数值建模课件-拟合

这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4）的极小点问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(2)的中求一函数，由求多元函数极值的必要条件，有使（3）取得最小.1这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4）的极小点曲线拟合的最小二乘法

1最小二乘法及其计算

在函数的最佳平方逼近中如果只在一组离散点集上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合.2曲线拟合的最小二乘法1最小二乘法及其计算在记误差则的各分量分别为个数据点上的误差.问题为利用求出一个函数与所给数据拟合.3记误差则的各分量设是上线性无关函数族，在中找一函数，使误差平方和（1）这里（2）4设是这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定的形式.确定的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.5这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和（2）（3）这里是上的权函数，它表示不同点处的数据比重不同.就是次多项式.若是次多项式，的一般表达式为（2）表示的线性形式.6为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中（2）其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩阵非奇异，而在上线性无关不能推出矩阵非奇异，必须加上另外的条件.（6）7其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩阵若记（5）上式可改写为（6）这个方程称为法方程，可写成矩阵形式8若记（5）上式可改写为（6）这个方程称为法方程，可写成矩一般可取，但这样做当时，通常对的简单情形都可通过求法方程（6）得到给定的离散数据，例如，，求解法方程（6）将出现系数矩阵为病态的问题，有时根据给定数据图形，其拟合函数表面上不是（2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.若两边取对数得（6）（2）9一般可取，但这样做当显然在任意个点上满足哈尔条件.哈尔条件，则法方程(6)

的系数矩阵(7)

非奇异，如果在上满足函数的最小二乘解为

定义1设的任意线性组合在点集上至多只有个不同的零点，则称在点集上满足哈尔(Haar)条件.方程(6)存在惟一的解从而得到于是（6）10显然在任意个点这样得到的，对任何形如(2)的，都有故确是所求最小二乘解.（2）11这样得到的，对任何形如(2)的，都有故

例7这样就变成了形如（2）的线性模型.此时，若令则已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.12例7这样就变成了形如（2）的线性模型.此时，若令

解从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，将所给数据在坐标纸上标出，见图1.图113解从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性令这里故14令这里故14解得由（6）得方程组于是所求拟合曲线为（6）15解得由（6）得方程组于是所求拟合曲线为（6）15关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序其中输入参数为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数为拟合多项式的系数.利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.16关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序x=[11233345];f=[444.566688.5];aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=s1(x)’）17x=[11233345];17结果如下：18结果如下：18

例1设数据由表3-1给出，用最小二乘法确定及.

解表中第4行为通过描点可以看出数学模型为它不是线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得19例1设数据若令先将转化为为确定，根据最小二乘法，取则得数据表见表3-1.得20若令先将转化为为确定，故有法方程解得于是得最小二乘拟合曲线为21故有法方程解得于是得最小二乘拟合曲线为21（9）则方程（6）的解为且平方误差为（6）22（9）则方程（6）的解为且平方误差为（6）22接下来根据给定节点及权函数构造带权正交的多项式.注意，用递推公式表示，即（10）这里是首项系数为1的次多项式，根据的正交性，得23接下来根据给定节点及权函数利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.x=[1.001.251.501.752.00];y=[5.105.796.537.458.46];y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2));y2=b*exp(a*x);plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=a*exp(bx))’;24利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.x结果如下：25结果如下：25而，于是由（5.12），当时，另外，是首项系数为1的次多项式，它可由由归纳法假定，当时的线性组合表示.由归纳法假定又有（12）26而，于是由（5.12），当2用正交多项式做最小二乘拟合

