高三数学(文)考前专题核查课件：集合、常用逻辑用语

集合、常用逻辑用语集合、常用逻辑用语1一、主干知识1.集合的基本运算：(1)A∪B=_________________.(2)A∩B=________________.(3)={x|x∈U,且x∉A}.2.充分条件、必要条件与充要条件：(1)若p⇒q，则p是q的_________，q是p的_________.(2)若p⇔q，则p与q互为_________.充分条件必要条件充要条件{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}一、主干知识充分条件必要条件充要条件{x|x∈A，或x∈B}23.p∨q，p∧q，命题的真假:(1)p∨q命题中___________________时，该命题为真.(2)p∧q命题中_________________时，该命题为真.(3)命题中__________时，该命题为真.4.含有一个量词的命题的否定：(1)全称命题的否定.∀x∈M,p(x)的否定为_______________.(2)特称(存在性)命题的否定.∃x0∈M,p(x0)的否定为______________.至少有一个命题为真当且仅当p，q都真当命题p假∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)3.p∨q，p∧q，命题的真假:至少有一个命题为真当且3二、必记公式1.集合的子集个数：若集合A的元素有n个，则A的子集个数是__，真子集个数是_____，非空真子集的个数是_____.2.两个重要结论:(1)A∩B=A⇔_____.(2)A∪B=A⇔_____.2n2n－12n－2ABBA二、必记公式2n2n－12n－2ABBA41.(2013·四川高考)设集合A={1,2,3}，集合B={-2,2}，则A∩B=()A.∅B.{2}C.{-2,2}D.{－2,1,2,3}【解析】选B.根据题意，集合A={1,2,3}，集合B={2,－2}，所以A∩B={2}.1.(2013·四川高考)设集合A={1,2,3}，集合B=52.(2013·山东高考)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集，且B={1,2},则A∩=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4}，(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3}，又B={1,2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩={3}.2.(2013·山东高考)已知集合A,B均为全集U={1,263.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()【解析】选A.对立事件是“都降落在指定位置”.3.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各74．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由(2x-1)x=0⇒x=0或所以应选B.4．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”8热点考向1集合的概念及运算【典例1】(1)(2013·内江模拟)设集合A={y|y=sinx,x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.［-1,1］C.(1,+∞)D.［1,+∞)(2)(2013·安徽高考)已知A={x|x+1>0}，B={-2，-1，0，1}，则∩B=()A.{-2，-1}B.{-2}C.{-2，0，1}D.{0，1}热点考向1集合的概念及运算9(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，则logab＝()A.-1B.0C.1D.2(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{10【解题探究】(1)集合A，B的元素分别是什么？提示：A的元素是三角函数的值域y，B的元素是对数函数的自变量x.(2)集合A，B是用什么方法表示的集合？如何求A与B的交集？提示：集合A是用描述法表示的集合，B是用列举法表示的集合，求与B的交集，可先求出集合中元素的范围，然后观察B中的元素是否在此范围内即可.(3)由A∩B={1}针对集合B可得到什么表达式？提示：可由A∩B＝{1}，得出a2=1或b=1.【解题探究】11【解析】(1)选C.由集合A中的函数y=sinx,x∈R,得到y∈［-1,1］,所以A=［-1,1］,所以=(-∞,-1)∪(1,+∞).由集合B中的函数y=lgx,得到x＞0,所以B=(0,+∞),则∩B=(1,+∞).(2)选A.由x+1>0⇒x>－1，所以={x|x≤－1}，故得∩B={-2，-1}.【解析】(1)选C.由集合A中的函数y=sinx,x∈R,12(3)选B.因为A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，所以B中必有一个元素为1.当a2=1，即a=±1时，若a=1,集合A中有两个元素为1，这与集合元素的互异性相矛盾，所以a=1不成立；若a=-1，则A＝{0,1，-1}，B={1,b}，又因为A∪B＝{0,1,2,4}，并集中不含-1，故a=-1不成立.当b=1时，因为A∪B＝{0,1,2,4}，所以a=2，此时logab=log21=0.(3)选B.