泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)

泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)资料仅供参考文件编号：2022年4月泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：第五章习题第一部分01-15M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间．[证明]显然span(M)是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且MN．则由span(M)的定义，可直接验证span(M)N．所以span(M)是包含M的最小线性子空间．设B为线性空间X的子集，证明conv(B)={|ai0,=1,xiB,n为自然数}．[证明]设A={|ai0,=1,xiB,n为自然数}．首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有AF，故A为包含B的最小凸集．证明[a,b]上的多项式全体P[a,b]是无限维线性空间，而E={1,t,t2,...,tn,...}是它的一个基底．[证明]首先可以直接证明P[a,b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P[a,b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示．设c0,c1,c2,...,cm是m+1个实数，其中cm0，m1．若=0，由代数学基本定理知c0=c1=c2=...=cm=0，所以中任意有限个元素线性无关，故P[a,b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。在2中对任意的x=(x1,x2)2，定义||x||1=|x1|+|x2|，||x||2=(x12+x22)1/2，||x||=max{|x1|,|x2|}．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明]证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间．[证明]x,ycl(L)，a，存在L中的序列{xn},{yn}使得xnx，yny．从而x+y=limxn+limyn=lim(xn+yn)cl(L)，ax=alimxn=lim(axn)cl(L)．所以cl(L)是X的线性子空间．[注]这里cl(L)表示子集L的闭包．设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0M．证明：L={ax0+y|yM,a}也是X的闭线性子空间．[证明]若a,b，y,zM使得ax0+y=bx0+z，则(ab)x0=zyM，得到a=b，y=z；即L中元素的表示是唯一的．若L中的序列{anx0+yn}收敛于X中某点z，则序列{anx0+yn}为有界序列．由于M闭，x0M，故存在r>0，使得||x0y||r，yM．则当an0时有|an|=|an|·r·(1/r)|an|·||x0+yn/an||·(1/r)=||anx0+yn||·(1/r)，所以数列{an}有界，故存在{an}的子列{an(k)}使得an(k)a．这时yn(k)=(anx0+yn)anx0zax0M．所以zL，所以L闭．[注]在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件．证明：a.在2中，||◦||1，||◦||2与||◦||都是等价范数；b.||◦||1与||◦||2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．[证明]a.显然||x||||x||2||x||12||x||，所以||◦||1，||◦||2与||◦||都是等价范数．b.必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf{||x||2|||x||1=1}0．若inf{||x||2|||x||1=1}=0，则存在X中序列{xn}，使得||xn||1=1，||xn||20．而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而||xn||10．这矛盾说明inf{||x||2|||x||1=1}=a>0．对xX，当x0时，||(x/||x||1)||1=1，所以||(x/||x||1)||2a．故xX有a||x||1||x||2．类似地可以证明存在b>0使得b||x||2||x||1，xX．所以两个范数等价．证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187,例]证明：是可分的Banach空间．[证明见第4章习题16]设X,Y为线性赋范空间，TB(X,Y)．证明T的零空间N(T)={xX|Tx=0}是的闭线性子空间．[证明]显然N(T)={xX|Tx=0}是X的线性子空间．对xN(T)c，Tx0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得uU有Tu0，从而UN(T)c．故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间．设无穷矩阵(aij)，(i,j=1,2,...)满足，定义算子T:mm如下：y=Tx，，其中x=(i),y=(i)m．证明：T是有界线性算子，并且。[证明]因，及T是线性的，所以T为有界线性算子，。对任意的实数，存在自然数使得。取，使得其第个坐标，则，且。所以，故有，从而。设满足对有。证明是有界线性算子，。[证明]显然是线性算子。因为，，所以，，可见是有界线性算子，且。令（仅第个坐标不为零），则，，，。所以。证明上的泛函是有界线性泛函，且。[证明]显然是线性泛函。对有，所以是有界线性泛函，且。进一步，取使得，则。得到。取定，在上定义泛函如下：。