高考数学中内切球和外接球问题

(圆满版)高考数学中的内切球和外接球问题.(圆满版)高考数学中的内切球和外接球问题.(圆满版)高考数学中的内切球和外接球问题.高考数学中的内切球和外接球问题一、相关外接球的问题假如一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.相关多面体外接球的问题，是立体几何的一个要点，也是高考察看的一个热门.察看学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，而且还要特别注意多面体的相关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中常常会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的相关问题1若棱长为3的正方体的极点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.2一个正方体的各极点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的相关问题3一个长方体的各极点均在同一球面上，且一个极点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各极点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B.20C.24D.323.求多面体的外接球的相关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长8为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有6x3h3932hx16x284∴正六棱柱的底面圆的半径r1，球心终归面的距离d3.∴外22接球的半径Rr2d2.体积：V4R3.3小结此题是运用公式R2r2d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、结构法(补形法)1、结构正方体5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S4r29.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c，则就能够将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个极点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为la2b2c2，几何体的外接球直径为2R体对角线长la2b2c2即R2练习：在四周体ABCD中，共极点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,6,3，若该四周体的四个极点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为S4R216例6一个四周体的全部棱长都为2，四个极点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6例7已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC3，则球O的体积等于.解析：此题相同用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快即可找到球的直径，因为DA平面ABC，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，结构如图4所示的长方体，又因为DAABBC3，则此长方体为正方体，因此CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD3.故球O的体积等于92

.（如图4）ADOOBACBCD图4图52、例8（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，DCBC，若AB6,AC213,AD8，则球的体积是解析：第一可联想到例7，结构下边的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OBOC4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只需求出BOC即可，在RtABC中，求出BC4，因此BOC60，故B、C两点间的球面距离是43

.（如图5）本文章在给出图形的状况下解决球心地点、半径大小的问题。.多面体几何性质法.已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32.小结:此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.追求轴截面圆半径法例正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为S解:设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DC又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.AO1图3B∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由SASC2,AC2,得SA2SC2AC2，ASC是以AC为斜边的直角三角形.AC1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球4.23小结:依据题意，我们能够选择最正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半.此题供给的这类思路是研究正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是经过找寻外接球的一个轴截面圆，进而把立体几何问题转变为平面几何问题来研究.这类等价转变的数学思想方法值得我们学习.五.确立球心地点法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四周体ABCD的外接球的体积为A

DO

CA.125B.125C.125D.12512963解:设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线相互均分，可知OAOBOCOD.∴点O到四周体的四个极点A,B,C,D的距离相等，即点O为四周体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径ROA5.故V球4R3125.236出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

图4B【例题】：已知三棱锥的四个极点都在球O的球面上，ABBC且PA7,PB5,PC51,AC10求球O的体积。解：ABBC且PA7,PB5,PC51,AC10因为72(51)2102因此知:AC2PA2PC2因此APPC因此可得图形为：RtABC中斜边为ACRtAPC中斜边为AC取斜边的中点，RtABC中OAOBOCRtAPC中OPOBOC因此在几何体中OPOBOCOA，即为该四周体的外接球的球心RAC5因此该外接球的体积为V球4R3500233【总结】斜边一般为四周体中除了直角极点之外的两个点连线。1.（陕西理?6）一个正三棱锥的四个极点都在半径为1的球面上，此中底面的三个极点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．33B．3C．3434答案B

．312直三棱柱ABCA1B1C1的各极点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于。解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R5，故此球的表面积为4R220.3．正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案8表面积为23的正八面体的各个极点都在同一个球面上，则此球的体积为A．2B．1C．2D．223333答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，因此由3a223知，84a1，则此球的直径为2，应选A。5.已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于（）32B.23C.4233D.433答案D6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9答案C（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8．答案43（2007天津理?12）一个长方体的各极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个极点在一个直径为2cm的球面上。假如正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案24210.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．答案67

PCDBEAF（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上