高中数学第三章三角恒等变换32简单的三角恒等变换学案(含解析)-5122

学必求其心得，业必贵于专精3．2简单的三角恒等变换［导入新知］半角公式［化解疑难］对半角公式的理解（1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形获取的．(2)半角公式给出了求α的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及2相应α的条件，sin错误!，cos错误!,tan错误!即可求出．3)由于tan错误!＝错误!及tan错误!＝错误!不含被开方数，且不涉及符号问题，因此求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的起落幂及角的二倍关系的题目时,常用sin2错误!＝错误!，cos2错误!＝错误!。求值问题[例1］已知sinα＝－错误!，π<α〈错误!,求sin错误!，cos错误!，tan错误!的值．[解］∵π<α〈错误!，sinα＝－错误!，cosα＝－错误!，且错误!<错误!〈错误!,sin错误!＝错误!＝错误!，cos错误!＝－错误!＝－错误!，tan错误!＝错误!＝－2。-1-学必求其心得，业必贵于专精[类题通法］已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：先化简已知或所求式子；(2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角下手)；将已知条件代入所求式子，化简求值．［活学活用］已知sin错误!－cos错误!＝－错误!，450°〈α<540°，求tan错误!的值．答案:2三角函数式的化简[例2］化简：错误!（180°〈α<360°)．[解]原式＝错误!＝错误!＝错误!.α又∵180°<α<360°，∴90°〈2〈180°，∴cos错误!〈0,∴原式＝错误!＝cosα.［类题通法］化简问题中的“三变"（1）变角：三角变换时平时先搜寻式子中各角之间的联系,经过拆角、凑角等手段除掉角之间的差异，合理选择联系它们的公式．变名：观察三角函数种类的差异，尽量一致函数的名称，如一致为弦或一致为切．（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择合适的变形路子，如升幂、降幂、配方、开方等．［活学活用]化简：1）错误!－错误!错误!；2)错误!－2cos(α＋β）．答案:（1)－2sin错误!(2)错误!三角恒等式的证明[例3]证明：（1)sinθ(1＋cos2θ)＝sin2θcosθ；-2-学必求其心得，业必贵于专精tanα＋tanβ（2）tanα－tanβ＝错误!.［证明］（1）左边＝sinθ·2cos2θ＝（2sinθcosθ）·cosθ＝sin2θcosθ＝右边．∴原等式成立．sinαcosβ＋cosαsinβ(2）右边＝sinαcosβ－cosαsinβ，分子、分母同除以cosαcosβ，得右边＝错误!＝左边．∴原等式成立．［类题通法]盘点三角恒等式证明的常用方法(1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简；（2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；（3）凑合法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以除掉它们之间的差异,简言之，化异求同；比较法：想法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；（5）解析法：从被证明的等式出发，渐渐地研究使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止，就可以判断原等式成立．［活学活用]求证：错误!＝错误!.证明：左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边．∴原等式成立．三角恒等变换的实质应用[典例］（12分)如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其他部分都是平川．一开发商想在平川上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶-3-学必求其心得，业必贵于专精点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC,CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．［解题流程］［规范解答］如图，连接AP，设∠PAB＝θ错误!,延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ。（2分)因此PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.(4分)因此S矩形PQCR＝PQ·PR(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ）＋8100sinθcos.(7分)令t＝sinθ＋cosθ（1≤t≤错误!），则sinθcosθ＝错误!，（8分）因此S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·错误!＝错误!错误!2＋950。（10分）故当t＝错误!时，S矩形PQCR有最小值950m2;

