北师大版九年级数学下册课件：24-第1课时-图形面积的最大值

2.4第1课时

图形面积的最大值问题2.4第1课时图形面积的最大值问题1知识回顾想一想：如何求出二次函数y

=ax2

+

bx

+c

的最小（大）值？由于抛物线y=ax2

+

bx+c

的顶点是最低（高）点，当

时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值当自变量的取值范围是全体实数时，(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；

a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．知识回顾想一想：如何求出二次函数y=ax2+bx2当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，

最小值在x＝

处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；当a＜0时，最大值在x＝

处取得，最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，3(2)若

不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数在x＝x1，x＝x2时的函数值

中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图②.(2)若不在自变量的取值范围x1≤x≤x24例题讲解

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？EF例题讲解如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形5解：设AB=x

m.∵四边形ABCD是矩形，∴

CD=

AB=

xm,

CD∥AB，∴△EDC∽△EAF，∴

∴∴∴矩形的面积为EF∵∴当x=20时，矩形的AD

·AB有最大值.∴当AB为20m时，矩形有最大面积300m2.解：设AB=xm.∵四边形ABCD是矩形，EF∵6变式如果把矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，则矩形ABCD的最大面积是多少？在Rt△GEF中，由勾股定理得EF=50.再由等积法求斜边上的高，得GN=24.设矩形一边AD=

xm，由△GBC∽△GEF,得即∴解：如图，过点G作GN⊥EF于点N，交BC于点M.ABCDEFGNM变式如果把矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，7∴矩形ABCD的面积为∴当AD=25m时，矩形ABCD有最大面积300m2.ABCDEFGNM∴矩形ABCD的面积为∴当AD=25m时，矩形ABCD有最8

解决此类问题的基本思路是：1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.解决此类问题的基本思路是：9例3

某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）xxy解：∵7x+4y+πx=15,∴0＜x＜1.48.例3某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩10设窗户的面积是Sm2,则

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02

m2.xxy设窗户的面积是Sm2,则因此，当x约为1.011随堂演练1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为(

)A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不确定B随堂演练1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，122.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（）A.10m B.m C.m D.mD2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐133.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．11.2s3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC144.张大伯准备用一面长15m的墙和长38m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2m宽的门．(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数关系式．(2)当BC边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？4.张大伯准备用一面长15m的墙和长38m的栅栏修建一15解：(1)由题意得，AB＝

m，∴y＝x·＝x·＝－

x2＋20x.

由题意知

∴0＜x≤15.∴y＝－

x2＋20x，其中0＜x≤15.

解：(1)由题意得，AB＝m，16(2)y＝－

x2＋20x＝－(x2－40x)

＝－(x－20)2＋200.∵a＝－

＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大．∴当x＝15时，y最大＝－×(15－20)2＋200＝187.5.

答：BC边的长为15m时，养殖场的面积最大，最大面

积是187.5m2.(2)y＝－x2＋20x＝－17课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定（二次函数的图象和性质）实际问题数学模型转化回归（实物中的抛物线形问题）课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几182.4第1课时

图形面积的最大值问题2.4第1课时图形面积的最大值问题19知识回顾想一想：如何求出二次函数y

=ax2

+

bx

+c

的最小（大）值？由于抛物线y=ax2

+

bx+c

的顶点是最低（高）点，当

时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值当自变量的取值范围是全体实数时，(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；

a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．知识回顾想一想：如何求出二次函数y=ax2+bx20当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，

最小值在x＝

处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；当a＜0时，最大值在x＝

处取得，最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，21(2)若

不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数在x＝x1，x＝x2时的函数值

中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图②.(2)若不在自变量的取值范围x1≤x≤x222例题讲解

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？EF例题讲解如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形23解：设AB=x

m.∵四边形ABCD是矩形，∴

CD=

AB=

xm,

CD∥AB，∴△EDC∽△EAF，∴

∴∴∴矩形的面积为EF∵∴当x=20时，矩形的AD

·AB有最大值.∴当AB为20m时，矩形有最大面积300m2.解：设AB=xm.∵四边形ABCD是矩形，EF∵24变式如果把矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，则矩形ABCD的最大面积是多少？在Rt△GEF中，由勾股定理得EF=50.再由等积法求斜边上的高，得GN=24.设矩形一边AD=

xm，由△GBC∽△GEF,得即∴解：如图，过点G作GN⊥EF于点N，交BC于点M.ABCDEFGNM变式如果把矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，25∴矩形ABCD的面积为∴当AD=25m时，矩形ABCD有最大面积300m2.ABCDEFGNM∴矩形ABCD的面积为∴当AD=25m时，矩形ABCD有最26

解决此类问题的基本思路是：1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.解决此类问题的基本思路是：27例3

某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）xxy解：∵7x+4y+πx=15,∴0＜x＜1.48.例3某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩28设窗户的面积是Sm2,则

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02

m2.xxy设窗户的面积是Sm2,则因此，当x约为1.029随堂演练1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为(

)A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不确定B随堂演练1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，302.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（）A.10m B.m C.m D.mD2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐313.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．11.2s3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC324.张大伯准备用一面长15m的墙和长38m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2m宽的门．(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数关系式．(2)当BC边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？4.张大伯准备用一面长15m的墙和长38m的栅栏修建一33解：(1)由题意得，AB＝

m