数学课程标准解读及实践：《三角形的面积》教学设计（详案）

数学课程标准解读及实践：《三角形的面积》教学设计（详案）

师：同学们，我们上节课呢，跟工人叔叔一起研究了楼梯玻璃的问题，探究了平行四边形的面积，那么现在这节课工人叔叔又在忙什么呢？仔细观察，你发现了哪些数学信息？生1：我发现标志牌它是三角形的，生2：这个三角形标志牌的底是9分米，高是7.8分米师：根据这些信息，你都提出什么数学问题？生3：这块三角形的面积是多少？师：那也就是说求谁的面积？生3：求标志牌的。师：这个问题非常的有价值，我们今天就来研究三角形的面积。（板书：三角形的面积）

师：同学们想一想，我们要研究三角形的面积，我们可以用什么样的方法来研究呢？生[o3]

1：我们可以用古代刘辉所说的以盈补虚的方法。我查资料想到的啊，生2：因为我们上节课学的平行四边形的面积也用到了这种方法，师：我们上节课是不是研究了平行四边形的时候，用到了以盈补虚的方法，这位同学非常的会迁移。除了以盈补虚的方法，我们还可以用什么方法呢？生3：还可以用转化的方法师：也就是我们用以盈补虚的方法转化成了学过的图形，是不是这个意思啊？师：那么大家继续大胆的想一想，我们这些三角形可以转化成什么图形呢？生1：我认为可以转化成长方形生2：我们还可以转化成平行四边形，生3：我认为还可以转化成正方形师：我发现了咱们同学说的转化成的图形，都是已经研究过它们面积的图形，那么想不想试一试啊？师：我们看一看研究提示。请你读一读师：同学们，现在我们就根据我们课前准备的这些学具，我们两位同学合作，根据研究提示，想一想可以把它转化成什么图形。好，我们开始吧。师：同学们，有的同学已经做好，哪一位同学先上来展示一下。请你们那两位同学。这两位同学在展示的时候，其他同学认真听，如果你有补充或者疑问，可以随时问他们。第一组：我们是这么做的，请同学们看黑板。这是一个直角三角形，我们先把直角三角形这上面这个地方剪下来。剪下来以后呢，我们用以盈补虚的方法，把这个三角形补到这边，补成一个平行四边形。师：有没有问题。生：我想提问你一个问题，你为什么要从中间这个中点剪呢？生：因为它原本是一个三角形，把它就这样对折一下，对折以后才能知道它这个地方和高一样，如果你不从这个地方剪的话，往上一往下一点，它这个高度不相等了。师：有没有问题了。师：没有了？好，刚才这位同学讲的特别的好，通过对折，我们找到两条边的什么？（生齐：中间（中点），然后我们就可以旋转到右边，拼成一个平行四边形。如果不找到中点，能不能拼成平行四边形？师：这两位同学的想法特别的好，先谢谢你们。师：那我们现在借助课件来说一下刚才的想法。生1：首先先把三角形对折，找出中点。再从中点以上的区域剪切下来。旋转180度，移到另一边，就找到了这个平行四边形。（教师课件动图演示）师：他讲的非常的明白，对不对？好了，除了这种方法，还有没有其他的方法。第二组生

：我们用对折的方法来找出这两条边的中点。然后往上旋转180度。变成一个长方形。生提问：如果这样移了，面积还能一样吗？生：当然是一样的，因为它是同一块东西，所以说面积是一样的，它没有增加或者减去面积不会变化，师：还有人有疑问吗？咦，我们观察一下刚才两位同学的做法。师：上边是我们是沿着两个中点的连线剪下，这个也是找到中点，我们是怎么剪的呀？生：做垂线师：垂直剪对吗？你看，两位同学的方法不一样，特别的有智慧，为什么呢？两位同学的想法跟古代数学家的想法是完全一样，想不想看一看。

