曲线拟合问题最常用的解法

曲线拟合问题最常用的解~线性最小二^法的基本思路第一步:先选定一组函数rj(x),F2(x),...rm(x),m<n,今f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+・・・+ainrI11(x)其中气地,…丹皿为待定系敷。第二步：确定apa2,...am的准则(最小二M则)：使n个点(气的)与曲线y=f(x)的距离⑶的平方和最小.J(a,。，•••[)=E52=E[/(x)-y]212miii记i=li=l二£[尤[,(x)—y]2(2)kkiii=lk=l问题归结为，求apa2,使J(a°a2,…a^)最小。线性最小S法的求解:预音知识超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组ra+raHra=y即Ra=y111122Imm1(n>即Ra=yra-\-rara=ynl1rz22nmmn其中&=rii••♦r•••12•・••••rim•••,a=ai••，y=•rL711r…nlrnm」am」yn超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量a使得(ra+ra+•••+ra-y)2达到最小，则称a为上述超定方zl1z22immii=l程的最小二乘解。线性最小二乘法的求解所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。Ra=y(3)其中&=,3)…iir(x)m1,a=ai.••，y=yi•..r{x)…L1nr(x)mnamyn定理：当rTr可逆时，超定方程组(3)存在最小二乘解，且即为方程组RTRa=RTy

的解：a=(RTR)-1RTy线性最小二乘拟合f(x)=a]r](x)+^+amrm(x)中函数｛ri(x),...rm(x)｝的选取通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；将数据(x.,y.)i=1,…n作图，通过直观判断确定f(x):用MATLAB作线性最小二乘拟合1.作多项式f(x)=a1xm+_+amx+am+1拟合可利用已有程序:a=polyfit(x.y.mjL\f输出拟合多项式系数An*残gJ(数组))输入同长度的数组X，¥拟合多项式次数¥■对超定方程组R响。心:(m<听，用但=R\y可得最小二乘意义下的解，3-多项式在乂处的值Y可用以下命令计算,

y^polyval(a,x)例对下面一组数据作二次多项式拟合xi0.10.20.40.50.60.70.80.91yi1.9783.286.167.347.669.589.489.3011.2即要求出二次多项式:

中的A=(a,a,a)使得[f(x)-y]2最小123iii=1xxiix21)此时R=解法1.用解超定方程的方法x2v11输入以下命令：xxiix21)此时R=x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.A2)*x'ones(11,1)]；A=R\y'计算结果：A=-9.810820.1293-0.0317f(x)=—9.8108x2+20.1293x-0.0317解法2.用多项式拟合的命令输入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出数据点和拟合曲线的图形计算结果：A=-9.810820.1293-0.0317f(x)=—9.8108x2+20.1293x—0.0317用MATLAB作耳圈性最小二乘拟合Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：Isqcurvefit和Isqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定义函数f(x),但两者定义f(x)的方式是不同的，可参考例题.1.lsqcurvefit已知数据点：xdata=(xdata],xdata?,.…，xdatan),ydata=(ydata,ydata2，…，ydatan)lsqcurvefit用以求含参量*(向量)的向量值函数TF(x,xdata)=(F(x,xdata]),…，F(x,xdatan))中的参变量x(向量)，使得„2咒(F(x,xdata)—ydata)最小iii=1

输入格式为：x=Isqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’)；[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,...);[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,...);[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,...);2.Isqnonlin已知数据点：xdata=(xdata],xdata。，…，xdataQydata=Cydataj,ydata2,…，ydatan)中的参量x,Isqnonlin用以求含参量又(向量)的向量值函数f(x)=(f](x)f2(x)，…,fn(x))T使得fT(x)f(x)=f^(x)2+f2(x)2+..•+fn(x)中的参量x,其中fi(x)=fCx,xdatapydatap=F(x,xdatap-ydatai输入格式为：1)x=lsqnonlin(‘fun’，x0)；x=Isqnonlin(‘fun’，x0,op