初高中数学衔接教学课程讲义-第1节解不等式

原卷在前，解析在后，全部可编写！初高中连结课——不等式第一解说不等式一、知识清单【一元二次不等式的解法】1、一元二次不等式：把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的一般表达式：①ax2bxc0；②ax2bxc0；③ax2bxc0；④ax2bxc0(a0)，其中a,b,c为常数.3、一元二次不等式的解法：①将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式；②求出相应的一元二次方程的根；③利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.注意：当a0时，可将不等式两边同乘1转变为上述情况求解.别的，有时题目中会隐含这类问题的条件，如ax2bxc0的解为mxn，这时必有条件a0成立.四、例题解析【例题】解以下不等式：（1）x22x80（2）x2x60-1-原卷在前，解析在后，全部可编写！【练习】解以下不等式：（1）x2x20（2）2x23x10【例题】若0a1，则不等式1)0的解是（）(ax)(xaA、a1xaB、1xaaC、x1或xaaD、x1或xaa【练习】已知不等式x2axb0的解是2x3，求a,b的值.-2-原卷在前，解析在后，全部可编写！【练习】已知不等式：ax28x60的解集为{x|x1或xb}，求a,b的值.【练习】已知不等式2x2pxq0的解是2x1，求不等式px2qx20的解.【练习】已知mn,pq,若(pm)(pn)0且(qm)(qn)0，则m,n,p,q的大小关系为__________.-3-原卷在前，解析在后，全部可编写！【分式不等式的解法】先将分式转变为一元二次不等式（组），尔后再求解.转变方式：①fx0fxgx0;gx②fx0fxgx0;gx③fx0fxgx0;gxgx0④fx0fxgx0;gxgx0在解分式不等式时，注意先移项，使右边为零，再分解因式，进而转变求解.【例题】解以下不等式：（1）x204x（2）1x3x2（3）x2x60x24x3-4-原卷在前，解析在后，全部可编写！【练习】与不等式x30同解的不等式是（）2xA、(x3)(2x)0B、0x21C、2x0x3D、(x3)(x2)0【练习】解以下不等式：1（1）2（2）

x31x3x42【一元高次不等式的解法】一元高次不等式用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：①将不等式最高次项的系数化为正数；②将不等式分解为若干个一次因式的积或二次不可以分解的因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次经过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而但是数轴，奇次方根既穿又过数轴）；④依照曲线显示出的函数值的符号变化规律（数轴上方为正，下方为负），写出不等式的解集.【例题】解以下不等式：（1）(x1)(x2)(x3)(x4)0（2）(x1)(2x)(x3)0（3）(x12320)(x)(x)-5-原卷在前，解析在后，全部可编写！【练习】解以下不等式：（1）x1(x2)2(x3)30x23x4（2）2)(x0x(x3)【练习】解关于x的不等式：(x2x12)(xa)0.-6-原卷在前，解析在后，全部可编写！【练习】1、解以下不等式：（1）x24x30（2）3x22x50（3）x2x3x1（4）x(x9)3(x3)2、已知关于x的不等式mx2xm0的解是一的确数，求m的取值范围.3、解以下不等式：（1）21x2（2）2x10x1（3）3x122x1-7-原卷在前，解析在后，全部可编写！4、若a0,b0，则不等式b1a等价于（）xA、1x1b0或0xaB、1x1abC、x1或x1abD、x1或x1ba5、已知不等式m|x|0的解为1x1，求m的值.初高中连结课——不等式第一解说不等式一、知识清单【一元二次不等式的解法】1、一元二次不等式：把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的一般表达式：①ax2bxc0；②ax2bxc0；③ax2bxc0；④ax2bxc0(a0)，其中a,b,c为常数.-8-原卷在前，解析在后，全部可编写！3、一元二次不等式的解法：①将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式；②求出相应的一元二次方程的根；③利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.注意：当a0时，可将不等式两边同乘1转变为上述情况求解.别的，有时题目中会隐含这类问题的条件，如ax2bxc0的解为mxn，这时必有条件a0成立.四、例题解析【例题】解以下不等式：（1）x22x80（2）x2x60解析：（1）x22x80(x2)(x4)0x2或x4（2）x2x60x2x60(x2)(x3)03x2【练习】解以下不等式：（1）x2x20（2）2x23x10解析：（1）x2x20(x1)(x2)01x2（2）2x23x10(2x1)(x1)01x12【例题】若0a1，则不等式(ax)(x1)0的解是（）a-9-原卷在前，解析在后，全部可编写！B、ax1B、1xaC、x1或xaD、x1或xaaaaa解析：(ax)(x1(x10)0a)(x)aa0a1,a1axa或x1a答案：C【练习】已知不等式x2axb0的解是2x3，求a,b的值.解析：当x2时，222ab0①当x3时，323ab0②a5b6答案：a5,b6【练习】已知不等式：ax28x60的解集为{x|x1或xb}，求a,b的值.解析：由解集取两端可知，不等式必然为一元二次不等式，a0当x1时，a860,a2ax28x602x28x602x28x602x28x60x24x30(x1)(x3)0不等式的解集为{x|x1或x3}，b3答案：a2,b3-10-原卷在前，解析在后，全部可编写！【练习】已知不等式2x2pxq0的解是2x1，求不等式px2qx20的解.解析：由不等式2x2pxq0的解是2x1得：2(2)2p(2)q0p2212p1q0q4所以不等式px2qx20可写为2x24x20即x22x10120x1(x)答案：x1或x1【练习】已知mn,pq,若(pm)(pn)0且(qm)(qn)0，则m,n,p,q的大小关系为__________.