最新高中必修课考点及题型解析(修改稿)

高中数学必修课考点及题型解析一、数学必修1考点一：集合间的运算：求交集(A∩B〕、并集(A∪B)、补集(CUA)题型1：用列举法表示的集合间的运算对于用列举法表示的集合间的运算，A∩B〔交集〕为A与B的相同元素组成的集合，A∪B〔并集〕为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合，CUA〔补集〕为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。例1、全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7}，集合B={2,5,8}，求A∩B，A∪B，CUA。解：A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5}A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8}CUA={2,4,6,8,9,10}题型2：用描述法表示的集合间的运算〔主要针对用不等式描述元素特征〕对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴或文氏图表示出来〔常选用数轴表示〕，再通过观察图形求相应运算。A∩B〔交集〕为图形中A与B重叠即共同拥有的局部表示的集合。A∪B〔并集〕为图形中A加上B所表示的集合。CUA〔补集〕为图形中表示全集U的局部中去除表示A剩下的局部所表示的集合〔假设全集为R，那么数轴表示时是整条数轴〕注意表示数轴是带有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。例2、集合A={x|0<x<2}，B={x|-1<x<3}，求A∩B，A∪B，CRA。解：A∩B={x|0<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|0<x<2}考点二：求函数的定义域求函数定义域的主要依据：〔1〕分式的分母不为0；〔2〕偶次方根的被开方数不小于0，0取0次方没有意义〔即指数为0的幂函数底数不能为0〕；〔3〕对数函数的真数必须大于0；〔4〕指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；〔5〕当函数涉及实际问题时，还必须保证实际问题有意义。〔6〕如果f(x)是由几个局部的数学式子构成的，那么函数定义域是使各局部式子都有意义的实数集合。〔即求各集合的交集〕注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。考点三：相同函数的判断○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等〔或为同一函数〕○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。考点四：单调性证明及性质应用1、定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。2、性质增函数：在单调区间内，对于任意x1<x2，均有f(x1)<f(x2)，且函数图象在此区间内呈现上升趋势；减函数：在单调区间内，对于任意x1<x2，均有f(x1)>f(x2)，且函数图象在此区间内呈现下降趋势；3、定义法证明单调性步骤①在单调区间内任取x1，x2∈D，且x1<x2；〔取值〕②作差f(x1)－f(x2)；③变形〔通常是因式分解和配方〕；④定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；⑤下结论〔即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕题型：利用函数单调性求变量取值范围常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性，并求变量的取值范围。此类题型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结合二次函数开口方向即可求解。考点五：求函数最值：求函数最值一般结合函数单调性进行求解数学必修22.1空间几何体考点1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的局部，这样的多面体叫做棱台。2、长方体的对角线长；正方体的对角线长3、球的体积公式：，球的外表积公式：4、柱体，锥体，锥体截面积比：5、空间几何体的外表积与体积⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：题型：以选择题和填空题为主要考察形式，主要考察对概念的掌握，尤其注重对三视图和外表积、体积的计算等知识点的考察。例1：以下命题正确的是()Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两局部可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两局部不可能都是棱锥例2：假设一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的〔〕A倍B倍C2倍D倍例3：一个几何体是由上、下两局部构成的一个组合体，其三视图如以下图所示，那么这个组合体的上、下两局部分别是〔〕Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱正视图正视图侧视图俯视图例4：一个体积为的正方体的顶点都在球面上，那么球的外表积是A．B.C．D．二、填空题例1：假设圆锥的外表积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的底面的直径为_______________．例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的_________倍.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，那么得到的正视图可以为()．(2023课标全国Ⅱ，理6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1〔表示1cm〕,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为〔〕A.B.C.D.2.2立体几何初步考点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行〔简称线线平行，那么线面平行〕。⑵性质：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行〔简称线面平行，那么线线平行〕。10、面面平行：⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行〔简称线面平行，那么面面平行〕。⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行〔简称面面平行，那么线线平行〕。11、线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直〔简称线线垂直，那么线面垂直〕。⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直〔简称线面垂直，那么面面垂直〕。⑶性质：两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。〔简称面面垂直，那么线面垂直〕。