师：九张算术当中记载，仔细观察。这两部分叫什么？（生：盈）以盈补（生：虚）？转化成了（长方形）？所以两位同学的想法有没有智慧啊？第3组：请同学们看黑板。一个三角形，首先我们对折找出中点，然后把把它旋转得长方形。生提问：你为什么要将它旋转而不是平移到下边呢？生：如果平移的话。那就到这块，不是长方形了。师：通过旋转得到了学过的长方形。大家看这种方法和这种方法是不是一样的？师：为什么他得出一个长方形啊？原来是个什么三角形？（生：直角三角形）师：这边呢？原来是不是个锐角三角形啊？所以锐角三角形拼成了？（生：平行四边形）直角三角形拼成了？（生：长方形）长方形是不是特殊的平行四边形啊？师：方法也非常的。有没有其他不同的方法好请你们来。第4组：这里是两个完全一样的直角三角形，我们把它旋转一下，这样就能拼成了一个平行四边形，同学们还有什么疑问吗？生：如果这样，你怎么求一个直角三角形的面积呢？师：这个问题问的好，我们一会研究，我们先看他怎么转化的，转化的方法妙不妙啊？师：他的方法和大家不一样，他用了几个三角形来转化？而且他刚才说用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形，有没有跟他想法一样的。师：刚才两位同学拿了两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形。那么两个锐角三角形可不可以拼成一个平行四边形呢？有没有拼锐角三角形的？我们看看课件。师：重合的目的是为了干嘛呀？是不是完全一样？得到了一个？（生：平行四边形。）师：那两个钝角三角形也可不可以这样得到一个平行四边形啊，那你发现什么结论呀？生：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，师：我们同学用了这不同的方法，都转化成了我们学过的？（生：图形）师：那么同学们啊，我们跟以前学过的知识对比，我们可以发现有很多新的问题。我们看看，刚才我们用了三种方法研究了转化，和以前学过的平行四边形的转化，你看有没有相同的地方啊？比较一下，你有什么新的发现？生1：都利用了转化的思维，把它转化成以前学过的图形，师：他非常善于学习和总结。是不是都有转化的思想？将？生1：将新的图形转化成了已经学过的图形生2：我发现他们都是用以盈补虚的方法来转化的师：有没有不同的意见，都是以盈补虚吗？生3：我觉得可以重叠师：重叠的目的是为了干嘛呀？生3：为了把它变成已经学过的图形师：同学们，我们上边是不是以盈补虚的方法啊？师：这个呢，我们没有割下来，没有补到虚的地方。我们是把两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形，我们可以叫合拼的方法。师：好了，你看我们通过对比，知道了转化是一种非常重要的学习方法。那么同学们继续思考，我们转化已经完成了。那么转化之后的图形和原来的图形，它们之间有什么样的关系呢？（教师手势引导）师：那么三角形的面积到底应该怎样计算呢？师：这个任务还需要你们自己探究。好吗？好，请看探究单，刚才我们用了三种方法，一会，请你两位同学合作，从每种方法当中选一种，然后进行探究和推理，好了，开始吧，师：咱们同学的发现特别的多，刚才老师也搜集了咱们同学的作品。我们一块来交流一下行吗？师：我们先看这位同学的好，这是哪个小组的作品？第一组：我们选择的是第三种方法。请同学们看，这个平行四边形是由两个锐角三角形组成的。所以说两个三角形的面积是，平行四边形的面积等于底×高，那我们要求一个三角形的面积，就是再÷2就等于一个三角形的面积。同学们有什么疑问吗？生提问：我觉得你们也可以直接求出来这个平行四边形的面积。因为你们发现了面积不变了，所以说求出来平行四边形的面积就相当于求出来这个三角形的面积。第一组：它这是两个三角形拼成的，我们要求一个三角形，而不是两个，所以要÷2。师：听明白了吗？底×高÷2。底×高是求的谁的面积？刚才他解释的特别好，我要求一个三角形的面积，所以必须÷2，讲的非常好，我们掌声。师：我们看一下这两位同学的想法，这是谁的想法呀？第二组：我们用的是第一种方法。大家可以看到这个三角形对折以后，旋转180度，就变成了一个平行四边形。然后这个平行四边形的高相当于这个三角形的高÷2，所以我们直接就可以得出三角形的高÷2×底就是三角形的面积。大家有什么疑问吗？生提问：刚才他们的方法是÷2，你们为什么不在÷2？第一组：因为这是一个三角形，他们是两个三角形。师：答的特别好，我再补充一点。大家看我们把三角形转化成平行四边形，面积变了没有？这个÷2是指的是谁÷2？（生：高）平行四边形的高是不是三角形高的一半呀？所以这个÷2是高÷2，我们在这个转化当中面积变了没有？所以能不能÷2？在这种方法（第三种）当中面积变了没有？（生：变了）变成了几个三角形？解答的特别好。第三组：首先我们确定了这两个图形，它们虽然经过转化，可是它们的面积没变。然后原来三角形的高，我们觉得应该等于长方形的长。而原来三角形其中一条边的长度是等于它的宽的，所以我们觉得应该是底×高。师：我也很想参与，大家看前两点说的非常对，面积相等对不对？刚才发现了面积相等，他说原来三角形的高就是这个长方形的长，对不对？那么他说原来三角形的边长等于拼成的宽，你能不能介绍一下哪条边的长是这个长方形的宽第二组：在这个三角形中，从两条边的中点以下这一部分就是它的宽。师：好，没关系，老师跟大家一起看好。我们看这个图，大家看本来三角形是这样子的。我们沿着中点垂直减下，大家看啊。长方形的面积和原来三角形的面积没多没少，面积相等。长方形的长是不是三角形的高？师：达成共识了，关键我们来看宽。长方形的宽在这条三角形的底上，你看这个宽和这个底有什么样的关系？是相等呢，还是不相等，是什么样的关系？把它两个移到这边来了，这两条又有什么关系？生：就是我觉得他们之间这个长方形宽的关系，就是这个三角形的两个中点之间的长度。师：这一块长度和这一块长度相不相等？那么这一块跑到哪去了？这一块呢？师：那么这两部分加起来就是等于下边这一块对不对？那么你说长方形的宽就是这个底边的多少？生：一半师：所以它的面积应该是底×高，还是底的一半乘高？生：底的一半，师：你们需要改一改。师：我们终于把刚才我们的方法研究明白了。同学们，我们刚才用了三种方法研究。刚才这种方法，跟古人的方法是完全一样，我们看一下。（板书上的第二种方法）师：半广以乘正从。广是指三角形的底。正从什么意思呢？是指三角形的一条高。大家想想，根据刚才我们探究和这个图，你能不能解释一下半广以成正从什么意思？请你来说生1：半底乘高生2：应该是半底乘高就可以得出三角形的面积生3：底÷2×高师：三个人的想法跟这个想法是完全一致。也是可以用底÷2×高得出三角形的面积。师：我们把这三种方法一起来看一看。底×（高÷2），底÷2×高，底×高÷2。师：哎，一个三角形出来三个公式，我们最好用一个公式对不对？那你想用哪个公式？能不能用一个统一的公式来表示？生1：我觉得用用最后一个公式比较好。因为前几个公式看上去有点太麻烦，而这个公式知道底和高，然后再÷2就可以了师：我也同意他的想法，我们看这三个公式里头都有底×高÷2。用第三个，你看我们把÷2放在最后面，也没有括号了，可不可以？师：那么三角形的面积可以怎么求了，找同学完整的说一遍。生：底×高÷2。（教师板书）师：如果我们底用a,表示高用h表示，面积用S表示。如果用字母怎么表示这个面积公式你来说生：S=ah÷2。师：同学们，我们刚才研究了三角形面积的计算方法。那我们及时的进行梳理，我们可以积累很多的活动经验。我们来看一看。师：我们看一下这一个三角形的探究过程。再和前面的平行四边形的探究过程比较一下，你有什么发现？生[o5]

