九年级数学中考复习 圆的有关性质解答题 考前强化提升专题训练

九年级数学中考复习《圆的有关性质解答题》考前强化提升专题训练（附答案）1．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．2．如图，AB＝2，射线BM⊥AB，点P为BM上一点，以BP为直径作⊙C，点D在⊙C上，AD＝AB，连接PD，点Q为弦PD上一点，射线QC交⊙C于点E．（1）求证：AD为⊙C的切线；（2）若∠ACB＝30°，求：①劣弧的长；②QE长的取值范围．3．如图1，△ABC中，BC边上的中线AM＝AC，延长AM交△ABC的外接圆于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CE．（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的长；（2）①求证：BC＝2CE；②设tan∠ACB＝x，＝y，求y关于x的函数表达式；（3）如图2，作NC⊥AC交线段AD于N，连接EN，当△ABC的面积是△CEN面积的6倍时，求tan∠ACB的值．4．如图，AB为⊙O的直径，△ACD是⊙O的内接三角形，PB切⊙O于点B．（Ⅰ）如图①，延长AD交PB于点P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度数；（Ⅱ）如图②，连接AP交⊙O于点E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度数．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，，求BF的长．6．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且AB＝AC．连接OC，过点A作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接BC交⊙O于点F．若AD＝6，求BF的长．7．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于点D，点F是BD的中点，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）已知，BG＝2，FB＝1，求AC．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE．（1）证明：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝8，求EC的长．10．如图，锐角△ABC的三边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠A的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．（1）求证：MD垂直BC；（2）求的值（用a，b，c表示）；（3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若点P关于点M的对称点恰好落在△ABC的外接圆上，试探究a，b，c应满足的数量关系．11．如图，以BC为直径的⊙O经过点A，AN平分∠BAC，交BC于点M，P是BC延长线上一点，且PA＝PM．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若MN＝，BC＝6，CM＝2，求AM的长．12．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．13．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，连结AD，过D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AB＝13，CD＝5，求DE的长．14．如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作AB的垂线交BC延长线于点D．（1）求证：∠BAC＝∠D；（2）如图2，过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：AD＝2CE；（3）如图3，若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且CE＝1.5，AG＝2OG，求CF的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：CE＝EP；（3）若CG＝12，AC＝13，求四边形CFPE的面积．16．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝8，BE＝2，求AD的长．17．如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且∠FAC＝∠D．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若EF＝12，sinD＝，求⊙O的半径．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．（1）证明：AB是⊙O的直径；（2）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若DE的长为3，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且BE＝DE．（1）求证：BE为⊙O的切线．（2）若CM＝6，tan∠ACB＝，求CE的长．20．如图，D是△ABC的边AC上的点，AB＝AD，以AB为直径的⊙O分别交BD、AD于点E、F，若∠CBD＝∠CAB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，AF＝，求CD的长．21．如图，AB为⊙O的直径，AB＝20，点C是AB上方半圆上的动点，连接AC，BC，点D是AB下方半圆的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若CB：BE＝4：5．①求△ABC的周长；②求DE的长．（3）求AC•CE的最大值．22．