题型：例1：一棱锥被平行于底面的平面所截，假设截面面积与底面面积之比是1:2，那么此棱锥的高〔自上而下〕被分成两段长度之比为 A、1: B、1:4 C、1: D、1:例2：两个不同平面、及三条不同直线a、b、c，，，，，c与b不平行，那么〔〕A.且与相交 B.且C.与相交 D.且与不相交例3：有四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行。其中正确的是 〔〕A．①② B．②③ C．③④ D．①④例4：在正方体中，分别是的中点.求证：例5：ABCDABCDA1B1C1D1EF〔1〕求证：EF∥平面CB1D1；〔2〕求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1(2023课标全国Ⅱ，理4)m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，那么()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l(2023课标全国Ⅱ，理18)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．(2023课标全国Ⅱ，理18)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.〔Ⅰ〕证明：PB∥平面AEC；〔Ⅱ〕设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.(2023课标全国Ⅱ，理11)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成的角的余弦值为〔〕A.B.C.D.2.3平面几何初步考点：1、倾斜角与斜率：2、直线方程：⑴点斜式：⑵斜截式：⑶两点式：⑷截距式：⑸一般式：3、对于直线：有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.4、对于直线：有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.5、两点间距离公式：6、点到直线距离公式：7、两平行线间的距离公式：：与：平行，那么题型：例1：假设过坐标原点的直线的斜率为，那么在直线上的点是〔〕ABCD例2：直线互相垂直，那么的值是〔〕A.-3B.0C.0或-3D.0或1(2023课标全国Ⅱ，理16)设点M〔,1〕，假设在圆O:上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，那么的取值范围是________.(2023课标全国Ⅱ，理12)点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是()．A．(0,1)B．C．D．2.4圆与方程考点：1、圆的方程：⑴标准方程：，其中圆心为，半径为.⑵一般方程：.其中圆心为，半径为.2、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;;.3、两圆位置关系：⑴外离：；⑵外切：；⑶相交：；⑷内切：；⑸内含：.4、空间中两点间距离公式：题型：例1：圆心在直线y=2x上，且与x轴相切与点〔-1，0〕的圆的标准方程是_________________________.例2：，〔1〕过点的圆的切线方程为________________.〔2〕过点的圆的切线方程为________________.〔3〕过点的圆的切线方程为________________.〔4〕斜率为－1的圆的切线方程为__________________.例3：圆C经过A(3,2)、Ｂ(1,6)两点，且圆心在直线y=2x上。〔１〕求圆Ｃ的方程；〔２〕假设直线Ｌ经过点P〔－１，３〕且与圆Ｃ相切，求直线Ｌ的方程。数学必修33.1算法初步考点1：算法与程序框图题型：通过选择题与填空题的形式，考察对算法的理解，主要考察对顺序结构和循环结构的理解与运用。(2023课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．B．C．D．2023年图示2023年图示(2023课标全国Ⅱ，理7)执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，那么输出的S=〔〕A.4B.5C.6D.708山东(14)执行右边的程序框图，假设p=0.8,那么输出的n=4.3.2统计考点：1、简单的随见抽样2、用样本的特征估计总体的特征3、变量间的相关关系例型1.用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：①总体中的某一个体在第一次抽取时被抽到的概率是多少?②个体在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是多少?③在整个抽样过程中，个体被抽到的概率是多少?分析：①总体中的某一个体在第一次抽取时被抽到的概率是；②个体在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是；③由于个体在第一次被抽到与第2次被抽到是互斥事件，所以在整个抽样过程中，个体被抽到的概率是．2.10只狗的血球体积及红血球的测量值如下ｘ45424648423558403950y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72ｘ〔血球体积，ｍｍ〕，ｙ〔血红球数，百万〕画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形〔3〕回归直线必经过的一点是哪一点？解：〔１〕见以下图〔２〕设回归直线为，那么，所以所求回归直线的方程为，图形如下:故可得到 从而得回归直线方程是．(图形略)3．写出以下各题的抽样过程〔１〕请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本。〔２〕某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行。(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的测得进行得出，车间得出的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下：很喜爱 喜爱 一般 不喜爱2435 4567 3926 1072打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？解：〔１〕①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号；②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕〔２〕采取系统抽样189÷21＝9，所以将189人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9人组成样本(3)采取分层抽样总人数为12000人，12000÷60＝200，所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人三、概率考点：4、概率的概念及意义5、古典概型的概念及概率6、几何概性的概念及概率题型1.有红，黄，白三种颜色，并各标有字母A，B，C，D，E的卡片15张，今随机一次取出4张，求4张卡片标号不同，颜色齐全的概率.(12分)解：根本领件总数为，而符合题意的取法数，2.10根签中有3根彩签，假设甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求以下事件的概率：〔1〕甲中彩；〔2〕甲、乙都中彩；〔3〕乙中彩〔14分〕解：设A={甲中彩}B={乙中彩}C={甲、乙都中彩}那么C=AB〔1〕P〔A〕=；〔2〕P〔C〕=P〔AB〕=〔2〕3．