吕林根解析几何(第四版)(完整课件)1

第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向§1.4向量的线性关系与向量的分解

定义1.4.1由与实数所组成的向量

叫做的线性组合.(也称向量可以用向量线性表示,或可以分解成的线性组合.)§1.4向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由

定理1.4.1如果向量,则与共线的充分必要条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合,即

并且系数被惟一确定.这时称为用线性组合来表示共线向量的基底.定理1.4.1如果向量,则与共线的充必要性若与共线,当同向时,取;当反向时,取,则有下证惟一.如果,则,即,但,则.即证明:充分性若,则由数乘的定义可知与共线.必要性若与共线,当同向时,取下证

定理1.4.2如果向量不共线,则向量与共面的充分必要条件是可以用向量线性表示,即并且系数被唯一确定.这时叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量不共线,则向量证明:因为不共线,所以.共线,则有(或).只要取(或),则有.若与都不共线,把归结到共同始点,并设过点作,分别交所在直线于两点.必要性若与共面,若与(或)证明:因为不共线,所以.共线充分性若,当时,例如,则有与共线,所以共面.当时,则,即平行确定之平面.而,所以共面.由于与共线,与共线,则由定理1.4.1有充分性若,当时,例如下证惟一.如果,则.若,则有由定理1.4.1可知共线,矛盾.同理有.下证惟一.如果

定理1.4.3如果向量不共面,那么空间任意向量可以由向量线性表示,或说空间任意向量可以分解成向量的线性组合，即并且其中系数被唯一确定.这时叫做空间向量的基底.定理1.4.3如果向量不共面,那么空间任证明:因为不共面,则由定义1.1.5知,且它们彼此不共线.如果和之中的两个向量共面,例如,则由定理1.4.2有,则结论成立.如果和中任意两个都不共面.将归结为到共同始点,并设,证明:因为不共面,则由定义1.1.5知相交于三点,如图.,过的终点作三平面分别与平面平行,且分别和直线所以有再由定理1.4.1,有则有相交于三点,如图.下证被唯一确定.若则.如果,则则由定理1.4.2可知共面,故.同理可得下证被唯一确定.若

例1已知,,分别是两边上的点,且有,.设与交于,如图.试把向量分解成的线性组合.例1已知,,分解:因为而解:因为而因为不共线,由定理1.4.2,有即因为不共线,由定理1.4.2,有即

例2

证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.解:设四面体一组对边的中点的连线为,它的中点为,其余两组对边中点分别为,下只需证三点重合就可以了.例2证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.取不共面的三向量,下证重合.又为中点,则有连接,由于为的中点,则有取不共面的三向量,而,所以同理可得所以,重合.而,所以同理可得所以,

定义1.4.2对于个向量,如果存在不全为零的个数使得那么个向量叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就指:只有当时,上式成立.推论一个向量线性相关定义1.4.2对于个向量

定理1.4.4在时,向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.证明:必要性设线性相关,则存在不全为0的,使得因为不全为0,不妨设,则定理1.4.4在时,向量线性

充分性设中有一个向量是其设这个向量为,即因为,所以线性相关.则余向量的线性组合.设这个向量为,即因为,所以线

定理1.4.5如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组向量就线性相关.证明:设有一组向量,其中一部分,如线性相关,即存在不全为0的,使得则定理1.4.5如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这其中不全为0,所以线性相关.定理1.4.6两向量共线它们线性相关.证明:充分性设线性相关,则存在不全为0的,使得.不妨设,推论一组向量如果含有零向量,那么这组向量必线性相关.其中不全为0,所以则.如果,由定理1.4.1知,共线.若,则共线.必要性设共线,若,则任取,有,即线性相关.若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以线性相关.则.如果,由定理1.4.1知,共

定理1.4.7三个向量共面它们线性相关.证明:必要性设共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.以线性相关.充分性设线性相关,则存在不全为0不全为0,不妨设,则有.由定理1.4.2知共面.所的,使得.由于定理1.4.7三个向量共面它们线性相关.