1：那个三角形的面积多了一个÷2生2[o6]

：相同点都是在不知道新知识的情况下，转化成已经学过的旧知识生3：它们都是用底×高，先算出来它这个图形的面积。只不过三角形的不同就是它要÷2生4：我认为那个它们两个的研究方式后面的都是一样的。前面的是要先把三角形转化成平行四边形师：后边是完全一样，我们发现了转化图形以后。我们要找好它们之间的关系，我们叫（教师板贴，生：寻找关系）师：寻找关系，我们最后就可以推导公式。同学们，这种方法在以后的梯形的研究过程当中也会应到。希望同学们去应用它。师：方法知道了，我们会计算它的面积了吗？能不能列式？师：刚才我们总结了他们的方法，现在我们就运用三角形的计算面积的方法，我们自己做几道题。师：这三道题当中同学们可以自主选择一道题来完成。师：我们看一下答案，一起来对一下，全对？师：老师有个疑问，最后这道题为什么不选13呀？生：因为计算三角形的公式是底×高÷2，但是它那个8m师：8m是哪个边的高。（生：25米）师：也就是我们在选择这个底和高的时候，必须是什么样的一组底和高啊？（生：对应）师：我们继续看第二道题。在上这节课当中我们知道了平行四边形玻璃的面积是0.84平方米，那如果我现在在玻璃上要做一个蓝色的喷绘，那这部分的面积是多少？怎么计算？没有底和高啦。生：0.84÷2=0.42。因为三角形的面积，就是先求出平行四边形的面积再÷2，平行四边形可以分成两个一样的师：平行四边形正好包含两个完全一样三角形。那么但是他刚才说了一句话，你有没有听到，他说三角形是平行四边形面积的一半。能随便说，任何一个三角形是平行四边形面积一半吗？必须什么条件呀？也就是说我们在拼的时候，这个底怎么样，高怎么样？在这个条件之下，我们才知道三角形的面积是它的一半。师：那你看，我们不借助公式，也可以根据两个图形的关系计算出它们的面积是吧？师：仔细观察哪个三角形的面积最大？生：它们的面积都是一样的，因为它们的底都是两厘米，高都是三厘米师：同意吗？这个高你怎么知道都是三厘米呢？生1：因为那上面写的。生2：平行线间的长度处处相等，师：所以高就是三厘米，对不对？那我们可以发现一个什么结论。生：同底等高高三角形面积相等生2：它们不是同底，应该是等底等高师：谁的意见对？面积是一样，但是大家看是同底吗？等底等高的三角形面积？（生：相等）师：我们记得平行四边形的时候，几何原本当中