因为A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩13【方法总结】1.解答集合问题的思路先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解.(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解.【方法总结】142.几个等价关系(1)(2)A∪B＝B⇔(3)(4)等.2.几个等价关系15【变式训练】(2013·北京模拟)设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a}，={5，7}，则实数a的值为()A.1B.3C.5D.7【解析】选B.因为={5，7}，所以M={1,3},所以a=3.【变式训练】(2013·北京模拟)设全集U={1，3，5，716热点考向2命题真假的判断与否定

【典例2】(1)(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B，则()A.﹁p:∀x∈A,2x∉B

B.﹁p:∀x∉A,2x∉BC.﹁p:∃x0∉A,2x0∈BD.﹁p:∃x0∈A,2x0∉B(2)命题p：若x2＜2，则则p的否命题是______；命题“非p”是______.(3)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，则“p且q”为________(真，假)命题.热点考向2命题真假的判断与否定17【解题探究】(1)对全称命题如何否定？提示：将全称量词改为存在量词，且对命题的结论否定.(2)命题p的条件和结论分别是什么？“＜”的否定是什么？提示：命题p的条件是：x2＜2，结论是：“＜”的否定是“≥”.(3)p且q何时为真？何时为假？提示：当p，q两个命题都真时，p且q为真；p，q两个命题至少有一个为假时，p且q为假.【解题探究】18【解析】(1)选D.根据题意可知命题p:∀x∈A,2x∈B的否定是∃x0∈A,2x0∉B，故选D.(2)因为命题的否命题是对其条件和结论的否定，所以该命题的否命题为：若x2≥2，则因为命题的否定是对结论的否定，所以该命题的否定为：若x2＜2，则答案：若x2≥2，则若x2＜2，则【解析】(1)选D.根据题意可知命题p:∀x∈A,2x∈B的19(3)由元素与集合、集合与集合之间的关系可知：命题p：a∈{a，b，c}为真命题，命题q：{a}{a，b，c}为真命题，因此，p且q为真命题.答案：真(3)由元素与集合、集合与集合之间的关系可知：命题p：20【互动探究】若题(3)条件不变，则“p或q”为_____(真，假)命题；“p且q”为______(真，假)命题.【解析】由题意得：p为假，q为真，则“p或q”为真命题；“p且q”为假命题.答案：真假【互动探究】若题(3)条件不变，则“p或q”为_____21【方法总结】1.命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律.(3)形如p∨q，p∧q，p命题的真假根据真值表判定.【方法总结】22(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题.(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：232.常见词语及命题的否定词语及命题是都是至少有一个至多有一个>∀x∈A,使p(x)真否定不是不都是一个也没有至少有两个≤∃x0∈A,使p(x0)假2.常见词语及命题的否定词语及是都是至少至多>∀x∈A,使p24【变式备选】(2013·聊城模拟)若定义域为R的函数f(x)不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)B.∀x∈R,f(-x)＝f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)＝f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)【解析】选D.因为函数f(x)不是奇函数，所以∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0).【变式备选】(2013·聊城模拟)若定义域为R的函数f(x)25热点考向3充要条件的判断【典例3】(1)(2013·济南模拟)设x∈R，则“x2-3x＞0”是“x＞4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件热点考向3充要条件的判断26(3)(2013·上海模拟)已知f(x)=x2-2x+3，g(x)=kx-1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2013·上海模拟)已知f(x)=x2-2x+3，g27【解题探究】(1)判断A是B的充要条件的求解思路：①由“x2-3x＞0”得出：___________；②由“x＞4”能否得出“x2-3x＞0”？提示：能.x＞3或x＜0【解题探究】x＞3或x＜028(2)解决本题需要关注的两个问题：①由“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”能否得出“数列{an}为等差数列”?提示：能.②由“数列{an}为等差数列”能否得出“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”？提示：能.(2)解决本题需要关注的两个问题：29(3)解决本题的关键点：①f(x)≥g(x)恒成立可转化为哪个不等式恒成立？