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点D是弧AC的中点，连接AC、BD交于点E，CD＝AE．（1）求证：△BCE是等腰三角形；（2）若点E是BD的中点，BC＝2．①求AD的值；②连结EO并延长交AB于点F，求的值；（3）在（2）的条件下，在CD上取一点H，使CH＝2DH，连接FH，直接写出FH的长．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作弦CD⊥AB于E，点F是上一点，AF交CD于点H，过点F作一条直线交CD的延长线于M，交AB的延长线于G，HM＝FM．（1）求证：MG是⊙O的切线；（2）若AC∥MG，试探究HD，HF，MF之间的关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若tanG＝，AH＝2，求OG的长．24．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cosB的值．25．如图，已知△ABC是⊙O的圆内接三角形，AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，AE交⊙O于点F，∠C＝∠E．（1）求证：AB＝AF；（2）若AB＝5，AD＝，求线段DE的长．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）证明：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．27．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．28．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD＝2，AD＝4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．

参考答案1．解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵M点为GE的中点，∴MC＝MG＝ME，∴∠G＝∠1，∵OB＝OC，∴∠B＝∠2，∴∠1+∠2＝90°，∴∠OCM＝90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠5，而∠1＝∠G，∠5＝∠A，∴∠G＝∠A，∵∠4＝2∠A，∴∠4＝2∠G，而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，∴∠EMC＝∠4，而∠FEC＝∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴，即，∴CE＝3，EF＝，∴MF＝ME﹣EF＝5﹣．2．（1）证明：连接CD，如图．∵AD＝AB，DC＝BC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CDA＝∠CBA＝90°．∴CD⊥AD，∵CD为半径，∴AD为⊙C的切线．（2）解：①若∠ACB＝30°，则∠DCB＝2∠ACB＝60°，∴∠PCD＝120°．又∵AB＝2，∴．∴劣孤的长为．②当点Q与点D重合时，QE的长最大，最大值为．当QC⊥PD时，QE的长最小，如图，此时，PQ＝DQ．∵，∴∠BPD＝30°．∴．∴．∴QE长的取值范围为．3．（1）解：∵AM＝AC，∠ACB＝60°，∴△AMC为等边三角形，∴AM＝AC＝MC．∵M是BC的中点，∴CM＝BM＝BC＝2．∴AM＝AC＝CM＝2，∴AM＝BC，∵BM＝MC，∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∴点M为圆心，即AD为直径，∴DM＝AM＝2；∵DE∥BC，M为AD在中点，∴BM为△AFD的中位线，∴FD＝2BM＝4；（2）①证明：连接BD，如图，∵DE∥BC，∴，∴BD＝EC．∵AM＝AC，∴∠ACM＝∠AMC，∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，∴∠BDM＝∠BMD，∴BD＝BM，∴BM＝CE，∵BC＝2BM，∴BC＝2EC；②解：过点A作AH⊥CM于点H，如图，∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，∴△AMC∽△BMD，∴，∵DE∥BC，∴．∵CM＝MB，∴y＝＝＝＝，设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，∵AM＝AC，AH⊥CM，∴CH＝MH＝a，∵tan∠ACB＝x＝，∴AH＝ax，∴AM＝AC＝＝＝a∴＝，∴y＝＝，∴y关于x的函数表达式为：y＝；（3）连接ME，设ME与CN交于点K，如图，∵DE∥BC，∴，∴，BD＝EC，∴∠CBD＝∠BCE，在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM（SAS）．∴DM＝CE．∵NC⊥AC，∴∠MCN＝90°﹣∠ACM，∵AH⊥CM，∴∠ACM＝90°﹣∠CAH＝90°﹣∠CAM，∴∠MCN＝∠CAM，∵∠CAM＝∠CBD，∠CBD＝∠BCD，∴∠MCN＝∠MCE，即：∠MCN＝∠ECN，由（2）知：CM＝BM＝BD，∵CE＝BD，∴CM＝CE，在△CMN和△CEN中，，∴△CMN≌△CEN（SAS）．∴MN＝NE．∵CM＝CE，∴CN是ME的垂直平分线，∴ME⊥CN，MK＝KE，∵NC⊥AC，∴ME∥AC．∴，∵△ABC的面积是△CEN面积的6倍，S△ABM＝S△ACM，∴△ACM的面积是△CEN的3倍，∵S△CEN＝S△CMN，∴△ACM的面积是△CMN的3倍，∴AM＝3MN，∴，∴＝，∴＝，∵ME＝MD，AC＝AM，∴，∴y＝，∴，解得：x＝，∴tan∠ACB＝x＝．4．解：（Ⅰ）连接BD，∵∠C＝40°，∴∠ABD＝∠C＝40°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAP＝90°﹣∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∵PB切⊙O于点B，∴∠ABP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠BAP＝90°﹣50°＝40°；（Ⅱ）连接BC，则∠ABC＝∠D，∵∠D＝∠P，∴∠ABC＝∠P，∵AB为⊙O的直径，PB切⊙O于点B，∴∠ACB＝∠ABP＝90°，∴∠CAB＝∠BAP，∵，∴∠CAP＝∠ABC，∴∠P＝2∠BAP，∴∠P＝60°，∠BAP＝30°．