深入解读-6种方法来因式分解二次多项式（二次方程）

深入解读-6种方法来因式分解二次多项式（二次方程）

本文将教你如何因式分解二次多项式。一个多项式含有一个变量（x），x有特定的次数，多项式还有各种其他的变量和常数。要因式分解一个二次多项式成多个多项式因子相乘的形式，你的数学水平得达到代数I以上，否则不太容易理解本方法的原理。本文中都用到的标准形式的二次多项式：ax2+bx+c=0步骤1写下表达式。以次数高低排列，如果有最大公因数则提出来：6+6x2+13x，6x2+13x+62用以下方法之一，得出因式分解的结果：(2x+3)(3x+2)3用FOIL（首项相乘、外项相乘、内向相乘、次项相乘，这是展开多项式相乘的一种步骤方法）分解，并合并同类项：(2x+3)(3x+2)，6x2+4x+9x+6，6x2+13x+6。方法1试错法若你的多项式十分简单，可以自己来发现因数。注意：用这个方法，可能不能因式分解更复杂的三项式了。例子:3x2+2x-81把a、c的因数写出来：a=3因数有:1和3，c=-8因数:2和4和1和82写两对括号，留点空白：(x)(x)3把a可能的一对因数写在x前：本例子中只有一对因数(3x)(1x)4在x项后面分别写上成对的c的因数，先试试(3x8)(x1)5决定x项和常数项的符号。以下是方法：如果ax2+bx+c则(x+h)(x+k)，如果ax2-bx-c或ax2+bx-c则(x-h)(x+k)。如果ax2-bx+c则(x-h)(x-k)。本例子中是3x2+2x-8，因此(x-h)(x+k)是答案的形式，然后试试：(3x+8)(x-1)6把两个括号展开，如果中间项不对，则这种化简不对（c的因数选错了）。(3x+8)(x-1)，3x2-3x+8x-8，3x2+5x-8≠3x2+2x-87如果必要，则换掉因数。本例中我们试试2和4这对：(3x+2)(x-4)c现在是-8。但是外项和内项积分别是-12x和2x，合并不成+2x。8如果必要的话就调转顺序。我们试试把2、4换个位置。(3x+4)(x-2)c还是对的。外项积和内项积是-6x和4x，则这两个数的和同2x正好符号相反9然后再确认一下符号正负。顺序是没错的，现在把符号倒过来：(3x-4)(x+2)c还是对的。外项积和内项积现在6x和-4x。加起来等于2x，这次就对了。方法2分解法不喜欢猜的方法，可以试试这个。例子:6x2+13x+61把a、c乘起来，本例中是：6•6=362找出一对数字，乘起来是36，加起来又是b（13）：4•9=364+9=133把两个数字设为k和h(顺序随意):ax2+kx+hx+c，6x2+4x+9x+64整理成组，因式分解。整理一下方程，使得可以提出最大公因式（(3x+2)），然后合并同类项，得到因式分解结果。6x2+4x+9x+6，2x(3x+2)+3(3x+2)，(2x+3)(3x+2)方法3三重方法本方法很像分解法，不过更简单例子:8x2+10x+21将a、c两项相乘。8•2=162找出两个数字，相乘是16，相加又是b(10)。2•8=168+2=103将两个数（h、k）代入这个方程：(ax+h)(ax+k)----------------------a(8x+8)(8x+2)----------------------8（如图）4看看哪一个括号项可以被a整除，并且商是偶数。a{本例中为(8x+8)}。用a除以这个数，让另一项保持原样(8x+8)(8x+2)----------------------8，答案:(x+1)(8x+2)5如果两括号有最大公因式，提出来：(x+1)(8x+2)，2(x+1)(4x+1)方法4两个平方之差1如果需要，则提出最大公因数。27x2-12，3(9x2-4)2看看方程是否是两个平方之差。一定要有两项，否则不能平均分解这个方程。√(9x2)=3x，√(4)=2（注意这里省去了负数根。）3把“a”、“c”从你的等式中代入下列公式：(√(a)+√(c))(√(a)-√(c))3[(√(9x2)+√(4))(√(9x2)-√(4))]3[(3x+2)(3x-2)]方法5使用二次公式上述方法都不行，则用二次公式例如：x2+4x+11将对应量代入本方程：x=-b±√(b2-4ac)---------------------2a，x=-4±√(42-4•1•1)-----------------------2•1（如图）2解出x。得到两个x，x=-4±√(16-4)------------------2x=-4±√(12)--------------2x=-4±√(4•3)--------------2x=-4±2√(3)--------------2x=-2±√(3)，x=-2+√(3)或x=-2-√(3)（如图）3把x值(h、k)代入方程(x-h)(x-k)，(x-(-2+√(3))(x-(-2-√(3))，(x+2+√(3))(x+2-√(3))方法6用计算器这些步骤适合TI图形计算器，在标准考试中尤其好用。1输入[Y=]：y=x2−x−22按下[GRAPH]作图。3找到和x轴相交点得到(-1,0),(2,0)，x=-1,x=2如果看不到，则按下[2nd]-[TRACE]，按下[2]或选择“0”。移到交点之左以后按下[ENTER]，移到交点之右按下[ENTER]，移到尽量接近和x轴相交的点旁边，按下[ENTER]，计算器就会自动算出该点的横坐标。对另一个交点也重复此步骤。4把x值(h和k)代入本公式：(x-h)(x-k)，(x-(-1))(x-2)，整理为(x+1)(x+(-2))表示出两个交点来。利用箱型法（可视解）本网站有解释:/modules/factquad3.htm视频说明:/watch?v=bq1Iw1w1Bgo小提示若用二次公式因式分解了一个多项式，其中含有根数，可能需要将x换成分数来检查该解是否正确。如果一个项没有系数，则系数是1。x2=1x2如果有TI-84计算器(可画图)，则有一个叫做SOLVER的程序可以解二次方程，这个程序还可以解任何其他次数的多项式。如果一个项不存在，则它的系数是0。有时把0项写出来会比较方便，比如x2+6=x2+