定理1.4.8空间任何四个向量总线性相关.证明:设空间任意四向量,若共面,由定理1.4.7知线性相关,理1.4.5知线性相关.若不共面,由定理1.4.3可设,1.4.4知线性相关.推论空间四个以上向量总是线性相关.再由定再由定理定理1.4.8空间任何四个向量总线性相关.证

例3设,试证三点共线的充要条件是存在不全为0的实数使得且证明:必要性设共线,则共线,由定理1.4.6知线性相关,即存在不全为0的,使得例3设,试证三点即.可得令,即有不全为0,使且.令,即有不妨设,代入整理得充分性设有不全为0的,使即.可知不全为0,共线,即共线.所以由且不妨设,代入整理得充分性设有

例4设为两不共线向量,证明共线的充要条件是

证明:由定理1.4.6,共线存在不全为0的数,使得例4设为两不共线向量,证明证即又不共线,即线性无关而不全为0即又不共线,即线性无关而不全为0第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向§1.4向量的线性关系与向量的分解

定义1.4.1由与实数所组成的向量

叫做的线性组合.(也称向量可以用向量线性表示,或可以分解成的线性组合.)§1.4向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由

定理1.4.1如果向量,则与共线的充分必要条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合,即

并且系数被惟一确定.这时称为用线性组合来表示共线向量的基底.定理1.4.1如果向量,则与共线的充必要性若与共线,当同向时,取;当反向时,取,则有下证惟一.如果,则,即,但,则.即证明:充分性若,则由数乘的定义可知与共线.必要性若与共线,当同向时,取下证

定理1.4.2如果向量不共线,则向量与共面的充分必要条件是可以用向量线性表示,即并且系数被唯一确定.这时叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量不共线,则向量证明:因为不共线,所以.共线,则有(或).只要取(或),则有.若与都不共线,把归结到共同始点,并设过点作,分别交所在直线于两点.必要性若与共面,若与(或)证明:因为不共线,所以.共线充分性若,当时,例如,则有与共线,所以共面.当时,则,即平行确定之平面.而,所以共面.由于与共线,与共线,则由定理1.4.1有充分性若,当时,例如下证惟一.如果,则.若,则有由定理1.4.1可知共线,矛盾.同理有.下证惟一.如果

定理1.4.3如果向量不共面,那么空间任意向量可以由向量线性表示,或说空间任意向量可以分解成向量的线性组合，即并且其中系数被唯一确定.这时叫做空间向量的基底.定理1.4.3如果向量不共面,那么空间任证明:因为不共面,则由定义1.1.5知,且它们彼此不共线.如果和之中的两个向量共面,例如,则由定理1.4.2有,则结论成立.如果和中任意两个都不共面.将归结为到共同始点,并设,证明:因为不共面,则由定义1.1.5知相交于三点,如图.,过的终点作三平面分别与平面平行,且分别和直线所以有再由定理1.4.1,有则有相交于三点,如图.下证被唯一确定.若则.如果,则则由定理1.4.2可知共面,故.同理可得下证被唯一确定.若

例1已知,,分别是两边上的点,且有,.设与交于,如图.试把向量分解成的线性组合.例1已知,,分解:因为而解:因为而因为不共线,由定理1.4.2,有即因为不共线,由定理1.4.2,有即

例2

证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.解:设四面体一组对边的中点的连线为,它的中点为,其余两组对边中点分别为,下只需证三点重合就可以了.例2证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分.取不共面的三向量,下证重合.又为中点,则有连接,由于为的中点,则有取不共面的三向量,而,所以同理可得所以,重合.而,所以同理可得所以,

定义1.4.2对于个向量,如果存在不全为零的个数使得那么个向量叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就指:只有当时,上式成立.推论一个向量线性相关定义1.4.2对于个向量

定理1.4.4在时,向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.证明:必要性设线性相关,则存在不全为0的,使得因为不全为0,不妨设,则定理1.4.4在时,向量线性

充分性设中有一个向量是其设这个向量为,即因为,所以线性相关.则余向量的线性组合.设这个向量为,即因为,所以线

定理1.4.5如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组向量就线性相关.证明:设有一组向量,其中一部分,如线性相关,即存在不全为0的,使得则定理1.4.5如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这其中不全为0,所以线性相关.定理1.4.6两向量共线它们线性相关.证明:充分性设线性相关,则存在不全为0的,使得.不妨设,推论一组向量如果含有零向量,那么这组向量必线性相关.其中不全为0,所以则.如果,由定理1.4.1知,共线.若,则共线.必要性设共线,若,则任取,有,即线性相关.若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以线性相关.则.如果,由定理1.4.1知,共

定理1.4.7三个向量共面它们线性相关.证明:必要性设共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.以线性相关.充分性设线性相关,则存在不全为0不全为0,不妨设,则