提示：可转化为x2-2x+3≥kx-1在R上恒成立，再转化为x2-(2+k)x+4≥0在R上恒成立.②一元二次不等式的恒成立问题主要根据什么解决？提示：主要根据根的判别式解决.(3)解决本题的关键点：30【解析】(1)选B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因为由x＞3或x＜0不能推出x＞4，而由x＞4能推出x＞3成立，即x＞3或x＜0成立,所以x2-3x＞0是x＞4的必要不充分条件.(2)选C.由∀n∈N*，2an+1=an+an+2得，an+1－an=an+2－an+1，即任意相邻的两项之差相等，所以数列{an}为等差数列，当数列{an}是等差数列时，由等差中项定义可知2an+1=an+an+2.所以“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件.【解析】(1)选B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因31(3)选A.f(x)≥g(x)⇔x2-2x+3≥kx-1⇔x2-(2+k)x+4≥0，此式对任意实数x都成立⇔Δ=(2+k)2-16≤0⇔-4≤k+2≤4⇒-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要条件，故选A.(3)选A.f(x)≥g(x)⇔x2-2x+3≥kx-1⇔x32【方法总结】1.充分、必要条件的判断方法先判断p⇒q与q⇒p是否成立,然后再确定p是q的什么条件.2.判断充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.【方法总结】33(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,可以尝试通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化:若p是q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或34【变式训练】1.(2013·青岛模拟)在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.因为函数y=tanx在(0,π)上不是单调函数，所以“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件，选D.【变式训练】1.(2013·青岛模拟)在△ABC中，“A＞B352.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由x2-x＞0得，x＜0或x＞1，所以q：0≤x≤1，所以p是q成立的必要不充分条件.2.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，则p是q成立的(36【典例】(1)已知命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥0，命题q:∃x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是()A.-1≤a≤1B.a≤-2或1≤a≤2C.a≥1D.a=1或a≤-2(2)设命题p:函数f(x)=是R上的减函数；命题q:函数f(x)=x2-4x+3在［0,a］上的值域为［-1,3］，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则a的取值范围是_________.利用命题的真假求参数的取值范围【典例】(1)已知命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥0，命37【解题探究】(1)“p且q”为真命题说明p，q的真假性如何？提示：“p且q”为真命题说明命题p,q都为真命题.(2)“p且q”为假命题，“p或q”为真命题说明什么？提示：“p且q”为假命题，“p或q”为真命题说明了p,q两个命题一真一假.【解题探究】38【解析】(1)选D.因为命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥0，所以1≤x2≤4，由a≤x2，所以a≤1.①因为命题q:∃x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，所以a≥1或a≤-2.②因为“p且q”为真命题，所以p与q都为真命题，所以由①②可得a=1或a≤-2.【解析】(1)选D.因为命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥39(2)因为函数是R上的减函数，所以所以因为f(x)=(x-2)2-1在［0,a］上的值域为［-1,3］,则2≤a≤4.因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以p，q为一真一假，若p真q假，得若p假q真，得综上可知：a的取值范围是答案：(2)因为函数是R上的减函数，40【方法总结】利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点(1)对命题进行合理转化,求出命题为真时参数的范围.(2)根据真值表确定命题的真假,从而确定相应参数的范围.(3)参数范围的确定最终归结到集合的交、并、补集运算,应注意区别.【方法总结】利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点41【变式备选】(2013·黄山模拟)已知p：f(x)=，且|f(a)|＜2；q：集合A={x|x2+(a+2)x+1=0，x∈R}，且A≠∅.