嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制

嫦娥三号软着陆轨道计与最优控制摘要月球软着陆是月球探测中的一项关键技术娥三号采用自环月轨道开始的软着陆方案嫦娥三号在高速飞行的情况下要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆关键问题是着陆轨道与控制策略的设计如何设计一条最优的软着陆轨道采用最优的控制策略使得嫦娥三号不仅能够安全准确降落到预定降落点，而且使发动机消耗的燃料最少，是一个极具挑战的研究课题和任务。对于问题1本文采用经典二体问题的矢量解法并结合月心赤道惯性系求解得到了嫦娥三号在椭圆环月轨道上近月点和远月点的位置、速度和方向。处理问题2依据软着陆各个阶段的具体情况通过分别建立各个阶段的动力学模型来确定着陆轨道在动力下降段建立了均匀球体三维动力学模型和月心惯性系下软着陆动力学模型在垂直下降段的接近段建立了平面月球二维动力学模型在垂直下降段的着陆段建立了垂直动力学模型为了最优控制嫦娥三号准确安全降落到预定点并且消耗燃料最少在软着陆的个阶段分别进行优化控制得到最优变轨时发动机点火和关车的最佳位置以及推力方向的最优控制律。如进入霍曼转移轨道后，关闭发动机，利用月球引力飞行；根据庞特里亚金极大值原理给出耗燃最优控制律确定在动力下降段的最优推力并优化着陆轨道在垂直下降段分别对嫦娥三号在和100m摄到的数字高程图中各个像素进行统计分析求出数字高程图中区域的统计分布情况嫦娥三号以此为依据进行分析，调整位置，选择高程在米左右的区域进行软着陆。处理问题3，由于机动点处的速度和位置的微小变化会对轨道产生影响，而在月球软着陆主制动段响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差此建立了初始条件误差模型和导航与控制传感器误差模型进行敏感度和误差分析表明发动机关机时的速度变化时目标半径将变化非常巨大，同样发动机关机时的半径的变化同样会产生巨大的误差因此在任务发射阶段极有可能存在的微小误差必须在嫦娥三号沿着椭圆轨道飞行时通过中途机动进行纠正。关键词：娥三号软着陆动力学模型

庞特里亚金极大值原理1问题的景在月面着陆可分为硬着陆和软着陆硬着陆对月速度不受限制探测器撞上月球后设备会损坏只能在接近月球的过程中传回月面信息软着陆对月速度比较小测器着陆后设备不被损坏以探测器着陆后可以继续在月面进行考察，因此相较于硬着陆，软着陆更具有实际使用价值和意义。月球软着陆大致可以分为两种方式一种是直接着陆方式另一种是经过环月轨道的着陆方式。直接着陆方式仅要求单冲量制动着落所需的速度增量较小，可以多运送一些有效载荷而经过环月轨道的着陆方式需要双冲量制动着（环月轨道射入和软着陆与直接软着陆方式相比，自环月轨道开始的软着陆方案具有较长的软着陆准备时间可选择更大的着陆区域可减少着陆舱部分的燃料消耗等优点因此成为二十一世纪各航天大国进行月球探测普遍采用的着陆方式。嫦娥三号于2013122130成功发射与月6日抵达月球轨道嫦娥三号采用自环月轨道开始的软着陆方案为了在月球表面具有科学价值的区域进行软着陆探测和取样望嫦娥三号能够在一些地形复杂区域安全着陆，这就要求嫦娥三号具有精确的着陆能力；另外，由于月球没有大气，嫦娥三号着陆时无法利用大气制动只能利用制动发动机来减速减少嫦娥三号在下降过程中的燃料消耗对精确着陆任务来说也是至关重要因此如何设计一条最优的软着陆轨道采用最优的控制策略使得嫦娥三号不仅能够安全准确降落到预定降落点且使发动机消的燃料最少一个极具挑战的研究课题和任务。2问题的出和重述嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。着陆轨道设计的基本要求：（1）着陆准备轨道为近月点，远月点100km椭圆形轨道；（2）着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（着陆准备轨道，主减速段，快速调整段，粗避障段，精避障段，缓速下降阶段要求满足每个阶段在关键点所处的状态；（3）尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据着陆轨道设计的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。3问题的述和分析嫦娥三号软着陆的任务过程如图1所示着陆轨道为从月点至着陆点（44.12N，海拔为-远月

