高中数学考点16正弦定理和余弦定理(含2014高考试题)-7394

学必求其心得，业必贵于专精考点16正弦定理和余弦定理一、选择题1。（2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4）钝角三角形ABC的面积是1,AB=1，BC=2,2则AC=()A.5B。5C.2D.1【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,尔后结合条件,利用余弦定理，求得AC。【剖析】选B.由于S=1112，△ABC2222所以B=4或3.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形，不吻合题意,舍去.44（2）所以B=3,使用余弦定理,b2=a2+c2—2accosB，解得b=5.应选B.4二、填空题2。（2014·湖北高考文科·T13）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知A=π，6a=1,b=3，则B=.【剖析】依题意，由正弦定理知1=3，得出sinB=3。由于0<B〈π，sinsinB26所以B=或2.33答案:或

233【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角，所以由sinB=3获取两个结2果:B=或2.本题的易错点是遗漏其中一个。333。（2014·广东高考理科）在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a,b，c,已知bcosC+ccosB=2b，则a=.b【剖析】方法一：由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin（B+C）=2sinB，sin(π-A）=2sinB,有sinA=2sinB，再由正弦定理得a=2b，a=2.b1学必求其心得，业必贵于专精方法二:如图,作AD⊥BC于点D，a则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b，即=2。答案：2accosBbcosC,【创新提示】熟用三角形射影定理bacosCccosA,可迅速得解。cacosBbcosA4。（2014·福建高考文科·Ｔ14)14．在ABC中，A60,AC2,BC3,则AB等于_________【解题指南】直接应用余弦定理求解。【剖析】由余弦定理BC2AB2AC22ABACcosA，得3AB2422ABcos60,即AB22AB10，解得AB1．答案：1．5。（2014·福建高考理科·Ｔ12)在ABC中，A60,AC4,BC23，则ABC的面积等于_________【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。【剖析】由题，BC2AB2AC22ABACcosA，即12AB21624AB1，解得AB2,所以S1ABACsinA23．22【答案】236。（2014·山东高考理科·Ｔ12）在ABC中，已知ABACtanA，当A时，ABC的面积为.6【解题指南】本题观察了平面向量的数量积及三角形的面积公式，先利用数量积的定义写出等式,再利用面积公式求出三角形面积。【剖析】由已知及平面向量数量积的定义可得ABACABACcosAtanA，tanAtan26所以ABAC，cosAcos362学必求其心得，业必贵于专精所以SABC1ABACsinA12sin122366答案：167。(2014·天津高考理科·Ｔ12）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bc1a，2sinB3sinC，则cosA的值为_______.43c【剖析】由于2sinB3sinC，所以2b3c，解得b，a2c.2所以cosAb2c2a21。2bc4【答案】14三、解答题8。（2014·湖南高考理科·Ｔ18)（本小题满分12分）如图5，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.(1)求cosCAD的值；(2）若cos7,sinCBA21BAD,求BC的长．146【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。【剖析】（1）如图5，在ADC中，由余弦定理，得AC2AD2CD2cosCAD2ACAD由题设知,cosCAD71427.277（2）如图5，设BACa,则aBADCAD.由于cosCAD27,cosBAD7,所以7143学必求其心得，业必贵于专精sinCAD1cos2CAD1(27)221,77sinBAD1cos2BAD1(7)2321.1414于是sinasin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD32127(7)213.1471472在ABC中,由正弦定理得，BCAC.sinasinCBAACsina7323.故BCCBAsin216（2014·浙江高考文科·Ｔ18）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已4sin2AB4sinAsinB22知21）求角C的大小；（2）已知b4，ABC的面积为6，求边长c的值【剖析】(1）由于sin2AB1cos(AB)22，4sin2AB4sinAsinB所以2=22cos(AB)4sinAsinB22(cosAcosBsinAsinB)22cos(AB)=2+2cosC=2+2cosC2C所以2，4。SABC112absinCa46（2）由正弦定理知，2224学必求其心得，业必贵于专精所以a32；2222由余弦定理知，c2a2b22abcosC，所以c(32)423242=10,所以c10所以当b4，ABC的面积为6时，边长c的值为10.10。（2014·浙江高考理科·Ｔ18）(本题满分14分）在ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，已知ab，c3，cos2Acos2B3sinAcosA3sinBcosB.(1）求角C的大小；sinA4,（2)若5求ABC的面积.1cos2A1cos2B3sin2A3sin2B【剖析】(1）由题意得,22223sin2A1cos2A3sin2B1cos2B所以2222sin(2A)sin(2B)即66由ab，得AB，又AB(0,)，得(2A)(2B)AB2C63,即6，所以3c3,sinA4,aca8(2）由5sinAsinC，得5cosA35,由a＜c，得A＜C，从而所以sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC5学必求其心得，业必贵于专精4133433525210S1184338318acsinB2531025所以,ABC的面积为211.(2014·辽宁高考理科·Ｔ17)（2014·辽宁高考文科·Ｔ17）在ABC中，内角A，B,CcosB