从5双不同的鞋中任意取出4只，求以下事件的概率：〔1〕所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；〔2〕所取的4只鞋中至少有2只是成双的解：根本领件总数是=210〔1〕恰有两只成双的取法是=120∴所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为(2)事件“4只鞋中至少有2只是成双〞包含的事件是“恰有2只成双〞和“4只恰成两双〞，恰有两只成双的取法是=120，四只恰成两双的取法是=10∴所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为4．为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．解：⑴随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．⑵利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行．说明：总体中的每个个体被剔除的概率相等()，也就是每个个体不被剔除的概率相等采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是考点7：数据抽样和分析——频率分布直方图的制作与分析考点8：总体的数字特征(2023课标全国Ⅱ，理19)某地区2007年至2023年农村居民家庭纯收入y〔单位：千元〕的数据如下表：年份2007202320232023202320232023年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9〔Ⅰ〕求y关于t的线性回归方程；〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕中的回归方程，分析2007年至2023年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，考点9：离散性随机变量及其分布列题型(2023课标全国Ⅱ，理19)(本小题总分值12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：假设需求量X∈[100,110)，那么取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．数学必修44.1三角函数考点：1.三角函数的概念和性质〔单调性，周期性，奇偶性，最值〕2.三角函数的图象3.三角恒等变换〔主要是求值〕4.三角函数模型的应用5.正余弦定理及其应用6.平面向量的根本问题及其应用．题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1假设是三角形的最小内角，那么函数的最大值是〔〕A．B．C．D．分析：三角形的最小内角是不大于的，而，换元解决．解析：由，令而，得．又，得，得，有．选择答案D．点评：涉及到与的问题时，通常用换元解决．解法二：，当时，，选D。例2．函数．，且．〔1〕求实数，的值；〔2〕求函数的最大值及取得最大值时的值．分析：待定系数求，；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数可化为． 〔1〕由，可得，，所以，．〔2〕，故当即时，函数取得最大值为．点评：结论是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数局部高考命题的重点内容．题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形〞上反响了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．〔2023年福建省理科数学高考样卷第8题〕为得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法那么解决．解析：函数，故要将函数的图象向左平移个长度单位，选择答案A．例4函数在区间内的图象是20230318分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．20230318解析：函数．结合选择支和一些特殊点，选择答案D．点评：此题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5〔2023高考山东卷理5〕，那么的值是A．B．C．D．分析：所求的，将条件分拆整合后解决．解析：C．，所以．点评：此题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的关键是对的分拆与整合．例6〔2023高考浙江理8〕假设那么=A．B．C．D．分析：可以结合和求解多方位地寻找解题的思路．方法一：，其中，即，再由知道，所以，所以．方法二：将式两端平方得方法三：令，和式平方相加得，故，即，故．方法四：我们可以认为点在直线上，而点又在单位圆上，解方程组可得，从而．这个解法和用方程组求解实质上是一致的．方法五：只能是第三象限角，排除C．D．，这时直接从选择支入手验证，由于计算麻烦，我们假定，不难由同角三角函数关系求出，检验符合条件，应选B．点评：此题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“，求的值〔人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问〕〞之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．〔2023高考湖南理19〕在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置．〔1〕求该船的行驶速度〔单位：海里/小时〕；〔2〕假设该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求的长，在中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点到直线的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．解析：〔1〕如图，，，由于，所以由余弦定理得所以船的行驶速度为〔海里/小时〕．〔2〕方法一：如上面的图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别是，与轴的交点为．由题设有，，，所以过点的直线的斜率，直线的方程为．又点到直线的距离，所以船会进入警戒水域．解法二：如下图，设直线与的延长线相交于点．在中，由余弦定理得，==．从而在中，由正弦定理得，．由于，所以点位于点和点之间，且．过点作于点，那么为点到直线的距离．在中，所以船会进入警戒水域．点评：此题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．此题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的根本问题才是考查的重点．例8〔2023年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题〕向量，〔〕，令，且的周期为．(1)求的值；(2)写出在上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数的解析式求出来，再根据的周期为就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．解析：(1)，∵的周期为．∴，，．