5．（1）证明：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∴∠ODB＝∠ACB，∴AC∥OD．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵，设AD＝4x，BD＝3x，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵AD2+BD2＝AB2，∴（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴AD＝8，BD＝6，∵DE是⊙O的切线，∴∠FDB＝∠FAD，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴'设FB＝3k，则FD＝4k，∴FO＝FB+OB＝5+3k，在Rt△FDO中，∵FO2＝FD2+OD2，∵（3k+5）2＝（4k）2+52，解得：k＝，∴BF＝3k＝．6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD⊥OC，∴∠AEC＝90°，∴∠ADB＝∠AEC．∵CA与⊙O相切于点A，∴∠ABD＝∠EAC．在△ACE和△BAD中，，∴△ACE≌△BAD（AAS）；（2）解：连接AF，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BC．∵AB＝AC，∴BF＝BC．∵AD⊥OC，O为圆心，∴AE＝DE＝AD＝3．∵△ACE≌△BAD，∴EC＝AD＝6，AE＝BD＝3，∵AD⊥BD，AD⊥OC，∴BD∥OC，∴，∴DM＝DE＝1，∴EM＝DE﹣DM＝2．∴AM＝AE+EM＝5，在Rt△BDM中，BM＝＝，∵BD∥OC，∴，∴MC＝2BM＝2，∴CB＝BM+CM＝3，∴BF＝BC＝．7．（1）证明：连接OC，OB，如图，∵DB是圆的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵BF＝BD，OA＝OB，∴OF是△BAD的中位线，∴OF∥AD，∴∠FOB＝∠BAB，∠FOC＝∠ACO．∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠FOC＝∠FOB．在△FOC和△FOB中，，∴△FOC≌△FOB（SAS）．∴∠FCO＝∠FBO＝90°，∴OC⊥GC，∵OC为圆的半径，∴CG是⊙O的切线；（2）解：连接BC，OC，如图，∵BD⊥BG，BG＝2，FB＝1，∴FG＝＝3，∵DB是圆的切线，CG是⊙O的切线，∴FC＝FB＝1，∴GC＝FG+FC＝4．∵∠FBG＝∠OCG＝90°，∠G＝∠G，∴△GBF∽△GCO，∴，∴OC＝，∴AB＝2OC＝2．∵CG是⊙O的切线，∴∠BCG＝∠CAB，∵∠G＝∠G，∴△GBC∽△GCA，∴，设BC＝x，则AC＝x，∵AC2+BC2＝AB2，∴，∴x＝（负数不合题意，舍去）．∴AC＝x＝．8．（1）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵AD⊥BC，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠AEB+∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：过点B作BH⊥AE于H，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF＝5，在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝90°，则AE＝＝＝5，∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BH，∴BH＝＝＝2，∴EH＝FH＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝AE＝2EH＝3．9．（1）证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵DE⊥CE，∴OC∥DE，∴∠DAB＝∠AOC，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC；（2）解：连接AC，∵∠ABC＝∠ADC，tan∠ADC＝，∴tan∠ABC＝＝，∵BC＝8，∴AC＝4，∴AB＝＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，∠ABC+∠BAC＝90°，∵OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACE＝∠ABC，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CE＝．10．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴，∴BD＝CD，又∵M是BC的中点，∴DM⊥BC；（2）解：∵∠DBC与∠BAD分别是与所对的圆周角，∴∠DBC＝∠BAD，又∵∠D是公共角，∴△DBE∽△DAB，∴，即，∴；同理，△DEC∽△DCA，∴，∵BD＝CD，∴，∵BE+CE＝BC∴，∴；（3）如图，∵M是BC的中点，点P与点P'关于点M对称，∴四边形BPCP是平行四边形，∴∠BP'C＝∠BPC，∵点P在圆上，∴∠BP'C+∠BAC＝180°，∵点P是△ABC两个内角∠BAC与∠ACB的角平分线交点，∴BP平分∠ABC，∴，设∠BAC＝x，则90°+x+x＝180°，∴∠BAC＝60°，作BH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABH中，∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝c，∴BH＝AH＝c，∴CH＝AC﹣AH＝b﹣c，在Rt△BHC中，根据勾股定理得，，∴a2＝b2+c2﹣bc．11．