月球

段15km近月点环月图1嫦娥三号软着陆的任务过程按经环月轨道的着陆方式娥三号软着陆的任务过程可分为如图所示的3阶段：霍曼转移段、动力下降段和垂直下降段。按照设计的具体方案嫦娥三号软着陆过程又可以分为6个阶段陆准备轨道、主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降阶段。霍曼转移动力下降

15km姿态调整垂直下降着陆图软陆阶段示意图

月面3.1霍曼转移段嫦娥三号在接近月球后将姿态调整为底部朝向前进方向后底部主发动机点火，通过反作用力实现减速。被月球引力捕获后，进入距月高度的圆形环月轨道在这个月球停泊轨道上飞行根据预先选定的着陆位置在圆轨道上运行数圈后再次减速，经过霍曼变轨，进入100km×15km的椭圆形环月轨道，即从停泊轨道变轨到近地点在月球表面15公里、远月点在停泊轨道上的椭圆轨道上。3.2动力下降段在近月点制动火箭点火工作用以抵消嫦娥三号的初始速度所带燃料的大部分将用于此阶段。该阶段为主减速段。主减速段的区间是距离月15km到。该阶段是动力下降段，主要任务是减速，15km度近月点时发动机点火减速，用于抵消嫦娥三号的初始速度沿着一条抛物线向月面落下去从而将嫦娥三号的速度从15km度近月点的1.7km/s到距离月面3里处的。3.3垂直下降段在嫦娥三号水平速度将为0m/s后，调整姿态使其保持垂直向下软着陆到月面。该阶段具体又包括以下4个阶段。1、快速调段快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面到处将水平速度减为即将嫦娥三号的姿态调整为垂直，底部朝上，主发动机保持工作，使主减速发动机的推力竖直向下，以悬停姿态向月面，缓慢降落，之后进入粗避障阶段。2、粗避障粗避障段的范围是距离月面到100m区间主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m悬停，并初步确定落月地点。嫦娥三号在距离月面处对正下方月面错误！未找到引用源×2300m的范围进行拍照获得数字高程并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。3、精避障精细避障段的区间是距离月面100m要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。分析三维数字高程图避开较大的陨石坑确定最佳着陆地点实现在着陆点上方30m处水平方向速度为4、缓速下阶段缓速下降阶段的区间是距离月面到该阶段的主要任务控制嫦娥三号在距离月面4m处的速度为即实现在距离月处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确落月点。4模型假和变量符号说明4.1嫦娥三号除自身推力外只受重力影响，不考虑科氏加速度。忽略月球的自转；月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素忽略不计；计算近月点和远月点的速度不考虑其他天体对嫦娥三号的万有引力；5在对嫦娥三号进行轨道估计时认为作用其上的所有外力都通过其质心；6、嫦娥三的运动都是在真空中进行的；假设嫦娥三号在一个固定的铅垂面内运动，没有考虑侧向运动；嫦娥三号观测数据精准。4.2表变符说明符号Rer

含义月球引力参数月球平均半径角动量偏心率远地点半径r

p

近地点半径v

远月点速度

p

近月点速度

L

嫦娥三号的赤径

着陆点赤经制动力的开关量嫦娥三号经过的月心角横向月心角

月球表面的重力加速度5问题1的求解5.1月心赤道惯性系为了确定近月点和远月点的位置，建立月心赤道惯性系。月心赤道惯性OXYZ的定义为：原O位于月球中心，XY平面在月球赤道平面内，其中X轴指向J2000平春分点在月球赤道上的投影，轴指向月球北极，Y轴与X和Z轴构成直角坐标系。嫦娥三号在空间中的位置（例如近月点和远月点）可由直角坐标(,y,z来表示，或者(r嫦娥三号的距离。

表示成球坐标的形式r为从月心到Z近月点拱线远月点图月赤道惯性系示意图

X5.2近月点和远月点的位置首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论：软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内。月心赤道惯性系下的嫦娥三号位置可表示如下Xrsin

cos

,Ysin

,r

（1）其中，r为嫦娥三号矢径；为嫦娥三号的赤经；嫦娥三号的赤纬等于L90于是，容易得的表达式LLL(/X),XY/)XLtan(/X)Y

L

cos

(r)

