2021-2022学年浙江八年级数学上册第1章《三角形的初步认识》竞赛题精选(解析版)

2021-2022学年浙江八年级数学上册第1章《三角形的初步认识》竞赛题精选一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020秋•大安市期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．2．（5分）（2019秋•德城区期末）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三边．∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．故选：C．3．（5分）（2019•武侯区校级自主招生）若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为（）A．31个B．32个C．33个D．34个【解答】解：根据题意得三角形的三边都小于20，设最小的两边为x≤y≤19，x+y＞20当x＝2时，y＝19，当x＝3时，y＝18，当x＝4时，y＝17，18，当x＝5时，y＝16，17，当x＝6时，y＝15，16，17，当x＝7时，y＝14，15，16，当x＝8时，y＝13，14，15，16，当x＝9时，y＝12，13，14，15，当x＝10时，y＝11，12，13，14，15，当x＝11时，y＝11，12，13，14，当x＝12时，y＝12，13，14，当x＝13时，y＝13，符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1＝33，故选：C．4．（5分）（2019秋•浠水县期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论中不一定成立的是（）A．AC＝AFB．∠FAB＝∠EABC．EF＝BCD．∠EAB＝∠FAC【解答】解：∵△ABC≌△AEF∴AB＝AE，∠B＝∠E，AC＝AF，EF＝BC故A，C选项正确．∵△ABC≌△AEF∴∠EAF＝∠BAC∴∠EAB＝∠FAC故D答案也正确．∠FAB和∠EAB找不到对应关系，故不一定相等．故选：B．5．（5分）（2019•霞山区校级自主招生）如图，△ABC中，AD为BC边上中线，DM，DN分别∠ADB，∠ADC的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系（）A．BM+CN＝MNB．BM+CN＜MNC．BM+CN＞MND．无法确定【解答】解：延长ND至P，使DP＝ND，连接MP、BP，如图：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，又∵∠BDP＝∠CDN，∴△BDP≌△CDN（SAS），∴BP＝CN，∵DM，DN分别∠ADB，∠ADC的角平分线，∠ADB+ADC＝180°，∴∠ADM+∠ADN＝×180°＝90°，∴MD⊥PN，∵DP＝DN，∴MN＝MP，∵BM+BP＞MP，∴BM+CN＞MN，故选：C．6．（5分）（2020秋•玉溪）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．68【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，∴△EFA≌△AGB，∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A．7．（5分）（2020•上虞区校级一模）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（）A．7B．8C．14D．15【解答】解：如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O，且AD＝5，BE＝10，延长OD至G，使DG＝OD，则O为AG中点．∵O是重心，∴OB＝2OE，∵OB+OE＝BE＝10，∴OE＝BE＝，同理，可得OD＝AD＝，∴CG＝2OE＝，OG＝2OD＝，∵OC＜OG+CG＝+＝10，CF＝OC，∴CF＜10×＝15，∵第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C．8．（5分）（2019•锦江区校级自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．【解答】解：首先要能组成三角形，易得1＜x＜5下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．3为斜边时，由勾股定理，22+x2＝32，得x＝√5作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；x为斜边时，由勾股定理，22+32＝x2，得x＝√13，同样作图可得当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．综上可知，当√5＜x＜√13时，原三角形为锐角三角形．故选：B．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）（2020秋•宝应县校级模拟）命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．故空中填：同位角相等；两直线平行．10．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝36度．【解答】解：由题意得：∠NCM＝∠NBM＝×180°＝90°，∴可得：∠CMB+∠CNB＝180°，又∠CMB：∠CNB＝3：2，∴∠CMB＝108°，∴（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣∠CMB＝72°，∴∠CAB＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝36°．故答案为：36°．11．（5分）（2020•浙江自主招生）如图所示，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动；将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为a2；简述证明主要思路．【解答】解：重叠部分四边形CEMF的面积为a2．证明如下：连CM，如图，∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，∴CM＝MB＝MA，∴∠A＝∠ACM＝∠MCB＝45°，∠CMA＝90°，又∵△MNK为直角三角形，∴∠EMF＝90°，∴∠AMF＝∠EMC＝90°﹣∠CMF，在△AFM和△CEM中，∴△AFM≌△CEM，∴S△AFM＝S△CEM，∴重叠部分四边形CEMF的面积＝S△ACM＝S△ACB＝××a×a＝a2．故答案为：a2．12．（5分）（2019秋•浠水县期中）如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是5．【解答】解：作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，∵∠OAB＝10°，∴∠CAD＝∠OAD＝＝＝20°，∵∠DAB＝∠OAD+∠OAB＝20°+10°＝30°，∴∠DAB＝30°＝∠DBA，∴AD＝BD，∠ADB＝120°，在△ACD与△BCD中⇒△ACD≌△BCD⇒∠CDA＝∠CDB，∴∠CDA＝∠CDB＝在△ACD与△AOD中＝＝120°，⇒△ACD≌△AOD⇒AO＝AC，∴AO＝5．故答案为5．13．（5分）（2020秋•沈北新区校级月考）如图，若Rt△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和为3．【解答】解：如图，把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置∵四边形ACHD为正方形，∠ACH＝90°，CA＝CH＝CH′，∴A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，∴S△CHF＝S△BCH′＝S△ABC，同理：S△ADE＝S△BGI＝S△ABC，所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，又∵AB＝2，AC＝3，∴BC＝∴S阴影部分面积＝3S△ABC＝3×故答案为：314．（5分）（2020•浙江自主招生）如图，设P为△ABC外一点，P在边AC之外，在∠B之内．S△PBCAB×BC＝3×××2＝3．．：S△PCA：S△PAB＝4：2：3．又知△ABC三边a，b，c上的高为ha＝3，hb＝5，hc＝6，则P到三边的距离之和为8．【解答】解：如图设P到三边的距离为pa，pb，pc，S△PBC＝4S，S△PCA＝2S，S△PAB＝3S，则S△ABC＝S△PBC+S△PAB﹣S△PCA＝4S+3S﹣2S＝5S，∴，∴pa＝ha＝，同理可得：pb＝hb＝2，pc＝hc＝，∴pa+pb+pc＝故答案为：8+2+＝8．三．解答题（共4小题，满分30分）15．（6分）（2020•南岸区自主招生）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．∵∠G＝29°，∴∠ADC＝58°；（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG．∵∠BAG＝∠G，∴∠DAG＝∠G．∴AD＝GD．∵点F是BC的中点，∴BF＝CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF（AAS），∴AB＝GC．∴AB＝GD+CD＝AD+CD．16．（8分）（2020秋•固始县期中）AM是△ABC的中线，求证：AM＜【解答】证明：延长AM到点D，使MD＝AM，连接BD，易证△AMC与△BMD全等，．∴BD＝AC，在△ABD中，AD＜AB+BD，∴2AM＜AB+BD，∴2AM＜AB+AC，∴AM＜．17．（8分）（2020秋•西山区期末）已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：（1）△ADC≌△BDF；（2）BE⊥AC．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．又∵BF＝AC，FD＝CD，∴△ADC≌△BDF（HL）．（2）∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC＝∠DAC．又∵∠D