（1）证明：连接OA，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠CAN＝45°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AMC＝∠AOC+∠OAM＝2∠B+∠OAM，∵PA＝PM，∴∠PAM＝∠AMP，∴∠PAM＝2∠B+∠OAM，∴∠OAP＝∠OAM+∠PAM＝∠OAM+2∠B+∠OAM＝2∠B+2∠OAM＝2（∠B+∠OAM）＝2（∠BAO+∠OAM）＝2∠BAN＝2×45°＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BN，∵BC＝6，CM＝2，∴BM＝BC﹣CM＝6﹣2＝4，∵∠CBN＝∠CAN，∠AMC＝∠BMN，∴△AMC∽△BMN，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AM的长为．12．（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．13．（1）证明：连接OD，∵BO＝OA，BD＝DC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵BD＝CD＝5，∴AC＝AB＝13，∴AD＝＝＝12，∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，∴×13•DE＝×12×5，解得：DE＝，答：DE的长为．14．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠B＝90°，∴∠BAC＝∠D；（2）证明：∵AD⊥AB，AB是直径，∴AD是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠ACD＝90°，∴∠D+∠EAC＝90°，∠D+∠ACE＝90°，∴∠D＝∠ECD，∴ED＝EC，∴AD＝2EC；（3）解：如图，连接OF，作CH⊥AB于H，设OG＝a，则AG＝2a，OF＝OB＝OA＝3a，AB＝6a，∵点F是的中点，∴∠AOF＝90°，∴FG＝＝a，∵＝，∴∠ACF＝∠ABF，∵∠AGC＝∠BGF，∴△ACG∽△BFG，∴＝，∴＝，∴CG＝a，∵∠CHG＝∠GOF＝90°，∠CGH＝∠OGF，∴△FOG∽△CHG，∴＝＝＝，∴＝＝，∴CH＝，HG＝，∴BH＝BG+HG＝4a+＝，∵CH∥AD，∴△BHC∽△BAD，∴＝，∵AD＝2CE＝3，∴＝，∴a＝1，∴CF＝CG+FG＝+＝．15．（1）证明：如图1，连接OE，则OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠EAD＝∠DEB，∴∠OEA＝∠DEB，∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠OEA+∠OED＝90°，∴∠DEB+∠OED＝90°，∴∠OEB＝90°，即BC⊥OE，∵OE为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，由（1）知，∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，∴OE∥AC，∴∠CAE＝∠AEO，由（1）知，∠OAE＝∠OEA，∴∠CAE＝∠DAE，∵∠ACB＝90°，∴CE⊥AC，∵EP⊥AD，∴CE＝EP（角平分线上的点到角的两边的距离相等）；（3）解：如图2，由（1）知，∠OEB＝90°，∴∠OEC＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，∵∠AEO＝∠EAO，∴∠CEA+∠EAO＝90°，∵CG⊥AB，∴∠AGC＝90°，∴∠EAO+∠AFG＝90°，∴∠AFG＝∠CEA，∵∠AFG＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEA，∴CE＝CF，∵CE＝EP，∴CF＝EP，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴EP∥CG，∴四边形CFPE是平行四边形，∵CE＝EP，∴▱AFPE是菱形，在Rt△ACG中，AG＝＝5，在△AEC和△AEP中，，∴△AEC≌△AEP（AAS），∴AP＝AC＝13，∴PG＝AP﹣AG＝8，∵∠CAB＝∠BAC，∠AGC＝∠ACB＝90°，∴△ACG∽△ABC，∴，∴，∴AB＝，∴BP＝AB﹣AP＝﹣13＝，BG＝AB﹣AG＝﹣5＝，∵EP∥AG，∴△BPE∽△BGC，∴，∴，∴EP＝，∴S四边形CFPE＝EP•PG＝×8＝．16．（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB，∵DE⊥AB于点E，∴∠ODF＝∠AEF＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）如图，连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴＝，∵AB＝AC＝8，AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6，∴AD2＝AE•AB＝6×8＝48，∴AD＝4，∴AD的长为4．17．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∵∠FAC＝∠D．∵∠D＝∠B，∴∠FAC＝∠B，∴∠FAC+∠CAB＝90°∴AF是⊙O的切线；（2）解：∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠FAC＝∠CAD，又∵∠ACB＝90°，∴FC＝CE，∵EF＝12，∴CE＝6，∴，∴AE＝10，AC＝8，∵在Rt△ACB中，，∴，∴，∴⊙O的半径长为．18．（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直径；（2）解：DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OB＝OA，BD＝DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即∠ODE＝90°，∵OD是半径，∴DE与⊙O相切；（3）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAE＝30°，∵DE⊥AC，AD⊥BD，∴AD＝2DE＝6，AB＝2BD，在△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴BD2+62＝（2BD）2，解得：BD＝2，∴AB＝2BD＝4，∴⊙O的半径为2．