［名师标明]矩形PQCR的面积取决于P点地址,而P点的地址取决于θ的大小，因此应试虑利用θ表示PQ，PR的大小,关于AM及PM的值可实现此转变.在解题过程中常发生不知如何作辅助线进行转变，以致无法后续解题的情况.采用换元法实现了sinθ＋cosθ与sinθcosθ间的转变，从而将问题转变成熟知的一元二次函数，但要注意换元后的定义域．此处易忽视t的取值范围而以致答案错误.当t＝2时，S矩形PQCR有最大值(14050－9000错误!）m2.(12分）-4-学必求其心得，业必贵于专精[活学活用］有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在圆的直径上，别的两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点，的地址，可以使矩形的面积最大？ADABCD解:以下列图，设∠AOB＝θ错误!，则AB＝asinθ，OA＝acosθ。设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即＝2cosθ·sinθ＝a2·2sinθcosθ＝2sin2θ。Saaa∵θ∈错误!，∴2θ∈（0,π），当2θ＝错误!，即θ＝错误!时，Smax＝a2，此时,A，D距离O点都为错误!a时，矩形ABCD的面积最大．[随堂即时演练］1．已知cosθ＝－错误!，错误!＜θ＜3π，那么sin错误!等于（)A。错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!答案：D2．化简2＋cos2－sin21的结果是（)A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1答案：C3．设5π〈θ<6π，cos错误!＝a，那么sin错误!等于________．答案：－错误!4．已知α是第三象限角,且sinα＝－错误!，则tan错误!＝________。答案：－错误!5．求错误!－sin10°错误!的值．答案：错误!［课时达标检测]一、选择题-5-学必求其心得，业必贵于专精1．cos2错误!－错误!的值为(）A．1B。错误!C。错误!D.错误!答案:D2．已知sin错误!＝错误!，则sin2x的值为（)A.错误!B。错误!C.错误!D。错误!答案：D3．设a＝错误!cos6°－错误!sin6°，b＝错误!，c＝错误!，则有( )A．a>b>cB．a<b<cC．a<c<bD．b<c<a答案：C4．化简错误!2＋2sin2错误!得(）A．2＋sinαB．2＋2sin错误!C．2D．2＋错误!sin错误!答案：C5．设函数f（x）＝sin(ωx＋φ)＋cos（ωx＋φ）错误!的最小正周期为π，且f(－x)＝f（x)，则(）A．f(x）在错误!上单调递减B．f（x)在错误!上单调递减C．f（x）在错误!上单调递加D．f(x）在错误!上单调递加答案：A二、填空题6．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.答案：0或±37．等腰三角形的顶角的正弦值为错误!，则它的底角的余弦值为________．答案:错误!或错误!8．在△ABC中，若cosA＝错误!，则sin2错误!＋cos2A等于________．答案：－错误!三、解答题9．若π〈α<错误!，化简错误!＋错误!.解：∵π<α<错误!，∴错误!〈错误!<错误!,∴cos错误!〈0，sin错误!>0。-6-学必求其心得，业必贵于专精∴原式＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!cos错误!。10．点P在直径AB＝1的半圆上搬动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大?解：以下列图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°,AB＝1，PA＝cosα,PB＝sinα.又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α,∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝错误!PA·PB＋错误!PT·PB·sinα＝错误!sinαcosα＋错误!sin2α＝错误!sin2α＋错误!(1－cos2α)＝错误!（sin2α－cos2α)＋错误!＝错误!sin(2α－错误!)＋错误!.∵0〈α〈错误!，－错误!<2α－错误!<错误!π,∴当2α－错误!＝错误!，即α＝错误!π时，S四边形ABTP最大．11．设函数f(x)＝sin2ωx＋2错误!sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈错误!。求函数f(x）的最小正周期；2）若y＝f(x）的图象经过点错误!，求函数f(x）的值域．解：(1）由于f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ2sin错误!＋λ.由直线x＝π是y＝f（x）图象的一条对称轴，-7-学必求其心得，业必贵于专精可得sin错误!＝±1.因此2ωπ－错误!＝kπ＋错误!(k∈Z），即ω＝错误!＋错误!(k∈Z)．又ω∈错误!，k∈Z,因此k＝1,故ω＝错误!。因此f(x）的最小正周期是错误!.2)由