（2）由式（2）即可求得赤经和赤纬的变化量,LfLLLf

于是，由下式即得软着陆初始下降点的经纬，如下0

L0LLfLmLLfL其中由（3）式给出软着陆过程所需时间。LL

（3）通过对坐标的描述以及转化，计算得出嫦娥三号近月点的位置如表中所示。表嫦三号近月点和远月点的位置近月点远月点

经度160.02E

纬度

高度5.3近月点和远月点的速度和方向为了计算近月点和远月点的速度们可以将月球与椭圆轨道的关系用图4表图中P

点为近月点，

A

点为远月点，

F

为月球，即为椭圆的一个焦点，

C

为椭圆的中心点。AF

C

Fr

r图月位焦点

F

的椭圆轨道已知月球平均半径为，近地点和远地点离月球面的距离分别为15km100km，则可以得到：近地点半径r1752.013kmpp远地点半径rRkmpa已知月球的引力参数为

4903km

3

/

2

，则根据h1r1752r1计算得到偏心率为e

rrrr

0.0243605.026从而由r

h

11得到角动量为rp

2965.85

2

/s则运用角动量方程，得到近月点的速度为：

h1.6928kms1.70/r1752.013远月点的速度为：va

hsra表嫦三号近月点和远月点的位置速度

仰俯姿态角度近月点

o远月点

1.61km/s

o6问题2的求解6.1嫦娥三号的着陆轨道该段中，嫦娥三号距离月面相对较高，且嫦娥三号走过的月面距离比较长，将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差因此动力下降段有必要将月球视为球体来建立均匀球体下的三维软着陆模型力下降段推进系统采用常值推力方式，通过姿态控制来完成制动力方向的改变。1、均匀球三维动力学模型首先定义几个坐标系：（1）参考惯性坐标YZrr

r原点位于月球中心，Z轴由月心指向初始软着陆点X轴位于环月轨道rr平面内且指向前进方向Y轴XZ构成直角坐标系该坐标系仅用于软着陆rrr下降轨迹和制导律设计中。（2）下降轨道参考坐标系oxyoo原点o位于嫦娥三号质心，轴由月心指向嫦娥三号质心为正x轴位于oo当地水平面内且指向嫦娥三号前进方向轴与x和z轴构成直角坐标系。o嫦娥三号体坐标系oxyooxｒxｒ原点o于嫦娥三号质心轴在制动推力矢量延长线上推力方向为正，by轴分别根据嫦娥三号上仪器设备的安装而定，并x轴构成直角坐标系。bb坐标系示意图及嫦娥三号位置与推力矢量关系如图所示。z

Ｚ（Ｗ）O

y

Θ

Ｆ（ｘ）

ＯφＹ（Ｖ）（a）（）图5软陆坐标系定义与推力矢量间关系

Ｘ（Ｕ）图5（a）给出了上面各坐标系的示意和嫦娥三号在坐标系中的位置，图（b）给出了在下降轨道参考坐标系中的位置。其中，为在平面内的横向b月心角；为下降轨道平面内的纵向月心角；推力与坐标系Y之间的个rr推力方向角分别为推力方位角ψ和推力仰角θ它们定义为推力方位角绕正o轴旋转为正，推力仰角绕负y轴旋转为正。o分别用UW表示嫦娥三号下降速度在坐标oxy三轴的分量于是有oo

vr

若不考虑摄动影响且忽略月球自转同时引入质量方程可以利用球坐标系与直角坐标系的关系最终得到下降轨道参考坐标系下的软着陆动力学模型。TT

/rsin

/rcosUWV2rrcosrr

（4）

sinmr2r

2

/(Ispe式（4）表示的制动段动力学模型也是软着陆全过程的动力学仿真模型。2、月心惯系下软着陆动力学模型为了同环月运动的参考系一致同时便于对软着陆下降窗口进行分析需要将嫦娥三号的运动表示在月心赤道惯性坐标系下。首先给出月心赤道惯性系OXYZ的定义：原点位于月球中心，XY平面在月球赤道平面内其中X轴指向平春分点在月球赤道上的投影Z轴指向月球北极，Y轴与X和Z轴构成直角坐标系。要考察嫦娥三号在月心赤道惯性坐标系下的运动规律要得到月心赤道惯性系与月心惯性参考系之间的变换关系以降轨着陆为例两坐标系的关系如图6示。可以看出由月心赤道惯性系OXYZ变换到月心惯性参考OXZ需经过rrr4旋转：由此可以得出他们之间的坐标变换矩C

rI

为

rI

(90X

)(Z

)()(180X

)