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.【变式备选】(2013·黄山模拟)已知p：f(x)=42【解析】若|f(a)|=＜2成立，则-6＜1-a＜6，即当-5＜a＜7时p是真命题；若A≠∅，则方程x2+(a+2)x+1=0有实数根，由Δ=(a+2)2-4≥0，解得a≤-4或a≥0，即当a≤-4或a≥0时q是真命题.由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p与q一真一假，故知所求a的取值范围是a≤-5或-4＜a＜0或a≥7.【解析】若|f(a)|=＜2成立，则-6＜1-a43数形结合思想——解决集合间的关系、集合的运算问题【思想诠释】1.主要类型：(1)集合间关系的判断，如判断两个点集之间的关系、由不等式组成的集合之间的关系.(2)求集合的交集、并集、补集.(3)已知集合之间的关系，求参数值或参数的范围，如集合A是集合B的子集、A∩B=A、A∪B=A.数形结合思想442.解题思路：常常利用数形结合思想，找出集合之间的所有部分、公共部分、剩余部分，元素之间的关系，从而得出结论或解决问题的方法.3.注意事项：(1)准确理解集合代表元素是数形结合的关键.(2)准确理解有关集合的概念，寻找图中符合题意的部分.2.解题思路：常常利用数形结合思想，找出集合之间的所有部分、45【典例】设平面点集A={(x,y)|≥0}，B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为()【典例】46【审题】分析信息，形成思路切入点：求A∩B所表示的平面图形的面积,根据集合的代表元素得出两个集合表示的图形.关注点：集合A表示的是一条直线与一条双曲线所构成的区域；B表示一个圆及其内部.【审题】分析信息，形成思路47【解题】规范步骤，水到渠成选D.A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分①，由对称性可知，S1=S2,S3=S4②.因此A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半，即为【解题】规范步骤，水到渠成48【点题】规避误区，易错警示易错点一题中①的阴影部分确定不准确导致结果不正确易错点二未发现②处面积相等的情况,从而造成解题思路受阻,得不出结论【点题】规避误区，易错警示易错点一题中①的阴影部分确定不准确49【变题】变式训练，能力迁移1.设P={y|y=-x2+1,x∈R}，Q={y|y=2x,x∈R}，则()【解析】选C.P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1}，Q={y|y=2x,x∈R}={y|y＞0}，所以={y|y＞1}，画出数轴如图.所以选C.【变题】变式训练，能力迁移502.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∅，则M∪N＝()A.MB.NC.ID.∅【解析】选A.由Venn图可知NM，所以M∪N＝M.2.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩511.如图，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(0，2)，O4(2，2).记集合M＝{⊙Oi|i＝1，2，3，4}，若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B)的个数是()A.2B.4C.6D.81.如图，有四个半径都为1的圆，其52【解析】选B.注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，又当A≠B时，(A,B)和(B,A)为不同的有序集合对，则满足题意的“有序集合对”(A，B)的个数是4.【解析】选B.注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无532.(2013·济南模拟)设全集U=R，集合P={x|y=ln(1+x)}，Q={y|}，则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-1＜x≤0，x∈R}B.{x|-1＜x＜0，x∈R}C.{x|x＜0，x∈R}D.{x|x＞-1，x∈R}【解析】选B.由1+x＞0得x＞-1，即P={x|x＞-1}；Q={y|y≥0}，因此结合题意得，题中阴影部分表示的是集合P∩={x|-1＜x＜0，x∈R}.2.(2013·济南模拟)设全集U=R，集合543.如果不等式>(a－1)x的解集为A，且A⊆{x|0<x<2}，那么实数a的取值范围是________.【解析】令y＝即(x－2)2＋y2＝22(y≥0)，这个式子表示平面上的半圆；令y＝(a－1)x，其表示平面上斜率为(a－1)且过坐标原点的直线系，>(a－1)x的解集为A的意义是半圆位于直线上方时对应的x值，又A{x|0<x<2}，如图，数形结合可得只要直线位于y＝x及其上方均可，所以a－1≥1，即a≥2.答案：［2，＋∞)3.如果不等式>(a－1)x的解集为A，且A55集合、常用逻辑用语集合、常用逻辑用语56一、主干知识1.集合的基本运算：(1)A∪B=_________________.(2)A∩B=________________.(3)={x|x∈U,且x∉A}.2.充分条件、必要条件与充要条件：(1)若p⇒q，则p是q的_________，q是p的_________.