1的对边a，b，c,且ac，已知BABC2，3，b3,求：(1)a和c的值；（2）cos(BC)的值.cosB1【剖析】（1）由BABC3得BABCcacosB2，所以ac6；2，又由b3及余弦定理得b2a2c22accosB，所以a2c213结合ac，解得a3,c2a2b2c27sinC242(Ⅱ）由a3,b3,ccosC2ab1cosC92得9，cosB1sinB1cos2B22由3得9;cos(BC)cosBcosCsinBsinC17224223393927所以12。(2014·山东高考文科·Ｔ17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a3,cosA6,BA.32（Ⅰ)求b的值；（Ⅱ）求ABC的面积。【解题指南】(1）本题先求出sinA，再利用A，B之间的关系求出sinB,尔后用正弦定理求出b.（2)本题可利用余弦定理求出c，再利用三角形面积公式求出三角形面积。【剖析】：（Ⅰ）由题意知：sinA1cos2A3，36学必求其心得，业必贵于专精sinBsinA2sinAcoscosAsincosA6，223由正弦定理得:abbasinB2sinAsinB3sinA(Ⅱ)由余弦定理得：cosAb2c2a26243c90c13,c233,2bcc3又由于BA为钝角,所以bc，即c3,2所以SABC1acsinB32.2213。(2014·陕西高考文科·T16）(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。(1）若a，b，c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin（A+C)。2）若a,b，c成等比数列,且c=2a,求cosB的值。【解题指南】(1）先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转变成角的形式从而得证；（2)利用等比数列得三边关系,再结合所给条件用余弦定理求cosB的值.【剖析】(1）由于a，b，c成等差数列，所以a+c=2b。由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.由于sinB=sin[π—（A+C)］=sin（A+C),sinA+sinC=2sin(A+C）。(2)由于a，b，c成等比数列，所以b2=ac，又c=2a,所以b=a.由余弦定理得cosB===。14。(2014·陕西高考理科·T16）(本小题满分12分)△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c.若a,b,c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin(A+C）.(2）若a,b，c成等比数列,求cosB的最小值。【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转变成角的形式从而得证.(2）利用余弦定理及基本不等式解决最值问题，注意取最值的条件须注明.【剖析】(1）由于a,b,c成等差数列,所以a+c=2b。由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.由于sinB=sin［π-（A+C）］=sin（A+C),sinA+sinC=2sin。（2)由于a，b,c成等比数列,所以b2=ac.7学必求其心得，业必贵于专精由余弦定理得cosB==≥=。当且仅当a=c时等号成立。所以cosB的最小值为。15。（2014·天津高考文科·Ｔ16）（本小题满分13分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ac6b，6sinB6sinC（1）求cosA的值;（2）求cos(2A)的值。6【剖析】(1)在△ABC中,由b=c.及sinB=6sinC，可得b=6c,sinBsinC又由a-c=6b，有a=2c.6所以cosA=b2c2a2=6c2c24c2=6.2bc26c24（2)在△ABC中,由cosA=6,4可得sinA=10.4于是cos2A=2cos2A-1=-1,sin2A=2sinA·cosA=15。44所以cos2A=cos2Acos+sin2Asinπ=153.666816。（2014·安徽高考文科·Ｔ16)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b3,c1，ABC的面积为2,求cosA与a的值.【解题提示】依照三角函数的基本公式及正、余弦定理解答.【剖析】（1）有三角形面积公式,得131.sinA2sinA22，238学必求其心得，业必贵于专精由于sin2A+cos2A1，所以cosA1sin2A1，3（1）当cosA1a2=c2+b2-2bccosA32121318，所以时，由余弦定理得33a22。（2）当cosA-1时,由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA321213（-1）123317。（2014·安徽高考理科·Ｔ16）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b3,c1,A2B.（1）求a的值；（2）求sin(A)的值.4【解题提示】依照三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【剖析】(1）由于A=2B，所以sinAsin2B2sinBcosB,由正、余弦定理得a2b.a2c2b2，由于b=3，c=1，所以a212a23。2ac（3）由余弦定理得cosAb2c2a2=9+1-121，由于0A，所以2bc6=-3sinA=1-cos2A22，故sin（A）=sinAcoscosAsin=4-23444618。(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T17)（本小题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3,CD=DA=2。1)求C和BD.2）求四边形ABCD的面积。【解题提示】(1）画出图形，结合图形利用余弦定理求解.2)利用S□ABCD=S△ABD+S△BCD求解。【剖析】(1)设x=BD，分别在△ABD，△BCD中,对角14x2A,C用余弦定理,则cosA=2，2cosC=94x2.由于A+C=π，所以cosA+cosC=0,