y轴对称时的解析式．（五）由已知函数平移所得例7.将直线向上平移5个单位，求所得图像的解析式．解：设所求函数关系式为，因为平移后两函数图像互相平行，故有k=3，而b=－2+5=3，故所求函数解析式为．评析：一般地，对于一次函数（k≠0），若将其向上平移m个单位，则所得函数解析式为；若将其向下平移m个单位，则所得函数解析式为（特别，当m=b时平移后的函数图象将通过原点而转变成正比例函数）．五、一次函数的应用1、由函数图象获取信息（1）从函数图象的形状可判断函数是否是一次函数；（2）从x轴、y轴的实际意义去理解图象上点的坐标的实际意义.2、利用一次函数的知识解应用问题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）解答一次函数问题，如极值、合算等；（5）写出答案.【典题举例】例1点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是.解析：由这个正比例函数的解析式为：y=kx.当x=2时，y=4，即4=2k，则k=2.故这个正比例函数的解析式为y=2x.例2一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为.解析：设一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点.由题意，得当x=0时，y=3；当y=0时，x=－.则OA=3，OB=.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2=AB2，即32＋（）2=52，解得，k=±.例3一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y(cm)与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）A、OA、Ox4y20B、Ox4y20C、Ox4y20D、Ox4y20解析：由题意，得y与x的函数关系式：y=－5x＋20（0≤x≤4）故应选A.例4已知一次函数的图象经过A（－2，－3），B（1，3）两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P（－1，1）是否在这个一次函数的图象上？解析：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.由题意，得解得，k=2，b=1.故这个一次函数的解析式为y=2x+1.（2）当x=－1时，y=2x+1=2×（－1）＋1=－1.所以点P（－1，1）不在这个一次函数的图象上.例5某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，①求排水时y与x之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.解析：（1）由图象可知，洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升.（2）①由题意，得y=40－19x；②当x=2时，y=40－19x=40－19×2=2.故洗衣机中剩下的水量2升.一次函数易错问题剖析一次函数是初中数学的重要内容之一，利用一次函数的有关知识解题时，由于忽略限制条件、考虑问题不全面或受思维定势的影响会出现这样那样的错误，下面给出归类剖析，供同学们在学习时参考。忽略定义式中的限制条件出错。例1、已知函数是一次函数，则n=＿＿＿。错解：因为是一次函数，所以解得：或剖析：一次函数的定义式为：一般地，形如（k,b是常数，）的函数，叫做一次函数，本题正是因为忽略了这一限制条件而出错。正解：因为是一次函数，所以解得所以忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。例2、已知一次函数的图象经过点A（0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为4，则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿。错解：设一次函数的解析式为，因为函数的图象经过点A（0，2），所以b=2，所以函数的解析式为，求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组解得，即图象与x轴交点坐标为由三角形的面积公式得解得：所以这个一次函数的解析式为剖析：在表示三角形的面积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略要取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。正解：设一次函数的解析式为，因为函数的图象经过点A（0，2），所以b=2，所以函数的解析式为，求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组解得，即图象与x轴交点坐标为由三角形的面积公式得解得：所以这个一次函数的解析式为，或。考虑问题不全面出错。例3、一次函数，当时，对应的函数值为，求k+b的值。错解：因为当时，对应的函数值为所以当时当时所以可得方程组解得所以剖析：由于问题中没有给出y随x的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y随x的增大而增大，也有可能y随x的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错。正解：若y随x的增大而增大时，则当时当时所以可得方程组解得所以若y随x的增大而减小时，则当时当时所以可得方程组解得所以所以k+b的值是9或1一次函数图象与直线两者关系不清出错。例4、已知直线不经过第二象限，则m的取值范围是＿＿＿。错解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限所以可得解得剖析：因为直线当时图象也不经过第二象限，所以也符合条件，以上的错解忽略了直线图象不过第二象限这一情况导致了错解。正解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限所以可得解得特