2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点48事件与概率

考点四十八事件与概率知识梳理随机事件和确定事件在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件.在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件.必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件.确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A,B,C…表示.频率与概率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=半为事件A出现的频率.在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A).事件的关系与运算定义付号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B?A（或A?B）相等关系若B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AUB（或A+B）父事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AAB（或AB）互斥事件若AAB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AAB=?对立事件若AAB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AAB=?且AUB=Q4.概率的几个基本性质概率的取值范围：OWP(A)<1.必然事件的概率P(E)=1.不可能事件的概率P(F)=0.互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.互斥事件与对立事件的概率计算公式如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).若事件A与事件~A互为对立事件，则P(A)=1—P(7A).典例剖析题型一随机事件的概念例1将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是.答案随机事件解析抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0〜10,都有可能发生，正面向上5次是随机事件.变式训练从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是.3个都是男生②至少有1个男生③3个都是女生④至少有1个女生答案②解析因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有一个男生.题型二频率与概率例2某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率mn计算表中击中10环的各个频率；这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解析(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.90.变式训练(2015陕西文)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率;（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.解析（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天,西安市不下雨的概率为P26133015.⑵称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等），这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为7,以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为-.88解题要点频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率.题型三互斥事件与对立事件概念辨析例3从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1〜10各10张）中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为，对立事件为.“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案①②②解析①是互斥事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.是互斥事件，且是对立事件.理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.不是互斥事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件.1,1,2，3，4，5，6•将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则.A与B是互斥而非对立事件A与B是对立事件B与C是互斥而非对立事件B与C是对立事件答案④解析AAB={出现点数1或3}，事件A,B不互斥更不对立；BAC=?,BUC=Q，故事件B,C是对立事件.解题要点对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件•这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.题型三利用互斥事件与对立事件求概率例4(2015天津文)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；⑵将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.⑵①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A?},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此，事件A发生的概率P(A)=豊=".155变式训练现有7名数理化成绩优秀者，其中A1,A2,A3的数学成绩优秀，B1,B2的物理成绩优秀，C1,C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C1被选中的概率；

(2)求Ai和Bi不全被选中的概率.解析(1)用M表示“Ci恰被选中”这一事件.从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).C1恰被选中有6个基本事件：(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),61因而p(m)=12=2(2)用N表示“A1,B1不全被选中”这一事件，则其对立事件"N表示“A1,B1全被选中”这事件，由于~N={A1,B1,C1,A1,B1,C2}，所以事件"n由两个基本事件组成，所1TOC\o"1-5"\h\z以p(N)=■=_以126，5由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N)=1--=5.66解题要点求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.当堂练习从三个红球，两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是答案7_答案7_10解析取出两个球的情况共有10种，不全是红球的对立事件为全为红球，其概率为所求概率为7_所求概率为7_10.2•掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确的是②A与B为对立事件②A与B为对立事件④A与C为互斥事件A与C为对立事件答案①解析依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是.对立事件②不可能事件③互斥但不对立事件④不是互斥事件答案③解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.答案5解析这两只球颜色相同的概率为丄，故两只球颜色不同的概率为1—1=-.666(2014四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由题意，(a,b,'c)所有的可能为：(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共:27种.设“抽取的卡片上的数字:满足a+b=c''为】事件A,课后作业一、填空题1下列说法:频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率卬就是事件A发生的概率；n百分率是频率，但不是概率；频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.TOC\o"1-5"\h\z其中正确的是.答案①④⑤解析由频率与概率的定义知①④⑤正确•下列说法中正确的是.某厂一批产品的次品率为1o,则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有冶愈，第10个病人就一定能治愈掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5答案④解析概率是指某一事件发生可能性的大小，根据这一定义可知，只有选项④正确.口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，TOC\o"1-5"\h\z摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为.答案0.32解析P（摸出黑球）=1—0.45—0.23=0.32.11甲、乙两人下棋，和棋的概率为2，乙获胜的概率为3则下列说法正确的是31121①甲获胜的概率是1②甲不输的概率是1③乙输了的概率是④乙不输的概率是16232答案①11解析“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P=1—土一；=16；

设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（A）11212=百+2=3（或设事件a为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，所以p（a）=1—§=3.从1,2,3,…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是.答案③解析③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1〜9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为.答案2解析从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，P=舟.37•将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率为.答案91216解析由于“至少出现一次6点向上”的对立事件是“没有一次出现6点”，故所求概率为53〃12591P=估计顾客同时购买乙和丙的概率；—(6)=—216=216.估计顾客同时购买乙和丙的概率；&在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同•现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是答案3_答案3_10解析从五个小球中任取两个共有10种，而1+2=3,2+4=6,1+5=6,取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为至.9•将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为

解析2本数学书记为数1，数2,3本书共有（数1数2语）,（数1语数2）,（数2数1语）,（数2语数1）,（语数1数2）,（语数2数1）6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4TOC\o"1-5"\h\z2种，对应的概率为P=1估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,6310•在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖•甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是•1答案1解析基本事件的总数为3X2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况,21所以两人都中奖的概率p=2=1.TOC\o"1-5"\h\z6311•甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为•答案13解析甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法.若他们选择同一种1颜色，则有3种选法，所以其对应的概率P=3=1.93二、解答题（2015北京文）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.品的情况，整理成如下统计表，其中"V”表示购买，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.商品顾客人数甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX300VXVX85VXXX98XVXX

（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+200“3⑶与⑴同理，可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为迴=顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为迴=0.2,1000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=06顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为船顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为船0.1.所以，如果顾客