知识点196反比例函数的图象的对称性(选择题)

一、选择题（共30小题）1、（2010深圳）以下列图，点

P（3a，a）是反比率函数

y=

（k＞0）与⊙O

的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比率函数的解析式为（

）A、y=B、y=C、y=D、y=考点：反比率函数图象的对称性。专题：转变思想。解析：依照P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再依照圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，进而得出反比率函数的解析式．解答：解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为

圆面积，则圆的面积为10π×4=40．π由于P（3a，a）在第一象限，则

a＞0，3a＞0，依照勾股定理，

OP=

=

a．于是π

=40π，a=±2，（负值舍去），故

a=2．P点坐标为（

6，2）．将P（6，2）代入y=，得：k=6×2=12．反比率函数解析式为：y=．应选D．议论：此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．2、（2010江西）如图，反比率函数图象的对称轴的条数是（）A、0B、1C、2D、3考点：反比率函数图象的对称性。解析：任意一个反比率函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．解答：解：沿直线y=x或y=﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完好重合，所以对称轴有2条．应选C．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完好重合，这个图形是轴对称图形，重点是找到相应的对称轴．3、（2009乌鲁木齐）如图，正比率函数y=mx与反比率函数y=（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（）A、（﹣2，﹣4）B、（﹣2，﹣1）C、（﹣1，﹣2）D、（﹣4，﹣2）考点：反比率函数图象的对称性。解析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则依照对称性即可获取B点坐标．解答：解：∵正比率函数y=mx与反比率函数y=的两交点A、B关于原点对称，∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．应选C．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性．函数知识的观察是每年中考必考知识，解决这类题目重点是平时要多积累规律．4、（2009贵阳）已知正比率函数y=2x与反比率函数y=的图象订交于A，B两点，若A点的坐标为（1，2），则B点的坐标为（）A、（1，﹣2）B、（﹣1，2）C、（﹣1，﹣2）D、（2，1）考点：反比率函数图象的对称性。解析：解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可．解答：解：由已知可得，解这个方程组得，x1=1，x2=﹣1，则得y1=2，y2=﹣2，则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2），由于已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）．应选C．议论：正比率函数与反比率函数的交点关于原点对称，同学们要熟记才能灵便运用．5、（2008临沂）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（）A、﹣8B、4C、﹣4D、0考点：反比率函数图象的对称性。解析：依照直线y=kx（k＞0）与双曲线y=两交点A，B关于原点对称，求出y1=﹣y2，y2=﹣y1，代入解析式即可解答．解答：解：将y=化为xy=2，将A（x11），B（x22）分别代入1122，y，yxy=2，得xy=2，xy=2．由于y1和y2互为相反数，所以y1=﹣y2，y2=﹣y1．则x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣（x1y1+x2y2）=﹣（2+2）=﹣4．应选C．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵便运用．6、（2007黔东南州）已知正比率函数y=k1x（k1≠0）与反比率函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（）A、（2，1）B、（﹣2，﹣1）C、（﹣2，1）D、（2，﹣1）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：依照关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．解答：解：∵反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是（2，1）．应选A．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵便运用．7、（2007淮安）关于函数的图象，以下说法错误的选项是（）A、经过点（1，﹣1）B、在第二象限内，y随x的增大而增大C、是轴对称图形，且对称轴是y轴D、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点考点：反比率函数图象的对称性。解析：依照反比率函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．解答：解：A、把点（1，﹣1）代入函数y=﹣得﹣1=﹣1，正确．B、∵k=﹣1＜0，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，正确；C、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点，但不是轴对称，错误；D、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点，正确．应选C．议论：此题主要观察反比率函数的性质，熟练掌握其性质是解题的重点．8、（2006威海）如图，过原点的一条直线与反比率函数y=（k≠0）的图象分别交于A，B两点．若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（）A、（a，b）C、（﹣b，﹣a）

B、（b，a）D、（﹣a，﹣b）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则依照对称性即可获取B点坐标．解答：解：依照图象，A、B两点关于原点对称．A点的坐标为（a，b），则B点坐标为（﹣a，﹣b）．应选D．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性，解决这类题目的重点是掌握两点的对称中心为原点．9、（2006南通）如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣订交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为（）A、﹣10B、﹣5C、5D、10考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：由反比率函数图象上点的坐标特点，两交点坐标关于原点对称，故x1=﹣x2，y1=﹣y2，再代入x1y2﹣3x2y1，由k=xy得出答案．解答：解：由图象可知点A（x1，y1）B（x2，y2）关于原点对称，即x1=﹣x2，y1=﹣y2，把A（x1111，y）代入双曲线y=﹣得xy=﹣5，则原式=x1y2﹣3x2y1，=﹣x1y1+3x1y1，=5﹣15，=﹣10．应选A．议论：此题观察了正比率函数与反比率函数交点坐标的性质，即两交点坐标关于原点对称．10、（2006