如果是关于点集（8）用最小二乘法得到的法方程组（6），其系数矩阵是病态的.带权正交的函数族，即（6）272用正交多项式做最小二乘拟合如果至此已证明了由（10）及（11）确定的多项式组成一个关于点集的正交系.用正交多项式的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式（10）及（11）逐步求的同时，相应计算出系数最后，由和的表达式（11）有28至此已证明了由（10）及（11）确定的多项式（11）下面用归纳法证明这样给出的是正交的.29（11）下面用归纳法证明这样给出的是正假定对及要证对均成立.由（10）有由（10）第二式及（11）中的表达式，有均成立，（5.12）（10）（10）30假定对由假定有再考虑（13）利用（11）中表达式及以上结果，得31由假定有再考虑（13）利用（11）中表达式并逐步把累加到中去，最后就可得到所求的用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余不用改变.这里可事先给定或在计算过程中根据误差确定.拟合曲线32并逐步把累加到中去，最后就可得到所求只要在上分段连续，则级数（3）一致收敛到.对于最佳平方逼近多项式（6.1）有由此可以得到相应于（4.11）的贝塞尔不等式因为右边不依赖于，左边单调有界，所以级数（3）（6.1）（11）33只要在上分段连续，则级数（3这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4）的极小点问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(2)的中求一函数，由求多元函数极值的必要条件，有使（3）取得最小.34这样，最小二乘问题就转化为求多元函数（4）的极小点曲线拟合的最小二乘法

1最小二乘法及其计算

在函数的最佳平方逼近中如果只在一组离散点集上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合.35曲线拟合的最小二乘法1最小二乘法及其计算在记误差则的各分量分别为个数据点上的误差.问题为利用求出一个函数与所给数据拟合.36记误差则的各分量设是上线性无关函数族，在中找一函数，使误差平方和（1）这里（2）37设是这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定的形式.确定的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.38这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和（2）（3）这里是上的权函数，它表示不同点处的数据比重不同.就是次多项式.若是次多项式，的一般表达式为（2）表示的线性形式.39为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中（2）其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩阵非奇异，而在上线性无关不能推出矩阵非奇异，必须加上另外的条件.（6）40其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩阵若记（5）上式可改写为（6）这个方程称为法方程，可写成矩阵形式41若记（5）上式可改写为（6）这个方程称为法方程，可写成矩一般可取，但这样做当时，通常对的简单情形都可通过求法方程（6）得到给定的离散数据，例如，，求解法方程（6）将出现系数矩阵为病态的问题，有时根据给定数据图形，其拟合函数表面上不是（2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.若两边取对数得（6）（2）42一般可取，但这样做当显然在任意个点上满足哈尔条件.哈尔条件，则法方程(6)

的系数矩阵(7)

非奇异，如果在上满足函数的最小二乘解为

定义1设的任意线性组合在点集上至多只有个不同的零点，则称在点集上满足哈尔(Haar)条件.方程(6)存在惟一的解从而得到于是（6）43显然在任意个点这样得到的，对任何形如(2)的，都有故确是所求最小二乘解.（2）44这样得到的，对任何形如(2)的，都有故

例7这样就变成了形如（2）的线性模型.此时，若令则已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.45例7这样就变成了形如（2）的线性模型.此时，若令

解从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，将所给数据在坐标纸上标出，见图1.图146解从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性令这里故47令这里故14解得由（6）得方程组于是所求拟合曲线为（6）48解得由（6）得方程组于是所求拟合曲线为（6）15关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序其中输入参数为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数为拟合多项式的系数.利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.49关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序x=[11233345];f=[444.566688.5];aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=s1(x)’）50x=[11233345];17结果如下：51结果如下：18

例1设数据由表3-1给出，用最小二乘法确定及.

解表中第4行为通过描点可以看出数学模型为它不是线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得52例1设数据若令先将转化为为确定，根据最小二乘法，取则得数据表见表3-1.得53若令先将转化为为确定，故有法方程解得于是得最小二乘拟合曲线为54故有法方程解得于是得最小二乘拟合曲线为21（9）则方程（6）的解为且平方误差为（6）55（9）则方程（6）的解为且平方误差为（6）22接下来根据给定节点及权函数构造带权正交的多项式.注意，用递推公式表示，即（10）这里是首项系数为1的次多项式，根据的正交性，得56接下来根据给定节点及权函数利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.x=[1.001.251.501.752.00];y=[5.105.796.537.458.46];y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2));y2=b*exp(a*x);plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=a*exp(bx))’;57利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.x结果如下：58结果如下：25而，于是由（5.12），当时，另外，是首项系数为1的次多项式，它可由由归纳法假定，当时的线性组合表示.由归纳法假定又有（12）59而，于是由（5.12），当2用正交多项式做最小二乘拟合

如果是关于点集（8）用最小二乘法得到的法方程