工程流体力学-教学课件-作者-周乃君-流体力学第十二章量纲分析与相似原理

流体力学研究方法：（1）数学（理论）分析法建立流体运动的方程组与定解条件－求解方程组（精确解或近似解）。（2）实验研究根据模化理论通过实物实验、模型实验进行观察和测量。（3）数值计算确定方程组与定解条件，选用适当数值方法，编制计算机程序计算。第十二章量纲分析与相似原理12.1

问题的提出1流体力学研究方法：第十二章量纲分析与相似原理12.1

实验法：通过物理模拟实验寻求流体运动时，各量之间存在规律性。对想象或进行的过程→观察、测量、分析→寻求各量之间关系、分析、研究、加工→关于这个现象的内在规律→近似。①实验法很有局限性：实验结果只能用于特定的实验条件或推广到与实验条件完全相同的现象中去。②由于设备条件限制（T、P过高，尺寸过大），使直接实验难以进行。③有时只能得出个别量之间的规律性关系，难以抓住现象本质，往往需用数学解析法来验证。2实验法：2例：管内流动阻力△P=f(ρ，V，d，μ，g，ε)实验时每个参数改变5次，则实际次数为56=15625次。每次花1小时，每天8小时，则需1953天≈3年！如采用量纲分析法得到无量纲准则方程：3例：管内流动阻力如采用量纲分析法得到无量纲准则方程：31量纲

是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。2基本量纲导出量纲

基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L，时间量纲T，质量量纲M

导出量纲由基本量纲组合表示，如加速度的量纲[a]=LT-2力的量纲[F]=[ma]=MLT-2

任何物理量B的量纲可写成[B]=MLT12.2

单位与量纲41量纲12.2单位与量纲4基本量纲：长度[L]、时间[τ]、质量[M]、温度[T]导出量纲：力[MLτ-2]、压强[ML-1τ-2]、动力粘度[ML-1τ-1]、运动粘度[L2τ-1]、密度[Mτ-3]、速度[Lτ-1]、加速度[Lτ-2]、导热系数[Mτ-3T]、比热[L2T-1τ-2]，……5基本量纲：导出量纲：53基本量导出量

一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系导出，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括全部基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。63基本量导出量6无量纲量

指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数。

7无量纲量7量纲和谐性原理

量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，以能量方程为例：

方程左边各项的量纲从左到右依次为:8量纲和谐性原理量纲和谐性原理又被称为量纲一致量纲分析法将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量，利用雷利法和定理使无量纲综合量构成函数关系。它反映了物理量之间的内在规律，并使待求的函数的自变量数目减少到最低。量纲分析法分析简明，抓住问题实质，能大大减少试验次数，并有效简化实验条件。12.3

量纲分析法9量纲分析法将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量，利用雷利一、雷利法（Rayleigh,1899年）1）将影响流动过程的n个物理量的隐函数，写成幂函数形式：2）用基本量纲表示各物理量;3）根据量纲和谐原则，方程两边基本量纲的指数应相等，即构成指数应满足的方程（3个方程）4）当n≤4时可直接求解，当n＞4时，有n-4个指数待定;5）适当选择待定指数构造出准则数。10一、雷利法（Rayleigh,1899年）1）将影响流动过示例：管内层流运动的压力损失设与ρ，u，d，μ，l有关，则方程三个，未知数5个。（等温流动）则11示例：管内层流运动的压力损失设与ρ，u，d，μ，l有关，如取：则：如取：则：对比理论结果：可知：（与实验不符）12如取：则：如取：则：对比理论结果：可知：（与实验不符）12二、定理（Buckingham,1914年）1）列出影响因素：n个物理量，写成隐函数形式：2）选择其中三个（不考虑温度时）在量纲上基本独立的物理量x1，x2，x3，对等温流动可取l，u，ρ.3）用三个量的组合，表示x4,x5,……xn共n-3个物理量4）比较[M],[L],[T]的因次，解出全部5）建立n-3个无量纲的综合物理量，称π

