新高考艺术生数学基础复习讲义 考点49 合情推理与证明（教师版含解析）

考点49合情推理与证明知识理解知识理解一．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．二．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．三．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(本题条件,已知定义,已知公理,已知定理))⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．②推证过程eq\x(已知条件)⇒…⇒…⇒eq\x(结论)(4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②推证过程eq\x(结论)⇐…⇐…⇐eq\x(已知条件)四．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．考向分析考向一推理考向分析【例1】(2021·河南)有一个三段论推理：“等比数列中没有等于的项，数列是等比数列，所以”，这个推理()A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的【答案】D【解析】由等比数列的定义可知等比数列中没有等于的项，即，可知推理正确.故选：D.【举一反三】1．(2021·河南高二月考(文))已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，可得，，，…，观察知呈周期性变化，周期为4，所以．故选：D.2．(2021·全国高三月考(理))某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有()A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁【答案】D【解析】若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，故甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话.若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁.故选：D.3．(2021·安徽省泗县第一中学)将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为()A．1915 B．1917 C．1919 D．1921【答案】B【解析】如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是，则第3个数为1917．故选：考向二证明【例2】(2020·全国高三专题练习(理))已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.【答案】证明见解析.【解析】因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证alnb>blna，只需证取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减.所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即得证.【举一反三】1．(2020·全国高三专题练习(文))已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.【答案】证明见解析【解析】①设，因为，所以.又由，则，所以，与题设矛盾.②若，则与矛盾，所以必有.同理可证：，.综上可证.2．(2020·全国高三专题练习(文))已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较与c的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)>c.【解析】(1)∵f(x)＝ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)＝0的两个根x1，x2满足，又f(c)＝0，不妨设x1＝c∴即是的一个根．(2)假设又由0＜x＜c时，f(x)＞0，得与矛盾∴∵f(x)＝0的两个根不相等∴只有；3．(2020·全国高三专题练习(理))已知a>5，求证：－－.【答案】证明见解析.【解析】要证－－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，只需证2a－5＋2<2a－5＋2，只需证，只需证a2－5a<a2－5a＋6，只需证0<6，∵0<6恒成立，∴－成立.强化练习强化练习1．(2021·河南高二月考(理))请阅读下列材料：若两个正实数，，满足，求证：．证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．根据上述证明方法，若个正实数，，，，满足，你能得到的结论是()A． B．C． D．【答案】D【解析】设函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．故选：D2．(2021·河南)在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有()A．(且)B．(且)C．(且)D．(且)【答案】A【解析】在等差数列中，有所以有在等比数列中，若，则当时，则，则当时，则，则所以故选：A3．(2021·河南)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线(点法式)方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为()A． B．C． D．【答案】D【解析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P(x，y，z)，则(x﹣1，y+1，z+2)∵平面法向量为所求的平面方程为，化简得．故选：D4．(2021·全国=测试)如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在()号座位上．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2014＝4×503＋2，所以第2014次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，故选：B．5．(2021·贵溪市实验中学)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的()A．庚子年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】B【解析】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.6．(2021·全国单元测试)已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为()A．B．C．D．【答案】A【解析】从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n，另一个分子必为8－n，故满足；故选：A7．(2020·全国高三专题练习(理))已知，则下列三个数，，()A．都不大于-4 B．至少有一个不大于-4C．都不小于-4 D．