(2)若p⇔q，则p与q互为_________.充分条件必要条件充要条件{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}一、主干知识充分条件必要条件充要条件{x|x∈A，或x∈B}573.p∨q，p∧q，命题的真假:(1)p∨q命题中___________________时，该命题为真.(2)p∧q命题中_________________时，该命题为真.(3)命题中__________时，该命题为真.4.含有一个量词的命题的否定：(1)全称命题的否定.∀x∈M,p(x)的否定为_______________.(2)特称(存在性)命题的否定.∃x0∈M,p(x0)的否定为______________.至少有一个命题为真当且仅当p，q都真当命题p假∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)3.p∨q，p∧q，命题的真假:至少有一个命题为真当且58二、必记公式1.集合的子集个数：若集合A的元素有n个，则A的子集个数是__，真子集个数是_____，非空真子集的个数是_____.2.两个重要结论:(1)A∩B=A⇔_____.(2)A∪B=A⇔_____.2n2n－12n－2ABBA二、必记公式2n2n－12n－2ABBA591.(2013·四川高考)设集合A={1,2,3}，集合B={-2,2}，则A∩B=()A.∅B.{2}C.{-2,2}D.{－2,1,2,3}【解析】选B.根据题意，集合A={1,2,3}，集合B={2,－2}，所以A∩B={2}.1.(2013·四川高考)设集合A={1,2,3}，集合B=602.(2013·山东高考)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集，且B={1,2},则A∩=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4}，(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3}，又B={1,2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩={3}.2.(2013·山东高考)已知集合A,B均为全集U={1,2613.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()【解析】选A.对立事件是“都降落在指定位置”.3.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各624．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由(2x-1)x=0⇒x=0或所以应选B.4．(2013·安徽高考)“(2x－1)x=0”是“x=0”63热点考向1集合的概念及运算【典例1】(1)(2013·内江模拟)设集合A={y|y=sinx,x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.［-1,1］C.(1,+∞)D.［1,+∞)(2)(2013·安徽高考)已知A={x|x+1>0}，B={-2，-1，0，1}，则∩B=()A.{-2，-1}B.{-2}C.{-2，0，1}D.{0，1}热点考向1集合的概念及运算64(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，则logab＝()A.-1B.0C.1D.2(3)已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{65【解题探究】(1)集合A，B的元素分别是什么？提示：A的元素是三角函数的值域y，B的元素是对数函数的自变量x.(2)集合A，B是用什么方法表示的集合？如何求A与B的交集？提示：集合A是用描述法表示的集合，B是用列举法表示的集合，求与B的交集，可先求出集合中元素的范围，然后观察B中的元素是否在此范围内即可.(3)由A∩B={1}针对集合B可得到什么表达式？提示：可由A∩B＝{1}，得出a2=1或b=1.【解题探究】66【解析】(1)选C.由集合A中的函数y=sinx,x∈R,得到y∈［-1,1］,所以A=［-1,1］,所以=(-∞,-1)∪(1,+∞).由集合B中的函数y=lgx,得到x＞0,所以B=(0,+∞),则∩B=(1,+∞).(2)选A.由x+1>0⇒x>－1，所以={x|x≤－1}，故得∩B={-2，-1}.【解析】(1)选C.由集合A中的函数y=sinx,x∈R,67(3)选B.因为A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，所以B中必有一个元素为1.当a2=1，即a=±1时，若a=1,集合A中有两个元素为1，这与集合元素的互异性相矛盾，所以a=1不成立；若a=-1，则A＝{0,1，-1}，B={1,b}，又因为A∪B＝{0,1,2,4}，并集中不含-1，故a=-1不成立.当b=1时，因为A∪B＝{0,1,2,4}，所以a=2，此时logab=log21=0.(3)选B.因为A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩68【方法总结】1.解答集合问题的思路先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解.(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解.【方法总结】692.几个等价关系(1)(2)A∪B＝B⇔(3)(4)等.2.几个等价关系70【变式训练】(2013·北京模拟)设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a}，={5，7}，则实数a的值为()A.1B.3C.5D.7【解析】选B.因为={5，7}，所以M={1,3},所以a=3.【变式训练】(2013·北京模拟)设全集U={1，3，5，771热点考向2命题真假的判断与否定

