全国高考数学试题江苏

2010年全国高考数学试题及答案-江苏2010年全国高考数学试题及答案-江苏2010年全国高考数学试题及答案-江苏2010年一般高等学校招生全国一致考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包括填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必然自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地址。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您自己可否吻合。4.请在答题卡上依照晤序次在对应的答题地域内作答，在其他地址作答一律无效。作答必定用毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏。参照公式：锥体的体积公式:V1h是高。锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上.．．1、设会集A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.[解析]观察会集的运算推理。3B,a+2=3,a=1.2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.[解析]观察复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不相同的概率是_▲__.[解析]观察古典概型知识。p31624、某棉纺厂为了认识一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图以下列图，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。[解析]观察频率分布直方图的知识。100×（0.001+0.001+0.004）×5=305、设函数x-xf(x)=x(e+ae)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________[解析]观察函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。6、在平面直角坐标系x2y2xOy中，双曲线1上一点M，点M的横坐标是3，则M到412双曲线右焦点的距离是___▲_______[解析]观察双曲线的定义。MF4，d为点M到右准线x1的距离，d=2，MF=4。e2d27、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______[解析]观察流程图理解。1222243133,输出S12222563。22)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，8、函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak则a1+a3+a5=____▲_____[解析]观察函数的切线方程、数列的通项。22在点(ak,ak)处的切线方程为：yak因此ak1ak,a1a3a516412

2ak(xak),当y0时，解得xak，221。9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[解析]观察圆与直线的地址关系。圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，|c|1，c的取值范围是（-13，13）。1310、定义在区间0,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作2PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。[解析]观察三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=2。线段P1P2的长为23311、已知函数f(x)x21,x0,则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是__▲___。1,x0[解析]观察分段函数的单调性。1x22xx(1,21)1x2012、设实数x,y满足3≤2≤8，4≤x2≤9，则x3的最大值是▲。xyyy4[解析]观察不等式的基本性质，等价转变思想。(x2)2[16,81]，1[1,1]，x3(x2)21[2,27]，x3的最大值是27。yxy283y4yxy2y413、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为baa、b、c，6cosC，则tanCtanCab=____▲_____。tanAtanB[解析]观察三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转变思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b拥有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC1，tan2C1cosC1，tanC2，321cosC222tanAtanB12tanCtanC=4。C，tanBtantanA2（方法二）ba6cosC6abcosCa2b2，6aba2b2c2a2b2,a2b23c2ab2ab2tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sin2CtanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB由正弦定理，得：上式=1c2c2c24ab113c2cosC2b2)(a62614、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S(梯形的周长）2,则S的最小值是____▲____。梯形的面积[解析]观察函数中的建模应用，等价转变思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为x，则：S(3x)24(3x)22(0x1)1(x1)3(1x)31x22（方法一）利用导数求函数最小值。S(x)4(3x)24(2x6)(1x2)(3x)2(2x)31x2，S(x)3(1x2)24(2x6)(1x2)(3x)2(2x)42(3x1)(x3)3(1x2)23(1x2)2S(x)0,0x1,x1，3当x(0,1]时，S(x)0,递减；当x[1,1)时，S(x)0,递加；33故当x1时，S的最小值是323。33（方法二）利用函数的方法求最小值。令3xt,t(2,3),1(1,1)，则：S4t241t323t26t83861t2t故当13,x1时，S的最小值是323。t833二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值。[解析]本小题观察平面向量的几何意义、线性运算、数量积，观察运算求解能力。满分14分。（1）（方法一）由题设知AB(3,5),AC(1,1)，则ABAC(2,6),ABAC(4,4).因此|ABAC|210,|ABAC|42.故所求的两条对角线的长分别为42、210。（方法二）设该平行四边形的第四个极点为D，两条对角线的交点为E，则:为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，因此D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；（2）由题设知：OC=(－2,－1)，ABtOC(32t,5t)。由(ABtOC)·OC=0，得：(32t,5t)(2,1)0，进而5t11,因此t11。5·2AB(3,5),ABOC11也许：，ABOCtOCt25|OC|16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。A.求证：PC⊥BC；B.求点A到平面PBC的距离。[解析]本小题主要观察直线与平面、平面与平面的地址关系，观察几何体的体积，观察空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，因此PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，因此BC⊥平面PCD。因为PC平面PCD，故PC⊥BC。2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，因此平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，因此DF⊥PC，因此DF⊥平面PBC于F。易知DF=2，故点A到平面PBC的距离等于2。2（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC，∠BCD=900，因此∠ABC=900。进而AB=2，BC=1，得ABC的面积SABC1。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V1SABCPD1。33因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，因此PD⊥DC。又PD=DC=1，因此PCPD2DC22。由PC⊥BC，BC=1，得PBC的面积SPBC2。2由VAPBCVPABC，1SPBChV1，得h2，33故点A到平面PBC的距离等于2。17、（本小题满分