(2)由于，当〔〕时，单增，即〔〕，∵∴在上的单调递增区间为．点评：此题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．例9〔2023江苏泰州期末15题〕向量，，，且．〔1〕求的值；〔2〕求的值．分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问．解析：〔1〕∵，∴．而，，故，由于，∴，解得，或．∵，，故〔舍去〕．∴．〔2〕∵，∴．由，求得，〔舍去〕．∴，．点评：此题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．题型6三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．例10．〔安徽省MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h皖南八校2023届高三第二次联考理科数学17题〕三角形的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，假设，〔1〕求角的大小；〔2〕求的取值范围．分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题．解析：〔1〕，． 由余弦定理，得． 〔2〕，点评：此题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征〔能进行类似数的运算〕又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例11.如图，点是的重心，点在上，点在上，且过的重心，，，试证明为常数，并求出这个常数．分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量根本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，此题的本质是点共线，利用这个关系寻找所满足的方程．解析：令，，那么，，设的中点为，显然，因为是的重心，所以．由、、三点共线，有、共线，所以，有且只有一个实数，使，而，，所以．又因为、不共线，由平面向量根本定理得，消去，整理得，故．结论得证．这个常数是．【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其根本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．题型8用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．例12.函数，假设函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．分析：函数的导数在大于等于零恒成立．解析：函数在区间上是增函数，那么等价于不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，从而在区间上恒成立，而函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最大值为，所以为所求．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．此题如将化为的形式，那么与有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型9三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13.设二次函数，不管，为何实数，恒有和．〔1〕求证：；〔2〕求证：；〔3〕假设函数的最大值为，求，的值．分析：由三角函数的有界性可以得出，再结合有界性探求．解析：〔1〕因为且恒成立，所以，又因为且恒成立，所以，从而知，，即．〔2〕由且恒成立得，即，将代如得，即．〔3〕，因为，所以当时，由，解得，．点评：此题的关键是，由利用正余弦函数的有界性得出，从而，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．数学必修55.1解三角形考点1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos……在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.2.解三角形常见的四种类型(1)两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<ba>bsinA两解无解无解a=bsinA一解a<bsinA无解题型一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2．余弦定理有两方面的应用：(1)三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．在ABC中，，，，求b及A；解析：〔1〕∵=COS==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴例2〔2023上海文数〕18.假设△的三个内角满足，那么△〔A〕一定是锐角三角形.〔B〕一定是直角三角形.〔C〕一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角例3〔2023湖南文数〕7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设∠C=120°，c=a，那么A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【命题意图】此题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比拟法,属中档题例4.〔2023北京理〕在中，角的对边分别为，。〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的面积.【解析】此题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等根底知识，主要考查根本运算能力．解〔Ⅰ〕∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积.题型二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用例1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设〔Ⅰ〕判断△ABC的形状；〔Ⅱ〕假设的值. 解：〔I〕即为等腰三角形.〔II〕由〔I〕知题型3：三角形面积例1．在中，，，,求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得。=1\*GB3①－=2\*GB3②得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等根本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的根底试题。两种解法比拟起来，你认为哪一种解法比拟简单呢？例2(2023年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)假设c－b＝1，求a的值．思维突破：(1)根据同角三角函数关系，由cosA＝eq\f(12,13)得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc＝156；直接求数量积eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，代入条件c－b＝1及bc＝156，求a的值．