【典例2】(1)(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B，则()A.﹁p:∀x∈A,2x∉B

B.﹁p:∀x∉A,2x∉BC.﹁p:∃x0∉A,2x0∈BD.﹁p:∃x0∈A,2x0∉B(2)命题p：若x2＜2，则则p的否命题是______；命题“非p”是______.(3)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，则“p且q”为________(真，假)命题.热点考向2命题真假的判断与否定72【解题探究】(1)对全称命题如何否定？提示：将全称量词改为存在量词，且对命题的结论否定.(2)命题p的条件和结论分别是什么？“＜”的否定是什么？提示：命题p的条件是：x2＜2，结论是：“＜”的否定是“≥”.(3)p且q何时为真？何时为假？提示：当p，q两个命题都真时，p且q为真；p，q两个命题至少有一个为假时，p且q为假.【解题探究】73【解析】(1)选D.根据题意可知命题p:∀x∈A,2x∈B的否定是∃x0∈A,2x0∉B，故选D.(2)因为命题的否命题是对其条件和结论的否定，所以该命题的否命题为：若x2≥2，则因为命题的否定是对结论的否定，所以该命题的否定为：若x2＜2，则答案：若x2≥2，则若x2＜2，则【解析】(1)选D.根据题意可知命题p:∀x∈A,2x∈B的74(3)由元素与集合、集合与集合之间的关系可知：命题p：a∈{a，b，c}为真命题，命题q：{a}{a，b，c}为真命题，因此，p且q为真命题.答案：真(3)由元素与集合、集合与集合之间的关系可知：命题p：75【互动探究】若题(3)条件不变，则“p或q”为_____(真，假)命题；“p且q”为______(真，假)命题.【解析】由题意得：p为假，q为真，则“p或q”为真命题；“p且q”为假命题.答案：真假【互动探究】若题(3)条件不变，则“p或q”为_____76【方法总结】1.命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律.(3)形如p∨q，p∧q，p命题的真假根据真值表判定.【方法总结】77(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题.(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：782.常见词语及命题的否定词语及命题是都是至少有一个至多有一个>∀x∈A,使p(x)真否定不是不都是一个也没有至少有两个≤∃x0∈A,使p(x0)假2.常见词语及命题的否定词语及是都是至少至多>∀x∈A,使p79【变式备选】(2013·聊城模拟)若定义域为R的函数f(x)不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)B.∀x∈R,f(-x)＝f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)＝f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)【解析】选D.因为函数f(x)不是奇函数，所以∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0).【变式备选】(2013·聊城模拟)若定义域为R的函数f(x)80热点考向3充要条件的判断【典例3】(1)(2013·济南模拟)设x∈R，则“x2-3x＞0”是“x＞4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件热点考向3充要条件的判断81(3)(2013·上海模拟)已知f(x)=x2-2x+3，g(x)=kx-1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2013·上海模拟)已知f(x)=x2-2x+3，g82【解题探究】(1)判断A是B的充要条件的求解思路：①由“x2-3x＞0”得出：___________；②由“x＞4”能否得出“x2-3x＞0”？提示：能.x＞3或x＜0【解题探究】x＞3或x＜083(2)解决本题需要关注的两个问题：①由“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”能否得出“数列{an}为等差数列”?提示：能.②由“数列{an}为等差数列”能否得出“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”？提示：能.(2)解决本题需要关注的两个问题：84(3)解决本题的关键点：①f(x)≥g(x)恒成立可转化为哪个不等式恒成立？提示：可转化为x2-2x+3≥kx-1在R上恒成立，再转化为x2-(2+k)x+4≥0在R上恒成立.②一元二次不等式的恒成立问题主要根据什么解决？提示：主要根据根的判别式解决.(3)解决本题的关键点：85【解析】(1)选B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因为由x＞3或x＜0不能推出x＞4，而由x＞4能推出x＞3成立，即x＞3或x＜0成立,所以x2-3x＞0是x＞4的必要不充分条件.