14分）某兴趣小组测量电视塔

AE

的高度

H(单位：m），如表示图，垂直放置的标杆

BC

的高度

h=4m，仰角∠

ABE=

，∠ADE=

。一、

该小组已经测得一组

、的值，

tan

，tan

，请据此算出

H的值；二、该小组解析若干测得的数据后，认为适合调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实质高度为125m，试问d为多少时，-最大？[解析]本题主要观察解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）HtanADH，同理：ABH，BDh。ADtantantanHHhhtan4。AD—AB=DB，故得tan，解得：Htantan124tantan因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知dAB，得tanH,tanHhHh，dADDBdtantanHHhhdhtan()dd1tantanHHhd2H(Hh)H(Hh)1ddddH(Hh)2H(Hh)（，当且仅当dH(Hh)125121555时，取等号）dd故当d555时，tan()最大。因为0，则0，因此当d555时，-最大。22故所求的d是555m。18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x2y291的左、右极点为A、B，右焦点为5F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y10,y20。（1）设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹；（2）设x12,x21，求点T的坐标；3（3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的必然点（其坐标与m没关）。[解析]本小题主要观察求简单曲线的方程，观察方直线与椭圆的方程等基础知识。观察运算求解能力和研究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由PF2PB24，得(x2)2y2[(x3)2y2]4,化简得x9。2故所求点P的轨迹为直线x9。215）、N（1，20（2）将x12,x2分别代入椭圆方程，以及y10,y20得：M（2，）3339直线MTA方程为：y0x3，即y1x1，502333直线NTB方程为：y0x3，即y5x5。201362903x7联立方程组，解得：y10，3因此点T的坐标为(7,10)。3（3）点T的坐标为(9,m)直线MTA方程为：直线NTB方程为：

y0x3，即ym(x3)，m09312y0x3，即ym(x3)。m0936分别与椭圆x2y21联立方程组，同时考虑到x13,x23，953(80m2)40m3(m220)20m)。解得：M(2,2)、N(202,20m280m80mmy20mx3(m220)（方法一）当x1x2时，直线MN方程为：20m220m240m20m3(80m2)3(m220)80m220m280m220m2令y0，解得：x1。此时必过点D10）；（，当x1x2时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D（1，0）。因此直线MN必过x轴上的必然点D（1，0）。（方法二）若x1x2，则由2403m23m260及m0，得m210，80m220m2此时直线MN的方程为x1，过点D（1，0）。40m10m若x1x2，则m210，直线MD的斜率kMD80m22，240240m3m180m220m10m直线ND的斜率kND20m2，得kMDk，因此直线MN过D点。3m26040m2ND120m2因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列Sn是公差为d的等差数列。（1）求数列

an

的通项公式（用

n,d

表示）；（2）设c为实数，对满足

m

n

3k且m

n的任意正整数

m,n,k

，不等式

Sm

Sn

cSk都成立。求证：c的最大值为9。2[解析]本小题主要观察等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，观察研究、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：d0，SnS1(n1)da1(n1)d2aaa3aS3(SS)S，3[(a1d)2a1]2(a12d)2,21323213化简，得：a12a1dd20,a1d,a1d2Snd(n1)dnd,Snn2d2，当n2时，anSnSn1n2d2(n1)2d2(2n1)d2，适合n1状况。故所求an(2n1)d2（2）（方法一）SmSncSkm2d2n2d2ck2d2m2n2ck2，cm2n2恒成立。k2又mn3k且mn，2(m22(mn)29k2m2n29n)k2，2故c9，即c的最大值为9。22（方法二）由a1d及Sna1(n1)d，得d0，Snn2d2。于是，对满足题设的m,n,k，mn，有SmSn(m2n2)d2(mn)2d29d2k29Sk。222因此c的最大值cmax9。293k3k另一方面，任取实数a。设k为偶数，令m1,n1，则m,n,k吻合条件，222且SmSn(m2n2)d2d2[(3k1)2(3k1)2]1d2(9k24)。222于是，只要9k242ak2，即当k29时，SmSn1d22ak2aSk。2a2因此满足条件的c99，进而cmax。229因此c的最大值为。20、（本小题满分16分）设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x)。若是存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)拥有性质P(a)。(1)设函数f(x)lnxb2(x1)，其中b为实数。1求证：函数f(x)拥有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。(2)已知函数g(x)拥有性质P(2)。给定x1,x2(1,),x1x2,设m为实数，mx1(1m)x2，(1m)x1mx2，且1,1，若|g( )g()|<|g(x1)g(x2)|，求m的取值范围。[解析]本小题主要观察函数的看法、性质、图象及导数等基础知识，观察灵便运用数形结合、分类谈论的思想方法进行研究、解析与解决问题的综合能力。满分16分。（1）(i)f'(x)1b2212(x2bx1)x(x1)x(x1)∵x1时，h(x)10恒成立，x(x1)2∴函数f(x)拥有性质P(b)；(ii)（方法一）设(x)x2bx1(xb)21b2，(x)与f'(x)的符号相同。24当1b20,2b2时，(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递加；4当b2时，对于x1，有f'(x)0，因此此时f(x)在区间(1,)上递加；当b2时，(x)图像张口向上，对称轴xb1，而(0)1，2对于x1，总有(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递加；（方法二）当b2时，对于x1，(x)x2bx1x22x1(x1)20因此f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递加；当b2时，(x)图像张口向上，对称轴xb1，方程(x)0的两根为：2bb24,bb24，而bb241,bb242(0,1)2222bb24当x(1,bb24)时，(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,bb24)22上递减；同理得：f(x)在区间[bb24,)上递加。2综上所述，当b2时，f(x)在区间(1,)上递加；当b2时，f(x)在(1,bb24)上递减；f(x)在[bb24,)上递加。22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)h(x)(x22x1)h(x)(x1)2又h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，因此对任意的x(1,)都有g(x)0，g(x)在(1,)上递加。又x1x2,(2m1)(x1x2)。当m1,m1时，，且x1(m1)x1(1m)x2,x2(1m)x1(m1)x2，2综合以上谈论，得：所求