项6）将待求函数关系式写成n-3个π

项的关系式：

(i=4,5,……n)13二、定理（Buckingham,1914年）1）列出影响示例：某流动现象由下列因素决定：流速V，密度，线形尺寸l，压差P，重力加速度g，动力粘度，表面张力，弹性模量E等，现有π定理建立相似准则。解：取，V，l为基本量，则解得即Eu（欧拉）数故14示例：某流动现象由下列因素决定：流速V，密度，线形尺寸l，同理可得：无量纲方程：或写成：或：*Fr是弗罗得（Froude）数，We是韦伯（Weber）数。15同理可得：无量纲方程：或写成：或：*Fr是弗罗得（Frou16如：对不可压管内流动，Fr，We，M均不重要，可忽略。则：实验证明：为线性关系于是：取阻力系数：则：（达西公式）只需对和Re和/d做有限次实验，可得出的具体关系式，则流动阻力关系式即完全确定。--尼古拉兹实验16如：对不可压管内流动，Fr，We，M均不重要，可忽略。则小结(A)由定理可方便地求出全部准则数；(B)无需知道运动方程，结合实际即可得到应用面广泛的准则方程；(C)其作用绝不亚于对基本方程求得解析解，这是实验流体力学可以独立发展的重要原因；(D)只是宏观规律，不能了解流场微观信息，如流速、温度、密度等的时空分布（解析解、数值解）。17小结(A)由定理可方便地求出全部准则数；(B)无需知道一．流动相似

要满足几何相似、运动相似和动力相似。长度：1、几何相似夹角相等，形状相似，几何尺寸对应成比例。面积：体积：12.4

相似原理18一．流动相似

要满足几何相似、运动相似和动力相似。长度：1、速度：2、运动相似对应时空点的速度方向相同，大小成比例。加速度：体积流量：19速度：2、运动相似加速度：体积流量：193、动力相似对应点受力类型、方向相同，大小成比例。其中，F：合力，F：粘性力，G：质量力，P：压力，：P压力差203、动力相似其中，F：合力，F：粘性力，G：质量力，P：压温度：4、热力相似

对应点温度（差）成比例，热流方向相同、大小成比例。热流量：21温度：4、热力相似热流量：21例：对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力只有重力，直角坐标下，N-S方程（Z方向）：

当两流动满足流动相似条件时，属于同一类物理现象，其运动规律可由完全相同的微分方程组来描述。原型方程模型方程：12.5

相似准则22例：对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力只有重力，直角流动相似：代入模型方程：23流动相似：代入模型方程：23欲使该方程与原型方程完全相同，则方程各项的系数对应成比例：其中：位变惯性力压力质量力粘性力合力时变惯性力用第二项遍除，则：24欲使该方程与原型方程完全相同，则方程各项的系数对应成比例：其定义：准则数牛顿数：NewtonNumber斯特罗哈数：StrouhalNumber弗罗德数：FroudeNumber雷诺数：ReynoldsNumber欧拉数：EulerNumber25定义：准则数牛顿数：NewtonNumber斯特罗哈数：其它准则数：马赫数：MachNumber韦伯数：WeberNumber普朗特数：PrandtlNumber帕克列特数：PecletNumber格拉晓夫数：GrashofNumber埃克特数：EckertNumber26其它准则数：马赫数：MachNumber韦伯数：Webe于是模型方程可写成：即对应时空点所对应的准则数相等。模型与原型相似，要求：或：27于是模型方程可写成：即对应时空点所对应的准则数相等。模型与原三、局部相似若采用同种流体，则Cl=1，即模型与原型相同。例：对不可压流体，如粘性力相似，则Re相等同时重力相似，则Fr相等于是如取模型/原型=1/10，则这很难做到！

28三、局部相似若采用同种流体，则Cl=1，即模型与原型相同。局部相似(A)将准则数用相应的特征量表示，即用特征准则数取代点准则数；(B)只考虑主要准则数，忽略次要因素。相似原理的作用(A)由运动方程导出相似准数，并用来指导实验；(B)对运动方程进行简化：将基本方程无量纲化→出现相似准数，比较量级大小，小量级项忽略，→还原方程，则少去若干项（或变量）。29局部相似(A)将准则数用相应的特征量表示，即用特征准则数取12.6

