特殊平行四边形(一)课件

特殊平行四边形（一）初二数学

特殊平行四边形（一）初二数学

矩形：一．课内知识的回顾：

1．矩形的特征：边：对边平行且相等；

AB//DC,ABDC，AD//BC

，ADBC．角：四个角相等，都等于90°；

∠A∠B∠C∠D90°对角线：对角线互相平分且相等；

AOCO，BODO，ACBD．对称性：既是轴对称又是中心对称图形．ODCBAABCD矩形：ODCBAABCD2．矩形的识别方法：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．3个条件1个条件2个条件2．矩形的识别方法：3个条件1个条件2个条件3．与矩形相关的三角形：注意：当边AB等于对角线AC一半时，矩形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA3．与矩形相关的三角形：ABCDOABCOBCOBA

利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图：△ABC中，∠ABC90°，点O是AC的中点， 则BO

AC．OACB利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论：OACB二．矩形知识的应用举例：[例1]

在矩形ABCD中，直线DE是△DCE与△DFE的对称轴,若矩形与四边形ECDF的周长差是4，且四边形ECDF的周长是8，(1)求矩形ABCD的周长与面积;(2)直线FE与矩形ABCD有什么关系？分析:

要想由条件得到图形中E、F分别是BC、AD中点，先判断出△DCE与△DFE是等腰直角三角形是解决问题的关键；矩形与四边形ECDF的周长差实际就是AF与BE的和；EF垂直平分AD可发现直线EF是矩形的一条对称轴．FEACBD213二．矩形知识的应用举例：FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，ADBC又DCE与DFE关于直线DE对称∴123，四边形ECDF中，∵CDCE,

周长为8，ECCDDFFE2DFE90∴ADFDBCEC

即AFBE矩形ABCD的周长四边形ECDF的周长AFBE4∴AFBE2∴矩形ABCD中，AD4，AB2∴矩形ABCD周长2(ADAB)12矩形ABCD面积ADAB428FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，又[例2]

已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE的度数．

分析：由矩形的特征及条件不难发现△OAD是等边三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征就可以使问题得以解决．ABCDEO[例2]已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB解∵矩形ABCD∴ACBD

AOODADC90∵DE平分ADCBDE15∵ADOADEBDE451560∴OAD为等边，BOCAOD60

ADAODAO60又DAE90

∴ADE为等腰Rt

AEAD∴OAE906030

AOAE

ABCDEOABCDEO[例3]

已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB的延长线交DF于F点．请猜测：BF与AC的数量关系，并说明理由．

分析：由于矩形ABCD中，ACBD，BF与AC的数量关系实质就是BF与BD的数量关系,由位置可通过角的关系得到．让我们先来分析一组图形：

ABCDEFo325610Q[例3]已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC由位置关系可知应通过角的关系得到。与之相关的RtABC三角形中有斜边上高和中线，RtADC中有中线和角平分线.BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC[例4]

在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一点，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、DF可以看作是DEC的底和高，因为可求，所以EC边上的高可求。FEDCBA[例4]在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一解答：连DE∵矩形ABCD，且AB6，BC4∴S矩形6424又∵AB//DC∴∵DFEC于F∴∵EC5∴FEDCBA解答：连DE∵DFEC于F∵EC5FEDCBA[例5]

有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）

[例5]有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的任意一直线都会将矩形分成两部分仍是关于中心对称的图形，所以面积相等，因此有：只要将图形化为两个矩形的和或差，作出经过两个图形对称中心的直线即可。分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的[例6]

如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PEPF的值．当点P在AD上移动时，其它条件不变，PEPF的值会改变吗？OPFEDCBAQ[例6]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD分析：分别求PE、PF困难。由已知得矩形面积，而可知。由于AOD是等腰，联想“等腰底边上任意一点到两腰距离和等于腰上的高”这一性质，由于对角线已知，即等腰可知，由面积就可求出腰的高。问题得解。解：过D点作DQAC于Q∵矩形ABCD中，AB3，AD4∴S矩3412

又∵AC与BD互相平分OPFEDCBAQ分析：分别求PE、PF困难。解：过D点作DQAC于QOPF由

在其它条件不变的情况下,由于不论P点在AD上如何移动，它到等腰AOD两腰的距离之和永远等于OA上的高，因此PEPF的值不会改变。∵连OP∴DQPEPF

∵ACBD5

OPFEDCBAQ由在其它条件不变的情况下,由于不论P点在A[例7]

如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论？FENMOCBA[例7]如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O

分析与解答：（1）由于CE、CF分别是角平分线，因此有ECF为直角，又由于MN//BC，因此OEC与OFC均为等腰，即OEOC，OFOC，故O是EF中点。（2）由于ECF为90，只要四边形AECF为平行四边形，则四边形AECF就为矩形。而（1）已知O是EF中点，只需O是AC中点即可，故点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。FENMOCBA 分析与解答：FENMOCBA菱形一．课内知识的回顾：1．菱形的特征：边：对边平行且四条边相等；