m的取值范围是（

0，1）。（方法二）由题设知，

g(x)

的导函数

g'(x)

h(x)(x2

2x

1)，其中函数

h(x)

0

对于任意的

x

(1,

)都成立。因此，当

x1时，g'(x)

h(x)(x

1)2

0，进而

g(x)

在区间(1,)上单调递加。①当

m

(0,1)时，有

mx1

(1

m)x2

mx1

(1

m)x1

x1，mx1

(1m)x2

mx2

(1

m)x2

x2，得

(x1,x2)，同理可得

(x1,x2)，因此由g(x)的单调性知

g(

)

、

g(

)

(g(x1),g(x2))，进而有

|g( )

g(

)|<|

g(x1)

g(

x2)|，吻合题设。②当

m

0时，

mx1

(1

m)x2

mx2

(1

m)x2

x2，(1

m)x1

mx2

(1

m)x1

mx1

x1

，于是由

1,

1及

g(x)

的单调性知g(

)

g(x1)

g(x2)

g(

)

，因此

|g(

)

g(

)

|≥|g(x1)

g(x2)|，与题设不符。③当

m

1时，同理可得

x1,

x2，进而得

|

g(

)

g(

)|≥|

g(x1)

g(x2)|，与题设不符。因此综合①、②、③得所求的

m的取值范围是（

0，1）。数学Ⅱ（附加题）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题地域内作答。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交

DABCOAB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。[解析]本题主要观察三角形、圆的有关知识，观察推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，因此∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，00因此OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，因此AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，因此∠ADB=900，AB=2OB。0因为DC是圆O的切线，因此∠CDO=90。于是△ADB≌△CDO，进而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=k0,N=01，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下获得点分别为A1、B1、C1，0110△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。[解析]本题主要观察图形在矩阵对应的变换下的变化特点，观察运算求解能力。满分10分。解：由题设得MNk0010k0110100k02200k由000102，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。12计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|212。因此k的值为2或-2。C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。[解析]本题主要观察曲线的极坐标方程等基本知识，观察转变问题的能力。满分10分。解：22cos，圆ρ=2cosθ的一般方程为：x2y22x,(x1)2y21，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的一般方程为：3x4ya0，又圆与直线相切，因此|3140a|1,解得：a2，或a8。3242D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：a3b3ab(a2b2)。[解析]本题主要观察证明不等式的基本方法，观察推理论证的能力。满分10分。（方法一）证明：a3b3ab(a2b2)a2a(ab)b2b(ba)(ab)[(a)5(b)5](ab)2[(a)4(a)3(b)(a)2(b)2(a)(b)3(b)4]因为实数a、b≥0，(ab)20,[(a)4(a)3(b)(a)2(b)2(a)(b)3(b)4]0因此上式≥0。即有a3b3ab(a2b2)。（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得a3b3ab(a2b2)a2a(ab)b2b(ba)(ab)[(a)5(b)5]当ab时，ab，进而(a)5(b)5，得(ab)[(a)5(b)5]0；当ab时，ab，进而(a)5(b)5，得(ab)[(a)5(b)5]0；因此a3b3ab(a2b2)。[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定地域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则损失1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则损失2万元。设生产各种产品相互独立。35.记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；36.求生产4件甲产品所获得的利润很多于10万元的概率。[解析]本题主要观察概率的有关知识，观察运算求解能力。满分10分。解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）×，P（X=5）×0.9=0.18，P