基本方程组的相似变换为简要说明其方法，仍以不可压缩流动为例3012.6基本方程组的相似变换为简要说明其方法，仍以不可压缩引入特征尺寸L，特征时间t0，特征速度V∞。无量纲化得到以下无量纲方程组

不出现无量纲数，说明不受流动参数的影响。

1）连续性方程:31引入特征尺寸L，特征时间t0，特征速度V∞。无量纲化得到以下2）动量方程：

非定常项对流项重力压差粘性应力当准则数很大或很小时，可以忽略有关项，简化方程。比如：物体尺寸很小，流速振动周期很大时，St会很小，非定常项可忽略；高速流动（大尺度），Fr很大，可忽略重力项；大尺度高速流动，Re很大，甚至可忽略粘性项（即理想流体）；Re很小时，则可忽略惯性项→动量方程可转化为线性微分方程。322）动量方程：32

相似变换规则：1）对于粘性运动，Re通常是重要的相似准数；2）为使非定常流动相似，St要相等；3）有自由面的流动，Fr和Gr是重要的；4）有传热的流动，Pr是重要的；5）高速流的传热，Ec是重要的。33相似变换规则：1）对于粘性运动，Re通常是重要的相似准数；作业12－1412－1612－1934作业12－1434流体力学研究方法：（1）数学（理论）分析法建立流体运动的方程组与定解条件－求解方程组（精确解或近似解）。（2）实验研究根据模化理论通过实物实验、模型实验进行观察和测量。（3）数值计算确定方程组与定解条件，选用适当数值方法，编制计算机程序计算。第十二章量纲分析与相似原理12.1

问题的提出35流体力学研究方法：第十二章量纲分析与相似原理12.1

实验法：通过物理模拟实验寻求流体运动时，各量之间存在规律性。对想象或进行的过程→观察、测量、分析→寻求各量之间关系、分析、研究、加工→关于这个现象的内在规律→近似。①实验法很有局限性：实验结果只能用于特定的实验条件或推广到与实验条件完全相同的现象中去。②由于设备条件限制（T、P过高，尺寸过大），使直接实验难以进行。③有时只能得出个别量之间的规律性关系，难以抓住现象本质，往往需用数学解析法来验证。36实验法：2例：管内流动阻力△P=f(ρ，V，d，μ，g，ε)实验时每个参数改变5次，则实际次数为56=15625次。每次花1小时，每天8小时，则需1953天≈3年！如采用量纲分析法得到无量纲准则方程：37例：管内流动阻力如采用量纲分析法得到无量纲准则方程：31量纲

是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。2基本量纲导出量纲

基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L，时间量纲T，质量量纲M

导出量纲由基本量纲组合表示，如加速度的量纲[a]=LT-2力的量纲[F]=[ma]=MLT-2

任何物理量B的量纲可写成[B]=MLT12.2

单位与量纲381量纲12.2单位与量纲4基本量纲：长度[L]、时间[τ]、质量[M]、温度[T]导出量纲：力[MLτ-2]、压强[ML-1τ-2]、动力粘度[ML-1τ-1]、运动粘度[L2τ-1]、密度[Mτ-3]、速度[Lτ-1]、加速度[Lτ-2]、导热系数[Mτ-3T]、比热[L2T-1τ-2]，……39基本量纲：导出量纲：53基本量导出量

一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系导出，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括全部基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。403基本量导出量6无量纲量

指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数。

41无量纲量7量纲和谐性原理

量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，以能量方程为例：

方程左边各项的量纲从左到右依次为:42量纲和谐性原理量纲和谐性原理又被称为量纲一致量纲分析法将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量，利用雷利法和定理使无量纲综合量构成函数关系。它反映了物理量之间的内在规律，并使待求的函数的自变量数目减少到最低。量纲分析法分析简明，抓住问题实质，能大大减少试验次数，并有效简化实验条件。12.3