贵港）已知正比率函数

y=kx

的图象与反比率函数

的图象的一个交点坐标是（

1，3），则另一个交点的坐标是（

）A、（﹣1，﹣3）C、（﹣1，﹣2）

B、（﹣3，﹣1）D、（﹣2，﹣3）考点：反比率函数图象的对称性。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：依照中心对称的性质可知另一个交点的坐标是（﹣1，﹣3）．应选A．议论：此题观察反比率函数图象的中心对称性，较为简单，简单掌握．11、（2005宿迁）如图，直线y=2x与双曲线y=的图象的一个交点坐标为（2，4），则它们的另一个交点坐标是（）A、（﹣2，﹣4）C、（﹣4，﹣2）

B、（﹣2，4）D、（2，﹣4）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：由于反比率函数是中心对称图形，

所以正比率函数

y=2x与反比率函数

y=

的两交点

A、B关于原点对称．又由于点（2，4）关于原点对称点的坐标为（﹣2，﹣4）．应选A．议论：此题观察反比率函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．12、如图，直线

y=﹣2x与双曲线

y=

订交于

A、B两点，点

A坐标为（﹣

1，2），则点

B坐标为（

）A、（1，﹣2）C、（﹣2，1）

B、（2，﹣1）D、（﹣1，﹣2）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：由于点A和点B关于原点对称，点A坐标为（﹣1，2），则点B坐标为（1，﹣2）．应选A．议论：此题观察反比率函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．13、如图，直线y=mx与双曲线的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为（）A、（2，3）C、（﹣3，﹣2）

B、（﹣2，3）D、（﹣4，﹣3）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：由于直线y=mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，A的坐标为（3，2），另一个交点B的坐标为（﹣3，﹣2）．应选C．议论：此题观察了函数交点的对称性，经过数形结合和中心对称的定义很简单解决．14、反比率函数y=的图象是双曲线，它的对称轴有（）条．A、4B、2C、1D、0考点：反比率函数图象的对称性。解析：任意一个反比率函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．解答：解：反比率函数y=的图象是双曲线，它的对称轴有2条，分别为一、三象限角均分线和二、四象限角平分线．应选B．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性质：任何一个反比率函数都有两条对称轴，分别为一、三象限角均分线和二、四象限角均分线．15、正比率函数与反比率函数的图象订交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（）A、（﹣3，﹣2）B、（﹣3，2）C、（﹣2，﹣3）D、（2，3）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：解由两个函数解析式组成的方程组可求交点坐标．解答：解：解方程组得，．由于点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（﹣3，﹣2）．应选A．议论：求函数图象的交点坐标，只需解由两个函数解析式组成的方程组即可．16、如图，有反比率函数，的图象和一个圆，则S阴影=（）A、πB、2πC、3πD、无法确定考点：反比率函数图象的对称性。解析：依照两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转变成半圆的面积来解．解答：解：由于反比率函数，的图象关于y轴对称，圆也是关于y轴对称，2阴影部分的面积为半圆的面积即S=×2π=2π．应选B．议论：解答此题不但要熟悉函数图象的特点，还要依照圆的对称性及面积公式．17、正比率函数

y=k1x（k1≠0）和反比率函数

y=

（k2≠0）的一个交点为（

m，n），则另一个交点为（

）A、（﹣m，﹣n）C、（m，﹣n）

B、（﹣m，n）D、（m，n）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：由于反比率函数的图象为中心对称图形，则其与过原点的直线的交点（m，n）也关于原点对称，故另一个交点为（﹣m，﹣n）．应选A．议论：此题观察反比率函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称，较为简单．18、已知函数

y=

与y=k2x的图象交点是（﹣

2，5），则它们的另一个交点是（

）A、（2，﹣5）C、（﹣2，﹣5）

B、（5，﹣2）D、（2，5）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：已知函数y=与y=k2x的图象的一个交点是（﹣2，5），依照反比率函数与过原点的直线的两个交点关于原点对称，则它们的另一个交点是（2，﹣5）．应选A．议论：此题观察反比率函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．19、一条直线与双曲线

的交点是

A（a，4），B（﹣1，b），则这条直线的关系式为（

）A、y=4x﹣3

B、C、y=4x+3

D、y=﹣4x﹣3考点：反比率函数图象的对称性；待定系数法求一次函数解析式。专题：待定系数法。解析：将A、B的坐标代入反比率函数解析式即可求出a、b

的值，再依照

A、B的坐标求出直线解析式即可．解答：解：将

A（a，4），B（﹣1，b）代入

y=

得，4=

，a=

；b=

=﹣1；所以

A、B的坐标为（

，4），（﹣1，﹣1）．设过A、B两点的解析式为y=kx+b，将（，4），（﹣1，﹣1）分别代入解析式得，，解得，直线的关系式为y=4x+3．应选C．议论：此题不但观察了反比率函数和一次函数图象上点的坐标特点，还观察了用待定系数法求函数解析式，综合性较强．20、反比率函数