解：由cosA＝eq\f(12,13)，得sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).又eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝156.(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝156×eq\f(12,13)＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2·156·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,13)))＝25.∴a＝5.例3〔2023湖南卷文〕在锐角中，那么的值等于，的取值范围为.解析设由正弦定理得由锐角得，又，故，例4〔2023四川卷文〕在中，为锐角，角所对的边分别为，且〔I〕求的值；〔II〕假设，求的值。解〔I〕∵为锐角，∴∵∴〔II〕由〔I〕知，∴由得，即又∵∴∴∴点评：三角函数有着广泛的应用，此题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？题型4：解三角形的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后将结果复原为实际问题．eq\x(实际问题)eq\o(→,\s\up7(抽象),\s\do5(概括))eq\x(解三角形问题)eq\o(→,\s\up7(推理),\s\do5(演算))eq\x(三角形问题的解)eq\o(→,\s\up7(复原),\s\do5(说明))eq\x(实际问题的解)例1：〔2023辽宁卷理〕如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离〔计算结果精确到0.01km，1.414，2.449〕解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握根本知识、概念，深刻理解其中根本的数量关系即可过关。例2如图3，位于A处的信息中心得悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．图3总结1．解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕两角和一边〔如A、B、C〕，由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；〔2〕两边和夹角〔如a、b、c〕，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；〔3〕两边和其中一边的对角〔如a、b、A〕，应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；〔4〕三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角学中的射影定理：在△ABC中，，…3．两内角与其正弦值：在△ABC中，，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解〞。5.2数列数列考查形式有选择题、填空题、大题。大题分值较高，约占10分。考点大致有数列求和、求通项公式等。考点一、求数列通项公式一、公式法例1数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，那么，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、累加法例2数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以数列的通项公式为。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3数列满足，求数列的通项公式。解：由得那么所以评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。三、累乘法例5数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，那么，故所以数列的通项公式为评注：此题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。四、待定系数法例7数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，那么，那么数列是以为首项，以2为公比的等比数列，那么，故。评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、对数变换法考点二、数列求和第一类：公式法利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法。1、等差数列的前项和公式2、等比数列的前项和公式第二类：乘公比错项相减〔等差等比〕这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。例1：求数列(为常数)的前项和。解：Ⅰ、假设=0，那么=0Ⅱ、假设=1，那么Ⅲ、假设≠0且≠1，那么①②①式—②式：综上所述：解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，〔课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的〕，但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的通项分解〔裂项〕如：1、乘积形式，如：〔1〕、〔2〕、2、根式形式，如：例2：求数列，，，…，，…的前项和解：∵=例3：求数列，，，…，，…的前项和解：由于：=〕那么：解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到个。例4：假设函数对任意都有。〔1〕，数列是等差数列吗？是证明你的结论；〔2〕求数列的的前项和。解：〔1〕、〔倒序相加〕那么，由条件：对任意都有。从而：数列是的等差数列。〔2〕、==故：=解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例5：求数列{+}的前项和解：令令①②①式—②式：故：第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。例7：求数列9，99，999，…的前n项和分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：那么：例8：=解：由于：那么：=〔等差+等比，利用公式求和〕==解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。5.3不等式一．考点：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：假设，那么〔假设，那么〕，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：假设，那么〔假设，那么〕；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：假设，那么或；4．假设，，那么；假设，，那么。如〔1〕对于实数中，给出以下命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，那么。其中正确的命题是______〔答：②③⑥⑦⑧〕；〔2〕，，那么的取值范围是______〔答：〕；〔3