至少有一个不小于-4【答案】B【解析】设，，都大于，则，由于，故，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数，，至少有一个不大于，故选：B.8．(2020·全国高三专题练习(理))用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是()A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于C．假设三内角至少有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】题设条件为至少有一个角不大于，所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于，即三角形的内角均大于.故选：B9．(2020·全国高三专题练习)命题“对于任意角θ，”的证明：“”，其过程应用了A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法【答案】B【解析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．10(多选)．(2021·河北邯郸市·高三一模)新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容()A．可能是家常菜青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾C．可能是烹制西式点心 D．可能是烹制中式面食【答案】BD【解析】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件．故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，所以选：BD．11．(2021·江苏常州市·高三一模)已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下(为虚数单位)：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.【答案】【解析】设，则，，，，.与不可能同时成立，丙丁不能同时正确；时，，不成立，乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：，，则丙也正确，不合题意；当甲丙正确时：，，则乙也正确，不合题意；当乙丙正确时：，，则甲也正确，不合题意；甲丁陈述正确，此时，.故答案为：.12．(2021·河南高二月考(理))观察下列不等式：，，，…，可归纳的一个不等式是__________(且)．【答案】【解析】不等式右边是从开始的逐渐增加1，每个式子的左边的分母逐渐增加1，末项分母分别为．所以归纳的一个不等式是故答案为：13．(2021·河南)甲、乙、丙三位同学是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．【答案】A【解析】甲去过的城市比乙、丙多，且甲没去过城市，甲去过城市，城市，丙去过城市，乙没去过城市，则乙可能去过或城市，再根据丙的说法可知乙去过城市．故答案为：A14．(2021·山西高三一模(理))观察下列各式：，，，，……照此规律，当时，_________________．【答案】【解析】由已知等式观察，等式右边为形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，照此规律，当时，．故答案为：.15．(2021·山东日照市·高三一模)为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.【答案】0.42【解析】该生成绩为70分时，其立定跳远距离为米，该生成绩为105分时，其立定跳远距离为米，所以增加了米，故答案为：0.4216．(2021·全国=课时练习)观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有___________小圆圈.【答案】【解析】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.故答案为：n2-n+117．(2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模(文))，.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.【答案】(答案不唯一)【解析】由已知中：，归纳推理的一般性的命题为：证明如下：左边右边.结论正确.故答案为：18．(2021·全国高三专题练习)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是________.【答案】“存在、，使得，则”.【解析】根据反证法的原理可知，该同学所做的反设应该是：“存在、，使得，则”.故答案为：“存在、，使得，则”.19．(2020·全国高三专题练习(文))如果，则应满足的条件是__________．【答案】且【解析】由得所以应满足的条件是且.故答案为：且20．(2021·全国高三专题练习)小赵、小钱、小孙、小李每人去、、、四地之一，去的地方各不相同．小赵说：我去小钱说：我去或或地；小孙说：我去地；小李说：我去地；①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．(填写你认为正确的序号)【答案】③或④【解析】假设小赵说错了，则其他三人正确，就意味着小钱、小孙、小李分别去了地、地、地，则小赵去了地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.同理，若小钱说错了，则小钱必须去地，这与小赵去地矛盾，所以小钱说对了.若小孙说错了，则小赵去地、小钱去地、小孙去地，小李去地，符合题意.若小李说错了，则小赵去地、小钱去地、小孙去地，小李去地，符合题意.故答案为：③或④21．(2021·北京高三专题练习)对于正整数集合(，)，如果去掉其中任意一个元素()之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．(Ⅰ)判断集合是否是“和谐集”(不必写过程)；(Ⅱ)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；(Ⅲ)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．【答案】(Ⅰ)不是“和谐集”；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)7.【解析】(Ⅰ)集合不是“和谐集”．(Ⅱ)设集合所有元素之和为．由题可知，()均为偶数，因此()的奇偶性相同．(ⅰ)如果为奇数，则()也均为奇数，由于，所以为奇数．(ⅱ)如果为偶数，则()均为偶数，此时设，则也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数．综上所述，集合中元素个数为奇数．(Ⅲ)由(Ⅱ)可知集合中元素个数为奇数，当时，显然任意集合不是“和谐集”．当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④．由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．因此当时，集合一定不是“和谐集”．当时，设，因为，，，，，，所以集合是“和谐集”．集合中元素个数的最小值是7．22．(2021·全国高三专题练习)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]