(2)选C.由∀n∈N*，2an+1=an+an+2得，an+1－an=an+2－an+1，即任意相邻的两项之差相等，所以数列{an}为等差数列，当数列{an}是等差数列时，由等差中项定义可知2an+1=an+an+2.所以“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件.【解析】(1)选B.由x2-3x＞0得x＞3或x＜0.因86(3)选A.f(x)≥g(x)⇔x2-2x+3≥kx-1⇔x2-(2+k)x+4≥0，此式对任意实数x都成立⇔Δ=(2+k)2-16≤0⇔-4≤k+2≤4⇒-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要条件，故选A.(3)选A.f(x)≥g(x)⇔x2-2x+3≥kx-1⇔x87【方法总结】1.充分、必要条件的判断方法先判断p⇒q与q⇒p是否成立,然后再确定p是q的什么条件.2.判断充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.【方法总结】88(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,可以尝试通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化:若p是q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或89【变式训练】1.(2013·青岛模拟)在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.因为函数y=tanx在(0,π)上不是单调函数，所以“A＞B”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件，选D.【变式训练】1.(2013·青岛模拟)在△ABC中，“A＞B902.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由x2-x＞0得，x＜0或x＞1，所以q：0≤x≤1，所以p是q成立的必要不充分条件.2.已知p：x≤1，q：x2-x＞0，则p是q成立的(91【典例】(1)已知命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥0，命题q:∃x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是()A.-1≤a≤1B.a≤-2或1≤a≤2C.a≥1D.a=1或a≤-2(2)设命题p:函数f(x)=是R上的减函数；命题q:函数f(x)=x2-4x+3在［0,a］上的值域为［-1,3］，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则a的取值范围是_________.利用命题的真假求参数的取值范围【典例】(1)已知命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥0，命92【解题探究】(1)“p且q”为真命题说明p，q的真假性如何？提示：“p且q”为真命题说明命题p,q都为真命题.(2)“p且q”为假命题，“p或q”为真命题说明什么？提示：“p且q”为假命题，“p或q”为真命题说明了p,q两个命题一真一假.【解题探究】93【解析】(1)选D.因为命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥0，所以1≤x2≤4，由a≤x2，所以a≤1.①因为命题q:∃x0∈R，x02+2ax0+2-a=0，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，所以a≥1或a≤-2.②因为“p且q”为真命题，所以p与q都为真命题，所以由①②可得a=1或a≤-2.【解析】(1)选D.因为命题p:∀x∈［1，2］，x2-a≥94(2)因为函数是R上的减函数，所以所以因为f(x)=(x-2)2-1在［0,a］上的值域为［-1,3］,则2≤a≤4.因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以p，q为一真一假，若p真q假，得若p假q真，得综上可知：a的取值范围是答案：(2)因为函数是R上的减函数，95【方法总结】利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点(1)对命题进行合理转化,求出命题为真时参数的范围.(2)根据真值表确定命题的真假,从而确定相应参数的范围.(3)参数范围的确定最终归结到集合的交、并、补集运算,应注意区别.【方法总结】利用命题的真假求参数的取值范围的三个关注点96【变式备选】(2013·黄山模拟)已知p：f(x)=，且|f(a)|＜2；q：集合A={x|x2+(a+2)x+1=0，x∈R}，且A≠∅.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.【变式备选】(2013·黄山模拟)已知p：f(x)=97【解析】若|f(a)|=＜2成立，则-6＜1-a＜6，即当-5＜a＜7时p是真命题；若A≠∅，则方程x2+(a+2)x+1=0有实数根，由Δ=(a+2)2-4≥0，解得a≤-4或a≥0，即当a≤-4或a≥0时q是真命题.由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p与q一真一假，故知所求a的取值范围是a≤-5