AB//DC,AD//BC

，ABDCADBC．角：对角相等，邻角互补；

∠A∠C，∠B

∠D

∠A

∠B

180°，……对角线：对角线互相垂直平分；AOCO，BODO，

AC⊥BD．每条对角线平分一组对角∠ADB∠CDB,……对称性：既是轴对称又是中心对称图形．BDACDACOB菱形BDACDACOB2．菱形的识别方法：四条边相等的的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2个条件1个条件3个条件2．菱形的识别方法：2个条件1个条件3个条件3．与菱形相关的三角形：注意：当边AB等于对角线BD时，菱形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD3．与菱形相关的三角形：BCCADDDOABOCAD利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图

l1

、l2分别是菱形的两条对角线，有S

菱形=l1l2l2l1利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图二．菱形知识的应用举例：[例1]

已知:菱形两条对角线的差等于3.2cm，它们的比为1:2.求:菱形的面积．

二．菱形知识的应用举例：[例2]

已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A，且边长相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD的度数．分析：抓住菱形和正都是轴对称图形且边长相等这一特征，可得ABM为等腰，利用底角与顶点及菱形相邻两角的数量关系可将问题得以解决。ABCDMN[例2]已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A

解：∵菱形ABCD及等边AMN关于AC对称

∴BAMDAN

又∵菱形和等边边长相等

∴在ABM中有ABAM，设BAM为x，则

BAD2x60 ∵AD//BC∴

即 解得x20 ∴BAD2x60100ABCDMN 解：∵菱形ABCD及等边AMN关于AC对称ABCDMN[例3]

已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，ABAE，∠EAD2∠BAE．求证：BEAF．分析：线段BE和AF在位置上没有特殊关系，应考虑等量代换，因此应从角的关系入手找到BF和AF的中间量ABCDEF[例3]

已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AB解答：

∵菱形ABCD∴AD//BC∴EADAEB ∵ABAE∴ABEAEB

又∵EAD2BAE

又BD平分ABC

即ABFEBF ∴BAEABF∴AFBF ∵BFEBAFABF2BAE ∴BFEBEF∴BFBE∴BEAFABCDEF解答：ABCDEF[例4]

已知：如图，△ABC中，∠BAC90°，AG、BD分别是高线和角平分线，且交于E，FD⊥BC于F，连EF．求证：四边形AEFD为菱形．ABCDGEF[例4]已知：如图，△ABC中，∠BAC90°，AG、B

分析：若要判断四边形AEFD为菱形，可先证明四边形AEFD为平行四边形.

由于AG是ABC的高，DFBC，故AE//DF，只需再寻找一个条件。ABCDGEF 分析：若要判断四边形AEFD为菱形，可先证明四边形AEFD[例5]

已知：如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边△ABE、等边△CBD和等边△ACF，连结DE、DF．问：当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形、菱形．FEDCBA[例5]已知：如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的同

分析与解答：从图形中可分析出：

EBD与ABC是绕B点旋转对称的图形，有EDACAF，同理AEDF，因此四边形AFDE为平行四边形，ABC的形状对这个四边形有影响，当EAF90时，AFDE为矩形，此时BAC36090260150，即ABC中BAC150时，当AEAF时AFDE为菱形，此时ABAEAFAC，即ABC中ABAC时，四边形DEAF为矩形、菱形．FEDCBA 分析与解答：从图形中可分析出：FEDCBA小结：1．矩形、菱形都是特殊的平行四边形，在学习这部分知识时可以通过类比的方法来研究图形的特征及识别方法；2．既然矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此要注意到它们与一般平行四边形比较，特殊在什么地方；3．矩形、菱形在我们日常生活中都会经常遇到，学习这些知识也是为了更好的解决实际问题；4．在这部分内容的学习中，要注意提高说理的水平，真正做到出言有据．小结：特殊平行四边形（一）初二数学

特殊平行四边形（一）初二数学

矩形：一．课内知识的回顾：

1．矩形的特征：边：对边平行且相等；

AB//DC,ABDC，AD//BC

，ADBC．角：四个角相等，都等于90°；

∠A∠B∠C∠D90°对角线：对角线互相平分且相等；

AOCO，BODO，ACBD．对称性：既是轴对称又是中心对称图形．ODCBAABCD矩形：ODCBAABCD2．矩形的识别方法：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．3个条件1个条件2个条件2．矩形的识别方法：3个条件1个条件2个条件3．与矩形相关的三角形：注意：当边AB等于对角线AC一半时，矩形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA3．与矩形相关的三角形：ABCDOABCOBCOBA

利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图：△ABC中，∠ABC90°，点O是AC的中点， 则BO

AC．OACB利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论：OACB二．矩形知识的应用举例：[例1]

在矩形ABCD中，直线DE是△DCE与△DFE的对称轴,若矩形与四边形ECDF的周长差是4，且四边形ECDF的周长是8，(1)求矩形ABCD的周长与面积;(2)直线FE与矩形ABCD有什么关系？分析:

要想由条件得到图形中E、F分别是BC、AD中点，先判断出△DCE与△DFE是等腰直角三角形是解决问题的关键；矩形与四边形ECDF的周长差实际就是AF与BE的和；EF垂直平分AD可发现直线EF是矩形的一条对称轴．FEACBD213二．矩形知识的应用举例：FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，ADBC又DCE与DFE关于直线DE对称∴123，四边形ECDF中，∵CDCE,