量纲分析法43量纲分析法将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量，利用雷利一、雷利法（Rayleigh,1899年）1）将影响流动过程的n个物理量的隐函数，写成幂函数形式：2）用基本量纲表示各物理量;3）根据量纲和谐原则，方程两边基本量纲的指数应相等，即构成指数应满足的方程（3个方程）4）当n≤4时可直接求解，当n＞4时，有n-4个指数待定;5）适当选择待定指数构造出准则数。44一、雷利法（Rayleigh,1899年）1）将影响流动过示例：管内层流运动的压力损失设与ρ，u，d，μ，l有关，则方程三个，未知数5个。（等温流动）则45示例：管内层流运动的压力损失设与ρ，u，d，μ，l有关，如取：则：如取：则：对比理论结果：可知：（与实验不符）46如取：则：如取：则：对比理论结果：可知：（与实验不符）12二、定理（Buckingham,1914年）1）列出影响因素：n个物理量，写成隐函数形式：2）选择其中三个（不考虑温度时）在量纲上基本独立的物理量x1，x2，x3，对等温流动可取l，u，ρ.3）用三个量的组合，表示x4,x5,……xn共n-3个物理量4）比较[M],[L],[T]的因次，解出全部5）建立n-3个无量纲的综合物理量，称π

项6）将待求函数关系式写成n-3个π

项的关系式：

(i=4,5,……n)47二、定理（Buckingham,1914年）1）列出影响示例：某流动现象由下列因素决定：流速V，密度，线形尺寸l，压差P，重力加速度g，动力粘度，表面张力，弹性模量E等，现有π定理建立相似准则。解：取，V，l为基本量，则解得即Eu（欧拉）数故48示例：某流动现象由下列因素决定：流速V，密度，线形尺寸l，同理可得：无量纲方程：或写成：或：*Fr是弗罗得（Froude）数，We是韦伯（Weber）数。49同理可得：无量纲方程：或写成：或：*Fr是弗罗得（Frou50如：对不可压管内流动，Fr，We，M均不重要，可忽略。则：实验证明：为线性关系于是：取阻力系数：则：（达西公式）只需对和Re和/d做有限次实验，可得出的具体关系式，则流动阻力关系式即完全确定。--尼古拉兹实验16如：对不可压管内流动，Fr，We，M均不重要，可忽略。则小结(A)由定理可方便地求出全部准则数；(B)无需知道运动方程，结合实际即可得到应用面广泛的准则方程；(C)其作用绝不亚于对基本方程求得解析解，这是实验流体力学可以独立发展的重要原因；(D)只是宏观规律，不能了解流场微观信息，如流速、温度、密度等的时空分布（解析解、数值解）。51小结(A)由定理可方便地求出全部准则数；(B)无需知道一．流动相似

要满足几何相似、运动相似和动力相似。长度：1、几何相似夹角相等，形状相似，几何尺寸对应成比例。面积：体积：12.4

相似原理52一．流动相似

要满足几何相似、运动相似和动力相似。长度：1、速度：2、运动相似对应时空点的速度方向相同，大小成比例。加速度：体积流量：53速度：2、运动相似加速度：体积流量：193、动力相似对应点受力类型、方向相同，大小成比例。其中，F：合力，F：粘性力，G：质量力，P：压力，：P压力差543、动力相似其中，F：合力，F：粘性力，G：质量力，P：压温度：4、热力相似

对应点温度（差）成比例，热流方向相同、大小成比例。热流量：55温度：4、热力相似热流量：21例：对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力只有重力，直角坐标下，N-S方程（Z方向）：

当两流动满足流动相似条件时，属于同一类物理现象，其运动规律可由完全相同的微分方程组来描述。原型方程模型方程：12.5

相似准则56例：对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力只有重力，直角流动相似：代入模型方程：57流动相似：代入模型方程：23欲使该方程与原型方程完全相同，则方程各项的系数对应成比例：其中：位变惯性力压力质量力粘性力合力时变惯性力用第二项遍除，则：58欲使该方程与原型方程完全相同，则方程各项的系数对应成比例：其定义：准则数牛顿数：NewtonNumber斯特罗哈数：StrouhalNumber弗罗德数：FroudeNumber雷诺数：ReynoldsNumber欧拉数：EulerNumber59定义：准则数牛顿数：NewtonNumber斯特罗哈数：其它准则数：马赫数：MachNumber韦伯数：WeberNumber普朗特数：PrandtlNumber帕克列特数：PecletNumber格拉晓夫数：GrashofNumber埃克特数：EckertNumber60其它准则数：马赫数：MachNumber韦伯数：Webe于是模