高考数学一轮复习课件导数在研究函数中的应用

第十一节导数在研究函数中的应用第十一节导数在研究函数中的应用1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________．单调递增单调递减常数函数1．函数的导数与单调性的关系单调递增单调递减常数函数2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧__________，右侧____________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．都小f′(x)<0f′(x)>02．函数的极值与导数都小f′(x)<0f′(x)>0(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．都大f′(x)>0f′(x)<0(2)函数的极大值与极大值点：都大f′(x)>0f′(x)<3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小3．函数的最值与导数连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？【提示】

函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？【提示】

不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用【答案】

B【答案】B2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(

)A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)【解析】

导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个.【答案】

A【解析】导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则(

)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()【解析】

∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】

D【解析】∵f(x)＝xex， (2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．【思路点拨】

(1)分a≤0和a＞0两种情况解不等式f′(x)＞0与f′(x)＜0.(2)分离参数k，转化为恒成立问题求解． (2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.【尝试解答】

(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.

由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递1．解答本题(2)时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．2．(1)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．(2)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．结合①式，及a＞0，得ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．所以二次方程1＋ax2－2ax＝0无解或有两个相同实数解，Δ＝4a2－4a≤0，即0≤a≤1.又∵a＞0.故实数a的取值范围是(0，1]．(2)若f(x)为R上的单调函数，1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．2．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3．本题第(2)问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用(2013·韶关模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0，2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a＜0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．【解】

(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题f′(x)≥0在(0，2)上恒成立．即2ax≥3x2.∵x＞0，2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(2013·韶关模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用 (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．【审题视点】

(1)求出两条切线方程比较系数求解．(2)讨论极值点与区间(－∞，－1]的关系，从而确定最大值． (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用1．本题(2)中区间确定，但函数解析式不确定，因此应讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的大致图象，数形结合求解．2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．

1.f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；2．f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点是利用导数研究函数的单调性，求极(最)值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用创新探究之二导数在比较大小中的创新应用 (2012·浙江高考)设a>0，b>0，e是自然对数的底数(

)A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a<bC．若ea－2a＝eb－3b，则a>bD．若ea－2a＝eb－3b，则a<b创新探究之二导数在比较大小中的创新应用【解析】

设f(x)＝ex＋2x，则f′(x)＝ex＋2＞0，从而f(x)在R上是增函数，若ea＋2a＝eb＋3b，则(ea＋2a)－(eb＋2b)＝b＞0，∴f(a)－f(b)＞0，∴a＞b，设g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，f(x)在R上不是单调函数，从而无法确定a与b的大小关系．【答案】

A【解析】设f(x)＝ex＋2x，则f′(x)＝ex＋2＞0创新点拨：(1)背景创新，已知等式，判断不等式是否成立，体现了“等”与“不等”关系的相互转化．(2)解法创新，从等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断a、b的关系，体现了转化与化归的思想．应对措施：(1)从等式中寻找不等关系，为构造函数创造了条件．(2)利用函数的单调性判断不等关系是常用的方法，当函数关系不明确时，构造函数则是解题的关键．创新点拨：(1)背景创新，已知等式，判断不等式是否成立，体现高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用第十一节导数在研究函数中的应用第十一节导数在研究函数中的应用1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________．单调递增单调递减常数函数1．函数的导数与单调性的关系单调递增单调递减常数函数2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧__________，右侧____________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．都小f′(x)<0f′(x)>02．函数的极值与导数都小f′(x)<0f′(x)>0(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．都大f′(x)>0f′(x)<0(2)函数的极大值与极大值点：都大f′(x)>0f′(x)<3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小3．函数的最值与导数连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？【提示】

函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？【提示】

不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用【答案】

B【答案】B2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(

)A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)【解析】

导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个.【答案】

A【解析】导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则(

)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()【解析】

∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】

D【解析】∵f(x)＝xex， (2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．【思路点拨】

(1)分a≤0和a＞0两种情况解不等式f′(x)＞0与f′(x)＜0.(2)分离参数k，转化为恒成立问题求解． (2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.【尝试解答】

(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.

由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递1．解答本题(2)时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．2．(1)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．(2)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．结合①式，及a＞0，得ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．所以二次方程1＋ax2－2ax＝0无解或有两个相同实数解，Δ＝4a2－4a≤0，即0≤a≤1.又∵a＞0.故实数a的取值范围是(0，1]．(2)若f(x)为R上的单调函数，1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．2．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3．本题第(2)问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用(2013·韶关模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0，2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a＜0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．【解】

(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题f′(x)≥0在(0，2)上恒成立．即2ax≥3x2.∵x＞0，2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(2013·韶关模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用 (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．【审题视点】

(1)求出两条切线方程比较系数求解．(2)讨论极值点与区间(－∞，－1]的关系，从而确定最大值． (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用1．本题(2)中区间确定，但函数解析式不确定，因此应讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的大致图象，数形结合求解．2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用高考数学一轮复习课件：导数在研究函数中的应用若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化