解析：由(pm)(pn)0和mn可得mpn由(qm)(qn)0和mn可得mqn又因为pq结合上面的不等式可得：mpqn答案：mpqn【分式不等式的解法】先将分式转变为一元二次不等式（组），尔后再求解.转变方式：①fx0fxgx0;gx②fx0fxgx0;gx-11-原卷在前，解析在后，全部可编写！③fx0fxgx0;gxgx0④fx0fxgx0;gxgx0在解分式不等式时，注意先移项，使右边为零，再分解因式，进而转变求解.【例题】解以下不等式：（4）x204x（5）1x3x2（6）x2x60x24x3解析：（1）x20(x2)(4x)0(x24)02x44x)(x（2）1x31x301x3x604x50x2x2x2x2(x2)(4x5)0(x2)(4x5)0x或x5524x2或xx20x24x2（3）x2x60(x2x624x3)0(x2)(x3130x24x3)(x)(x)(x)(x2)(x1)(x3)20x3或3x1或x2答案：（1）2x4；（2）或5或或.；（3）2xx33x1x2x4【练习】与不等式x30同解的不等式是（）2xE、(x3)(2x)0B、0x21-12-原卷在前，解析在后，全部可编写！C、2x0D、(x3)(x2)0x3解析：原题中不等式x3等价于：20x(x3)(2x)0(x3)(x2)02x32x0x2x2x3；2A选项中，没有2x0的限制条件；B选项中，0x212x3，吻合题意；C选项中，2x0没有限制条件2x0同时多出了限制条件x30；x3D选项中，没有2x0的限制条件.答案：B【练习】解以下不等式：（3）123x（4）1x3x42解析：（1）121212x6072x03x30x3x3xx372x0(x3)(2x7)07x3或x2（2）1x31x3022x3x120145x0x42x422(x4)2(x4)2(x4)(145x)02(x4)(5x14)014x45答案：（1）x3或x714x4.2；（2）5【一元高次不等式的解法】一元高次不等式用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：-13-原卷在前，解析在后，全部可编写！①将不等式最高次项的系数化为正数；②将不等式分解为若干个一次因式的积或二次不可以分解的因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次经过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而但是数轴，奇次方根既穿又过数轴）；④依照曲线显示出的函数值的符号变化规律（数轴上方为正，下方为负），写出不等式的解集.【例题】解以下不等式：（4）(x1)(x2)(x3)(x4)0（5）(x1)(2x)(x3)0（6）(x1)(x2)(x3)20解析：（1）令(x1)(x2)(x3)(x4)0，得x11,x22,x33,x44标在数轴上，并画出图象，如图：(x1)(x2)(x3)(x4)0的解为x1或2x3或x4（2）(x1)(2x)(x3)0(x1)(x2)(x3)0，令(x1)(x2)(x3)0，得：x11,x22,x33标在数轴上，并画出图象，如图：(x1)(2x)(x3)0的解为x1或2x3（3）令(x1)(x2)(x3)20-14-原卷在前，解析在后，全部可编写！得：x11,x22,x33，标在数轴上，并画出图象，如图：(x1)(x2)(x3)20的解为x1或2x3或x3【练习】解以下不等式：（3）x1(x2)2(x3)30x23x4（4）)(x0x(x2)3解析：（1）令x1(x2)2(x3)30得：x11,x22,x33，标在数轴上，并画出图象，如图：x1(x2)2(x3)30的解为x1或x3.x23x4x23x4[()()]（2）()()00xx2x3x(x2)(x3)(x1)(x4)x(x2)(x3)0x0,x2,x3令(x1)(x4)x(x2)(x3)0，得：x13,x21,x30,x42,x54标在数轴上，并画出图象，如图：x23x40的解为x3或1x0或2x4.x(x)(x3)2【练习】解关于x的不等式：(x2x12)(xa)0.-15-原卷在前，解析在后，全部可编写！解析：(x2x12)(xa)0(x3)(x4)(xa)0令(x3)(x4)(xa)0，得：x1a,x23,x34分类谈论以下：①a3即a3时，x1x2x3标在数轴上，并画出图象可知：(x2x12)(xa)0的解为：ax3或x4；②a3即a3时，x1x2x3标在数轴上，并画出图象可知：(x2x12)(xa)0的解为：x4；③当3a4即4a3时，x2x1x3，标在数轴上，并画出图象可知：(x2x12)(xa)0的解为：3xa或x4④当a4即a4时，x2x3x1标在数轴上，并画出图象可知：(x2x12)(xa)0的解为：3x4或x4⑤当a4即a4时，x2x3x1标在数轴上，并画出图象可知：(x2x12)(xa)0的解为：3x4或xa【练习】-16-原卷在前，解析在后，全部可编写！2、解以下不等式：（5）x24x30（6）3x22x50（7）x2x3x1（8）x(x9)3(x3)解析：（1）x24x30(x130x13)(x)或x（2）3x22x503x22x501x53（）x2x31x22x10x120x13x（4）x(x9)33x29x3x9x26x90(x3)20x3(x)答案：（1）x1或x3（2）1x5（3）x1（4）x334、已知关于x的不等式mx2xm0的解是一的确数，求m的取值范围.解析：谈论：当m0时，不等式变为x0x0，不吻合题意；当m0时，函数图象向上，总会有一部分图象在x轴的上方，不吻合题意；当m0时，二次函数张口方向朝下，需保证0，才能吻合题意，14m20,m1或m1(舍)22答案：m125、解以下不等式：2（4）1x2-17-原卷在前，解析在后，全部可编写！（5）2x10x1（6）3x122x1解析：（1）222x2x4x21100x0x2x22(x4)(x2)0x4或x2(2x)(x)0x1或x1（2）2x10112x1或x1x1x10x12（3）3x123x1203x14x20x302x12x12x12x1x30(x3)(2x1)0x1或x32x12x30(x3)(2x1)0x1或x32x12答案：（1）