19．（1）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∵AC＝BC，BE＝DE，∴∠A＝∠ABC，∠D＝∠DBE，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°＝90°，∴CB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；（2）解：连接BM，∵BC为的⊙O直径，∴∠BMC＝90°，∵CM＝6，tan∠ACB＝，∴，∴BM＝8，∴BC＝＝＝10，∵∠AMB＝∠ACD＝90°，∴BM∥CD，∴∠MBC＝∠ECB，∴cos∠MBC＝cos∠ECB，∴，∴，∴CE＝．20．（1）证明：如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BD，∵AB＝AD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＝∠BAE，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝∠ABE+∠BAE＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，∴BC是⊙0的切线．（2）如图，作OG⊥AF于点G，∵AF＝，∴AG＝FG＝AF＝×＝，∵⊙O的半径为2，∴OA＝2，AD＝AB＝4，∵∠AGO＝∠ABC＝90°，∴＝＝cos∠BAC，∴AC＝＝＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣4＝6，∴CD的长为6．21．（1）证明：连接OD，∵D是弧AB的中点，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∵DE∥AB，∴∠DOB+∠ODE＝180°，∴∠ODE＝90°，又∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：①过C作CG⊥DE于G点，交AB于F点，∵DE∥AB，∴，∵FG＝OD＝10，∴CF＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC•BC＝AB•CF＝160，∴（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝720，∴，∴△ABC的周长＝；②解：连接CD交AB于H点，当F在OB上时，，∵∠DOH＝∠HFC，∠OHD＝∠CHF，∴△CFH∽△DOH，∴，∴，设FH＝4k，OH＝5k，则BF＝10﹣9k，∵△BCF∽△ACF，∴CF2＝AF•BF，∴（10+9k）（10﹣9k）＝82，∴，∴BH＝，∵DE∥AB，∴△CHB∽△CDE，∴，∴DE＝15，当F在OA上时，同理DE＝30，综上DE＝15或30．（3）连接CD，AD，∵DE∥AB，∴∠CBA＝∠CED，∵∠CBA＝∠CDA，∴∠CDA＝∠CED，∵点D是弧AB的中点，∴∠ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴，∴CD2＝CA•CE，∴CA•CE＝CD2≤202＝400．即AC•CE的最大值为400．22．（1）证明：∵点D是弧AC的中点，∴，∴AD＝CD，∵CD＝AE，∴AD＝AE，∴∠ADB＝∠AED，∵∠ADB＝∠BCE，∠AED＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC，∴△BCE是等腰三角形；（2）解：①∵∠DBC＝∠DCE，∠BDC＝∠BDC，∴△DBC∽△DCE，∴，即CD2＝BD•ED＝2×4＝8，∴AD＝CD＝2；②解：如图，作AM⊥BD，∴DM＝EM＝1，∵BC＝BE＝2，∴BM＝3，∵点E为BD的中点，∴EF⊥BD，∵AM⊥BD，∴∠FEB＝∠AMB，∴EF∥AM，∴＝2，（3）解：如图，作CG⊥BD于G，HQ⊥BD于Q，HN⊥EF，交FE的延长线于N，∵△AED∽△BEC，∴DE＝CE＝2，∴CE＝，∴，∴CG＝AM＝，∵CH＝2DH，∴HQ＝＝，∵DH＝CD＝，由勾股定理得，DQ＝＝，∴NH＝EQ＝2﹣＝，由（2）知，EF＝AM＝，∴FH＝＝．23．解：（1）证明：连接OF，如图：∵CD⊥AB，∴∠AEH＝90°，∠HAE+∠AHE＝90°，∵OA＝OF，HM＝FM，∴∠HAE＝∠OFA，∠MFH＝∠MHF＝∠AHE，∴∠OFA+∠MFH＝90°，即∠OFM＝90°，∴OF⊥MG，∴MG是⊙O的切线；（2）HF2＝HD•FM，理由如下：连接DF，如图：∵AC∥MG，∴∠HFM＝∠FAC，∵∠FAC＝∠FDC，∴∠HFM＝∠FDC，又∠DHF＝∠FHM，∴△HFD∽△HMF，∴，即HF2＝HD•HM，∵HM＝FM，∴HF2＝HD•FM；（3）连接OC、OF，如图：∵AC∥MG，∴∠G＝∠EAC，∵tanG＝，∴tan∠EAC＝，设CE＝4m，则AE＝3m，AC＝5m，∵FM＝MH，∴∠MFH＝∠MHF＝∠AHC，∵AC∥MG，∴∠MFH＝∠CAH，∴∠CAH＝∠AHC，∴CH＝AC＝5m，∴HE＝CH﹣CE＝m，Rt△AEH中，AE2+HE2＝AH2，AH＝2，∴（3m）2+m2＝22，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴CE＝4m＝，AE＝3m＝，设⊙O半径为r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣，Rt△COE中，OE2+CE2＝OC2，∴（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，∴OF＝，∵MG是⊙O的切线，∴∠OFG＝90°，Rt△OFG中，tanG＝，∴sinG＝，即＝，∴，∴OG＝．24．（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sinB，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴B