高等代数-p二、线性相关性

二、线性相关性三、极大无关组一、线性组合称a3

是向量组1

,2的一个线性组合，也称a3可由向量组1

,2线性表示。

一般地，

有一、线性组合对于一组向量1

(2,-1,3,1),

2

=(4,-2,5,4),

3

=(2,-1,4,-1)根据向量的运算法则，容易看出有3

31

2即a3

可由1

,2

经线性运算得到，这时设

1

,2

,

,s

P

,n,

ks

P,k1

,

k2

,

kss和k11

k22称为向量组1

,2

,,s

的一个线性组合.若向量

可表成向量组1

,2

,,s

的一个线性组合，则称向量

可由向量组1

,2

,,s

线性表出.注：1)若

k

，也称向量与

成比例.1.线性组合定义若干个同维数的行向量（或同维数的列向量）所组成的集合叫做向量组．零向量0可由任一向量组的线性表出.一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,0),1

(1,0,

,0),

2

(0,1,,

n

(0,0,

,1)4）任一

n

维向量

(a1

,a2

,

,an

)

都是向量组1

,

2

,的一个线性组合．

a11

a2

2

an

n

.,

n也称为n

维单位向量组．,an

),皆有事实上，有对任意

(a1

,a2

,123k1

5k2

k3

2

2k1

5k2

3k3

13k

12k

6k

3

k1

2

3

11k

3k

4（1）例1

判断向量能否由向量组1

,2

,3

线性表出.若能，写出它的一个线性组合．

(2,

1,

3,4)1

(1,

2,

3,1),

2

(5,

5,12,11),

3

(1,

3,6,

3)解：设

k11

k22

k33，即有方程组对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组(1)有解．它的一般解为1

1

0

1

3A

1

5

12

52

1

11

1

5

1

2

3

10

0

0

0

03

0

0令k3

1,得(1)的一个解(1,0,1)，从而有2.向量组的等价若向量组

1

,2

,

,s

中每一个向量

i

(i

1,

2, ,

s)若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价.1

,2

,,s

可以经向量组

1

,

2

, ,

t

线性表出；皆可经向量组1

,

2

, ,

t线性表出，则称向量组1)反身性2)对称性3)传递性1

1

2

,1

21

2

,2

1

222

1

2向量组1

(1,1,1),

2

(1,

2,0)和向量组1

(1,0,

2),

2

(0,1,

1)有和所以这两个向量组等价性质向量组之间的等价关系具有：如对于一组向量组1

(2,-1,3,1),

2

=(4,-2,5,4),

3

=(2,-1,4,-1)由于3

31

2称向量组即a3

可由1

,2

线性表示，这时1

,2

,3

线性相关.二、线性相关性1、线性相关定义1：如果向量组1

,2

,,s

(s

2)中有一向量,s可经其余向量线性表出，则向量组1

,2

,称为线性相关的.注：特殊情形向量组1

,2

线性相关

1

,2

成比例.,

ks

,如果存在P

上不全为零的数k1

,

k2

,

使k11

k22

kss

0.注：在s

2

时，定义1与定义1'是等价的.,s

(s

1)

称为线性相关的，定义1：向量组1

,2

,不线性相关，则称定义2：若向量组

1

,2

,,s若不存在P

中不全为零的数k1

,

k2

,,ks

P ，使

kss

0向量组1

,2

,2、线性无关,s

为线性无关的.

即为线性无关的.k11

k22

则称向量组1

,2

,,s必有k1

k2

ks

0,换句话说，对于一个向量组

1

,2

,k11

k22

kss

0,s

,若由则称向量组1

,2

,,s例2

判断下列向量组是否线性相关.1

(1,

2,

3),

2

(2,4,6),

3

(3,5,

4)1

(1,0,0),

2

(1,1,0),

3

(1,1,1)注：单位向量组

1

,

2

,为线性无关的.,

n

为线性无关的.3、线性相关性的有关性质1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关.3）一个向量组中若部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关.线性无关的充要条件是齐次线性方程组的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.,ain

