第22课时-直角三角形与勾股定理课件

考点梳理

第22课时直角三角形与勾股定理课后作业考点梳理第22课时直角三角形与勾股定理课考点梳理考点1直角三角形[核心考点]直角三角形互余斜边的一半斜边的一半斜边的一半互余一半考点梳理考点1直角三角形[核心考点]直角三角形互余第22课时-直角三角形与勾股定理课件考点2勾股定理及其逆定理[核心考点]【易错提醒】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形内利用它求第三边的长．a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2考点2勾股定理及其逆定理[核心考点]a2＋b2＝c2a2＋类型之一直角三角形的性质

(1)(2015·北京)如图22－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为 (

)A．0.5km B．0.6kmC．0.9km D．1.2km图22－1D类型之一直角三角形的性质图22－1D(2)(2015·襄阳)如图22－2，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，则AE的长为 (

)(2)∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∠B＝∠DCE＝30°，图22－2B(2)(2015·襄阳)如图22－2，在△ABC中，∠B＝3∴∠AEC＝∠B＋∠DCE＝2∠B＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝90°.在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，【点悟】在直角三角形中：(1)求角度时，通常利用“直角三角形两锐角互余”的性质；(2)遇30°角时，通常要利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质；(3)遇斜边上的中线时，要想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．∴∠AEC＝∠B＋∠DCE＝2∠B＝60°，【变式训练】1．(2015·黄冈)如图22－3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 (

)图22－3C【变式训练】图22－3C【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠DAE＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝6，∴BC＝9.【解析】∵DE是AB的垂直平分线，2．(2015·宿迁)如图22－4所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为______．图22－452．(2015·宿迁)如图22－4所示，在Rt△ABC中，∠类型之二勾股定理

(2015·永州)如图22－5，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．类型之二勾股定理

图22－5解：(1)过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM＝30°，AO＝80m，∴AD＝40m，答：对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40m；例2答图 图22－5例2答图∵重型运输卡车在经过BC段时对学校产生噪声影响，且重型运输卡车的速度为18千米/时，即5米/秒，∵重型运输卡车在经过BC段时对学校产生噪声影响，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷5＝12秒．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．【点悟】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长．我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：∴重型运输卡车经过BC时需要60÷5＝12秒．【变式训练】3．(2014·东营)如图22－6，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行了______m.图22－610【变式训练】图22－610

变式训练3答图【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．如答图，可知AB＝12m，CD＝6m， 变式训练3答图过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB－EB＝12－6＝6m，过C点作CE⊥AB于E，类型之三勾股定理的逆定理

(2015·桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一组是(

)A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，6【解析】A．∵302＋402＝502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B．∵72＋122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；A类型之三勾股定理的逆定理AC．∵52＋92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D．∵32＋42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误．故选A.【点悟】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方．第22课时-直角三角形与勾股定理课件【变式训练】4．(2015·崇左)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是 (

)A．1，2，3 B．2，3，4D【变式训练】D类型之四勾股定理与拼图

图22－7是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．图22－7【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，于是S3＝2＋5＋1＋2＝10.【点悟】图22－7中S3＝S1＋S2的结论，常用于解决“勾股树”类的面积问题．10类型之四勾股定理与拼图图22－7【解析】根据勾股定理的几何【变式训练】5．如图22－8，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一条直线上，则c＝___________(用含有a，b的代数式表示)．图22－8【变式训练】图22－86．(2015·烟台)如图22－9，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为 (

)图22－9C6．(2015·烟台)如图22－9，正方形ABCD的边长为2第22课时-直角三角形与勾股定理课件类型之五平面展开最短线段问题

(2015·资阳)如图22－10，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是 (

)图22－10A类型之五平面展开最短线段问题图22－10A【点悟】在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离．例5答图【点悟】在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立【变式训练】

7．(2015·东营)如图22－11，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________．图22－11【变式训练】图22－11变式训练7答图变式训练7答图课后作业课后作业考点梳理

第22课时直角三角形与勾股定理课后作业考点梳理第22课时直角三角形与勾股定理课考点梳理考点1直角三角形[核心考点]直角三角形互余斜边的一半斜边的一半斜边的一半互余一半考点梳理考点1直角三角形[核心考点]直角三角形互余第22课时-直角三角形与勾股定理课件考点2勾股定理及其逆定理[核心考点]【易错提醒】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形内利用它求第三边的长．a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2考点2勾股定理及其逆定理[核心考点]a2＋b2＝c2a2＋类型之一直角三角形的性质

(1)(2015·北京)如图22－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为 (

)A．0.5km B．0.6kmC．0.9km D．1.2km图22－1D类型之一直角三角形的性质图22－1D(2)(2015·襄阳)如图22－2，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，则AE的长为 (

)(2)∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∠B＝∠DCE＝30°，图22－2B(2)(2015·襄阳)如图22－2，在△ABC中，∠B＝3∴∠AEC＝∠B＋∠DCE＝2∠B＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝90°.在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，【点悟】在直角三角形中：(1)求角度时，通常利用“直角三角形两锐角互余”的性质；(2)遇30°角时，通常要利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质；(3)遇斜边上的中线时，要想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．∴∠AEC＝∠B＋∠DCE＝2∠B＝60°，【变式训练】1．(2015·黄冈)如图22－3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 (

)图22－3C【变式训练】图22－3C【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠DAE＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝6，∴BC＝9.【解析】∵DE是AB的垂直平分线，2．(2015·宿迁)如图22－4所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为______．图22－452．(2015·宿迁)如图22－4所示，在Rt△ABC中，∠类型之二勾股定理

(2015·永州)如图22－5，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．类型之二勾股定理

图22－5解：(1)过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM＝30°，AO＝80m，∴AD＝40m，答：对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40m；例2答图 图22－5例2答图∵重型运输卡车在经过BC段时对学校产生噪声影响，且重型运输卡车的速度为18千米/时，即5米/秒，∵重型运输卡车在经过BC段时对学校产生噪声影响，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷5＝12秒．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．【点悟】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长．我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：∴重型运输卡车经过BC时需要60÷5＝12秒．【变式训练】3．(2014·东营)如图22－6，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行了______m.图22－610【变式训练】图22－610

变式训练3答图【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．如答图，可知AB＝12m，CD＝6m， 变式训练3答图过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB－EB＝12－6＝6m，过C点作CE⊥AB于E，类型之三勾股定理的逆定理

(2015·桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一组是(

)A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，6【解析】A．∵302＋402＝502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B．∵72＋122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；A类型之三勾股定理的逆定理AC．∵52＋92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D．∵32＋42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误．故选A.【点悟】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方．第22课时-直角三角形与勾股定理课件【变式训练】4．(2015·崇左)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是 (

)A．1，2，3 B．2，3，4D【变式训练】D类型之四勾股定理与拼图

图22－7是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．图22－7【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，于是S3＝2＋5＋1＋2＝10.【点悟】图22－7中S3＝S1＋S2的结论，常用于解决“勾股树”类的面积问题．10类型之四勾股定理与