y=

的图象是轴对称图形，它的一条对称轴是以下哪个正比率函数的图象（

）A、y=|k|x

B、y=﹣kxC、y=kx

D、y=

x考点：反比率函数图象的对称性。解析：反比率函数的图象关于y=x或y=﹣x对称，找到经过变形后可得这两条对称轴的选项即可．解答：解：ABC选项均不是y=x或y=﹣x；D选项中，当k＞0时，y=﹣x；当k＜0时，y=x，吻合题意，应选D．议论：用到的知识点为：反比率函数的图象关于直线

y=x或

y=﹣x对称．21、反比率函数

y=

（k≠0）的图象双曲线是（

）A、是轴对称图形，而不是中心对称图形

B、是中心对称图形，而不是轴对称图形C、既是轴对称图形，又是中心对称图形

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形考点：反比率函数图象的对称性。解析：依照反比率函数y=（k≠0）的图象既是轴对称图形又是中心对称图形解答．解答：解：（1）当

k＞0时，反比率函数

y=

（k≠0）的图象在一、三象限，其对称轴是直线

y=x，对称中心是原点；（2）当

k＜0时，反比率函数

y=

（k≠0）的图象在二、四象限，其对称轴是直线

y=﹣x，对称中心是原点．应选C．议论：此题观察了反比率函数的图象的对称性质，重点是注意轴对称和中心对称的差异．22、反比率函数

y=

的图象是轴对称图形，它的对称轴的表达式是（

）A、y=x

B、y=﹣xC、y=x，y=﹣x

D、无法确定考点：反比率函数图象的对称性；轴对称图形。解析：依照反比率函数图象为轴对称图形，并且有两条对称轴进行解答．解答：解：反比率函数的图象是双曲线，且其为轴对称图形，关于直线y=x和y=﹣x对称．应选C．议论：此题观察的是反比率函数图象的对称性，反比率函数图象是双曲线，图象关于直线y=x和y=﹣x对称．23、若一个正比率函数的图象与一个反比率函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（A、（2，3）B、（3，2）C、（﹣2，3）D、（﹣2，﹣3）

）考点：反比率函数图象的对称性。专题：函数思想。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：∵反比率函数的图象与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．应选D．议论：此题主要观察了反比率函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．24、正比率函数y=2x和反比率函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（）A、（﹣1，﹣2）B、（﹣2，﹣1）C、（1，2）D、（2，1）考点：反比率函数图象的对称性。专题：函数思想。解析：依照反比率函数的关于原点对称的性质知，正比率函数y=2x和反比率函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．解答：解：∵正比率函数y=2x和反比率函数的一个交点为（1，2），∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．应选A．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．25、如图，A、B是双曲线上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（）A、S=1C、S=2

B、1＜S＜2D、S＞2考点：反比率函数图象的对称性；反比率函数系数解析：依照过双曲线上任意一点与原点所连的线段、

k的几何意义。坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积

S=|k|可知，S△AOC=S△BOD=|k|，再依照反比率函数的对称性可知，

O为

DC中点，则

S△AOD=S△AOC=|k|，S△BOC=S△BOD=|k|，进而求出四边形ADBC的面积．解答：解：∵A，B是函数y=的图象上关于原点

O对称的任意两点，且

AC平行于

y轴，BD平行于

y轴，S△AOC=S△BOD=，假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），则OC=OD=x，S△AOD=S△AOC=，S△BOC=S△BOD=，四边形ABCD面积=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=×4=2．应选C．议论：此题主要观察了反比率函数中比率系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=|k|．26、如图，过原点的一条直线与反比率函数（k≠0）的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为（3，﹣5），则B点的坐标为（）A、（3，﹣5）C、（﹣3，+5）

B、（﹣5，3）D、（+3，﹣5）考点：反比率函数图象的对称性。专题：函数思想。解析：依照关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．解答：解：∵反比率函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是（﹣3，+5）．应选C．议论：此题观察了反比率函数图象的对称性．反比率函数的图象关于原点对称．27、如图，双曲线与直线y=mx订交于A、B两点，A点坐标为（2，3），则B点坐标为（）A、（﹣2，﹣3）C、（﹣3，﹣2）

B、（﹣3，2）D、（2，﹣3）考点：反比率函数图象的对称性。专题：函数思想。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：∵点A（2，3）与B关于原点对称，B点的坐标为（﹣2，﹣3）．应选A．议论：此题主要观察了反比率函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．28、如图，双曲线y=与直线y=mx订交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（）A、（﹣2，﹣3）C、（﹣2，3）

B、（2，3）D、（2，﹣3）考点：反比率函数图象的对称性。专题：计算题。解析：反比率函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点必然关于原点对称．解答：解：∵点A与B关于原点对称，A点的坐标为（2，3）．应选B．议论：此题主要观察了反比率函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．29、已知点P（x，y）满足，则经过点P的反比率函数y=的图象经过（）A、第一、二象限B、第三、四象限C、第一、三象限D、第二、四象限考点：