),5）向量组

i

(ai1

,ai

2

,i

1,

2, ,

s（2）

a11

x1

a21

x2

a12

x1

a22

x2

as1

xs

0as

2

xs

0ax

a

x

a

x

0

1n

1

2n

2

sn

s只有零解；向量组i

(ai1

,ai

2

,

,ain

),

i

1,

2, ,

s,线性相关线性无关，而向量组4）如果向量组1

,2

,,s,s

,

线性相关，则

可经向量组线性表出.(习题3)1

,2

,1

,2

,

,s的缩短组.6）若向量组

i

(ai1

,ai

2

,

,ain

),

i

1,

2, ,

s线性无关，则向量组也线性无关.,ain

,ai

,n1

),i

(ai1

,ai

2

,i

1,

2, ,

s,

s

常称为向量组1

,2

,的延伸组；注：向量组1

,2

,,s而1

,2

,

,s

称为

1

,

2

, ,

s也线性相关.相关，则向量组1

,2

,,s反之，若向量组

1

,2

,,

s线性7）向量组线性相关的基本性质定理定理2,

s

为两个设

1

,2

,

,r

与

1

,

2

,,

s

线性表出；,r

可经1

,2

,,r必线性相关.向量组1

,2

,r

s.则向量组1

,2

,向量组，若sj1i

1,

2, ,

ri

tij

j

,即1

t111

t122

2

t211

t222

t1s

st2

s

sr

tr11

tr

22

trs

s要证1

,2

,,r

线性相关，即证有不全为零的数k1

,

k2

,,

kr

,

使

k11

k22

k

r

r

0.证：由i)，有作线性组合

x11

x22

x

r

rx11

x22

x

r

r

x1

(t111

t122

x2

(t211

t222

t1s

s

)

t2

s

s

)

xr

(tr11

tr

22

(t11

x1

t21

x2

trs

s

)

tr1

xr

)1(t12

x1

t22

x2

tr

2

xr

)2(t1s

x1

t2

s

x2

trs

xr

)s则若能找到不全为０的x1

,x2

,,xr

，使t11

x1

t21

x2

t12

x1

t22

x2

t1s

x1

t2

s

x2

tr1

xr

0tr

2

xr

0trs

xr

0则也就使x11

x22

在方程组（3）21

122

2

t11

x1

t12

x2t

x

t

x

x

r

r

0.

t1r

x

r

0t2r

x

r

0

tx

t

x

t

x

0

s1

1

s

2

2

sr

r中，方程的个数

s＜未知量的个数r

，所以（3）有非零解.，使从而有不全为零的数x1

,x2

,,

xrx11

x22

x

r

r

0所以1

,2

,,r线性相关。,r

可经向量组

1

,

2

, ,

s推论1

若向量组1

,2

,线性表出，且1

,2

,,r

线线性无关，则r

s.推论2

任意

n＋1

个

n

维向量必线性相关.（任意m(

n)个n

维向量必线性相关.）推论3

两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量.1

,2

,由于

3

线性无关，于是有

x1

x2

0

x2

x3

0x11

x22

x33

0,即(

x1

x3

)1

(

x1

x2

)2

(

x2

x3

)3

0

x1

x3

0例2线性无关，向量已知向量组

1

,2

,3解之得x1

x2

x3

0.所以1

,2

,3线性无关.1

1

2

,

2

2

3

,

3

3

1

,证明：1

,

2

,

3

线性无关.证：设推广：例3设向量组1,2

,3

线性相关，向量组2

,3

,4线性无关，证明（1）1

能由2

,3

线性表示，（2）4

不能由1,2

,3线性表示.又3

31

2这表明1

,2

,3

线性相关.线性无关，有部分向量组1

,2极大线性无关组。则称1

,2

是

1

,2

,3对于向量组1

(2,-1,3,1),2

=(4,-2,5,4),3

=(2,-1,4,-1中，)三、极大线性无关组

秩1、极大线性无关组1)

i1

,i

2

,,ir线性无关；极大线性无关组，简称极大无关组.一个部分组

i1

,i

2

,

,ir

若满足定义,s

为Pn

中的一个向量组，它的设1

,2

,则称i1

,i

2

,,ir

为向量组1

,2

,

,s的一个2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关，i)

i1

,i

2

,,ir线性无关；极大线性无关组.一个部分组

i1

,i

2

, ,ir

若满足,s

为Pn

中的一个向量组，它的定理设1

,2

,,irii)

对任意的

j

(1

j

s)

,

j

可经

i1

,i

2

,线性表出；则i1

,i

2

,,ir

为向量组1

,2

,

,s的一个注1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.例如向量组1

(2,-1,3,1),

2

=(4,-2,5,4),

3

=(2,-1,4,-1)由于3

31

2这表明1

,2

,3线性相关.又1

,2

与

a1

,

a3

都线性无关，所以1

,2

与

a1

,

a3

都是

1

,2

,3

极大线性无关组。零向量组成的向量组没有极大无关组.一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.向量组和它的任一极大无关组等价.因此：一个向量组的任意两个极大无关组都等价，所以有：一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.含有非零向量的向量组一定有极大无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大无关组.2、向量组的秩定义

向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩.性质：1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数.2）等价向量组必有相同的秩.,s

可经向量组1

,2

,3）若向量组1

,2

,

,

t线性表出，则秩{1

,2

,,s

}秩{1

,2

,,

t

}例1

设向量组1

,2

,

的秩为r，证明1

,2

,,s

,s中任意r

个线性无关的向量都构成它的极大线性无关组.例2

设向量组1

,2

,12r的秩为r，

i

i,s

,

,

,i中每是1

,2

,

,s中r

个向量，使得1

,2

,,s是r个向量都可被它们线性表出，证明i

,i

,1

2,i1

,2

,,s

极大线性无关组.例3

已知1

,2

,,r

与1

,2

,,s

相同的秩,r

,r

1

,,s等价.证明

1

,2

,

,r与1

,2

,