周长为8，ECCDDFFE2DFE90∴ADFDBCEC

即AFBE矩形ABCD的周长四边形ECDF的周长AFBE4∴AFBE2∴矩形ABCD中，AD4，AB2∴矩形ABCD周长2(ADAB)12矩形ABCD面积ADAB428FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，又[例2]

已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE的度数．

分析：由矩形的特征及条件不难发现△OAD是等边三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征就可以使问题得以解决．ABCDEO[例2]已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB解∵矩形ABCD∴ACBD

AOODADC90∵DE平分ADCBDE15∵ADOADEBDE451560∴OAD为等边，BOCAOD60

ADAODAO60又DAE90

∴ADE为等腰Rt

AEAD∴OAE906030

AOAE

ABCDEOABCDEO[例3]

已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB的延长线交DF于F点．请猜测：BF与AC的数量关系，并说明理由．

分析：由于矩形ABCD中，ACBD，BF与AC的数量关系实质就是BF与BD的数量关系,由位置可通过角的关系得到．让我们先来分析一组图形：

ABCDEFo325610Q[例3]已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC由位置关系可知应通过角的关系得到。与之相关的RtABC三角形中有斜边上高和中线，RtADC中有中线和角平分线.BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC[例4]

在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一点，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、DF可以看作是DEC的底和高，因为可求，所以EC边上的高可求。FEDCBA[例4]在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一解答：连DE∵矩形ABCD，且AB6，BC4∴S矩形6424又∵AB//DC∴∵DFEC于F∴∵EC5∴FEDCBA解答：连DE∵DFEC于F∵EC5FEDCBA[例5]

有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）

[例5]有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的任意一直线都会将矩形分成两部分仍是关于中心对称的图形，所以面积相等，因此有：只要将图形化为两个矩形的和或差，作出经过两个图形对称中心的直线即可。分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的[例6]

如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PEPF的值．当点P在AD上移动时，其它条件不变，PEPF的值会改变吗？OPFEDCBAQ[例6]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD分析：分别求PE、PF困难。由已知得矩形面积，而可知。由于AOD是等腰，联想“等腰底边上任意一点到两腰距离和等于腰上的高”这一性质，由于对角线已知，即等腰可知，由面积就可求出腰的高。问题得解。解：过D点作DQAC于Q∵矩形ABCD中，AB3，AD4∴S矩3412

又∵AC与BD互相平分OPFEDCBAQ分析：分别求PE、PF困难。解：过D点作DQAC于QOPF由

在其它条件不变的情况下,由于不论P点在AD上如何移动，它到等腰AOD两腰的距离之和永远等于OA上的高，因此PEPF的值不会改变。∵连OP∴DQPEPF

∵ACBD5

OPFEDCBAQ由在其它条件不变的情况下,由于不论P点在A[例7]

如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论？FENMOCBA[例7]如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O

分析与解答：（1）由于CE、CF分别是角平分线，因此有ECF为直角，又由于MN//BC，因此OEC与OFC均为等腰，即OEOC，OFOC，故O是EF中点。（2）由于ECF为90，只要四边形AECF为平行四边形，则四边形AECF就为矩形。而（1）已知O是EF中点，只需O是AC中点即可，故点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。FENMOCBA 分析与解答：FENMOCBA菱形一．课内知识的回顾：1．菱形的特征：边：对边平行且四条边相等；

AB//DC,AD//BC

，ABDCADBC．角：对角相等，邻角互补；

∠A∠C，∠B

∠D

∠A

∠B

180°，……对角线：对角线互相垂直平分；AOCO，BODO，

AC⊥BD．每条对角线平分一组对角∠ADB∠CDB,……对称性：既是轴对称又是中心对称图形．BDACDACOB菱形BDACDACOB2．菱形的识别方法：四条边相等的的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2个条件1个条件3个条件2．菱形的识别方法：2个条件1个条件3个条件3．与菱形相关的三角形：注意：当边AB等于对角线BD时，菱形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD3．与菱形相关的三角形：BCCADDDOABOCAD利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图

l1

、l2分别是菱形的两条对角线，有S

菱形=l1l2l2l1利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图二．菱形知识的应用举例：[例1]

已知:菱形两条对角线的差等于3.2cm，它们的比为1:2.求:菱形的面积．

二．菱形知识的应用举例：[例2]

已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A，且边长相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD的度数．分析：抓住菱形和正都是轴对称图形且边长相等这一特征，可得ABM为等腰，利用底角与顶点及菱形相邻两角的数量关系可将问题得以解决。ABCDMN[例2]已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A

解：∵菱形ABCD及等边AMN关于AC对称

∴BAMDAN

又∵菱形和等边边长相等

∴在ABM中有ABAM，设BAM为x，则

BAD2x60 ∵AD//BC∴

即 解得x20 ∴BAD2x60100ABCDMN 解：∵菱形ABCD及等边AMN关于AC对称ABCDMN[例3]

已知：如图，菱形ABCD中，E是BC