证明是有界线性泛函，。[证明]显然是线性泛函，由，知有界。取使，则，得。证明：。[证明]任取，显然是上有界线性泛函，且。又取使其第个坐标为其余皆为，则，。从而，进而．另一方面，设为上有界线性泛函，令，则，，从而。对，我们令，则．注意到在中，以及为上有界线性泛函，故，并且满足这样条件的是唯一的．证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。[证明]设X是n维线性赋范空间，{x1,x1,...,xn}是它的一个基．令fi:X®X表示，i=1,2,...．则，注意到也是X上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M>0使得，所以，所以fiX*．下面证明{f1,f1,...,fn}是X*的一组基。事实上，fX*，，所以。故X*为有限维空间，且维数不超过n．若，则，所以{f1,f1,...,fn}线性无关，故X*维数为n。证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。[证明]设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J:X®X**是保范的线性同构，故X**必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X*必然也是无穷维的．设X是赋范空间，M为X的子集，xX。证明：xcl(span(M))的充分必要条件为fX*，若f(M)=0则f(x)=0．[证明]设xcl(span(M))，则对fX*，若f(M)=0，由于f是线性的和连续的，自然有f(cl(span(M)))=0，从而f(x)=0．反过来，设xcl(span(M))，则d(x,cl(span(M)))>0．由Hann-Banach定理，存在fX*，使f(cl(span(M)))=0，且f(x)=d(x,cl(span(M)))>0，得到矛盾．验证极化恒等式。[证明]我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的．||x+y||2||xy||2=<x+y,x+y><xy,xy>=(<x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>)(<x,x><x,y><y,x>+<y,y>)=4<x,y>．证明由内积导出的范数||x||=<x,x>1/2满足范数定义的三个条件。[证明]前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上，||x+y||2=<x+y,x+y>=||x||2+<x,y>++||y||2=||x||2+2Re(<x,y>)+||y||2||x||2+2|<x,y>|+||y||2||x||2+2||x||·||y||+||y||2=(||x||+||y||)2．所以三角不等式成立．证明内积空间中的勾股定理。[证明]设x=x1+x2，且x1x2．则<x1,x2>=<x2,x1>=0，所以||x||2=||x1+x2||2=<x1+x2,x1+x2>=<x1,x1>+<x1,x2>+<x2,x1>+<x2,x2>=<x1,x>+<x2,x2>=||x1||2+||x2||2．设X是内积空间，，。证明：。[证明]对，因，得，故，所以。设X是内积空间，，。证明：。[证明]对，由，及，知，故。所以。设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：，。[证明]对，显然有，从而，故。若，由投影定理，设，其中，，且。此时，故有，所以，故。由23题结果，，而对，，故，所以,因此，故有。设X为内积空间，M是X的线性子空间，满足：对任何，它在M上的正交投影都存在。证明：M是X的闭线性子空间。[证明]对，由于存在它在上的正交投影，故可设，其中，。由26题知，而，故，所以，因此，即为的闭子空间。设X为内积空间，M是X的稠密子集，{en}是X的标准正交系。证明：{en}完备的充要条件是在子集M上，Parseval等式成立．[证明]由{en}完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对xX，由M在X中稠密，对任意的，存在，使得，。而对于，Parseval等式成立，即，存在自然数使得。下面估计： （三角不等式）（用放大），由的任意性，及Bessel不等式有。即xX，Parseval等式成立，所以{en}是完备的标准正交系。设X为内积空间，{en}是X的标准正交系。证明：x,yX，都有。[证明]由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有。设H为Hilbert空间，{en}是H的标准正交系。证明：{en}是完全的的充要条件是：对于x,yH，都有。[证明]若{en}是完全的，则它是完备的．于是x,yH总有，，计算x,y的内积得：。反过来，若x,yH都有，令y=x，则有Parseval等式成立，从而{en}是完备的，所以在Hilbert空间H中{en}是完全的。设H为Hilbert空间，{en}，是H的两个标准正交系，其中{en}是完备的，并且它们满足条件，并且。证明：也完备的。[证明]对xH，若，由于{en}是完备的，所以如果x0，则上式将导出矛盾：||x||<||x||，故必有x=0．所以是完全的，因而也是完备的。设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间，f是M上的有界线性泛函．证明：存在f在H上的唯一的延拓F，使得||F||H=||f||M．[证明]首先，存在f在L=cl(M)上的唯一的延拓g，使得g为L上的有界线性泛函，并且||g||=||f||．若L=H则结论显然成立．若LH，在L上用Rieze表示定理，uL，使得g(x)=<x,u>，对xL．在H上定义F(x)=<x,u>，xH．则F为H上有界线性泛函，且||F||H=||u||=||g||L=||f||M，而且F是g的延拓，因而F也是f的延拓．若G也是f的满足条件的延拓，用Rieze表示定理，存在v