（5）其中i为环月停泊轨道的轨道倾角着陆下降轨道位于环月轨道平面内；Ω为环月停泊轨道的升交点赤转角利用图3(b中的球面三角形求得，其中L为着陆点位置，N'为环月轨道降交点.

(sin

i)0

（6）式（）中为着陆点赤经，事先给定，为嫦娥三号经过的月心角，可通过仿真得出。于是，月心赤道惯性系下的位置可表示为[Y]Tr[I

r

r

Zr

（7z环月轨道Z

r着陆器y

Oi

赤道

r

x图月赤惯性系与月心惯性参考系之关(降着)其中，月心惯性参考系下的位置表示由图5和4）式给出如下：r

cos

Ysinr

sin

Zrcosr

该段中嫦娥三号距离月面较近下降时间很短且由于嫦娥三号接近垂直下降因而经过的月面距离很短此段可将月球视为平面来建立月球平面直角坐标系。如图7示。

0

着陆器下降轨道月球表面

g

m

γvO

x

0图7月平面直角坐系图7所示的月球平面直角坐标系。原点O为下降轨道上制动发动机火点在月球表面的投影，xy为下降轨道参考系纵向平面嫦娥三号的下降轨迹位于oo此平面内。图7表示的是符合重力转弯软着陆的情况，即反推力F的方向与下降速度方向相反对于这样的情况沿两坐标轴方向有如下的动力学方（平面月球二维动力学模型）omomo

)/(m)m)m)mm

（8）上式中，m为嫦娥三号的质量，在短时间内可视为常值；为月球表面的重力加速度，始终垂直于月球表面且为常值；为飞行路径角，即为下降速度矢量x轴夹角轴开始逆时针量起为正降速度的模Uo在下降速度垂直于下降速度个方向还可建立如下的动力学方程

omcoim

（9）其中补充了高度方向的微分方程和质量变化方程垂直方向与速度方向的夹角，由垂直方向逆时针旋转为正；常数为燃料消耗量u为制动力的开关量，以图79F所示的方向为正。着该段中，嫦娥三号距离月面很近，且嫦娥三号几乎沿竖直方向下降。因此，该段仍可采用平面月球动力学模型如图7所示理想情况下嫦娥三号在着陆段沿竖直方向下降，则可在平面月球二维模型基础上简化为一维垂直动力学模型，即要求其中的飞行路径角γ=简化为mg

m

（10式（10中为制动推力F的开关控制量。着陆段一维垂直下降过程如图8所示。yh1加速下降t1h2

着陆器=00Fm<01Fm减速下降

t2

<02Fm

月球表面h3关机降落

O

3

m

x图8着段下降过程意226.2个阶段的最优控制策略变轨控制问题是以消耗燃料最少为目标到最优变轨时发动机点火和关车的最佳位置，以及推力方向的最优控制规律。6.2.1霍曼转移段嫦娥三号在被月球引力捕获后，进入距月100km高度的圆形环月轨道，在这个月球停泊轨道上飞行利用月球的引力飞行根据预先选定的着陆位置在100km圆轨道上运行数圈后

开动发动机进行减速，经霍曼变轨，进入的椭圆形环月轨道，即从停泊轨道变轨到近地点在月球表面15公里、远月点在停泊轨道上的椭圆轨道上。进入霍曼转移轨道后，关闭发动机，利用月球引力飞行。所以这个阶段只需要开动发动机一次即可。6.2.2动力下降段在近月点制动发动机点火工作用以抵消嫦娥三号的初始速度所带燃料的大部分将用于此阶段。该阶段为主减速段。主减速段的区间是距离月15km到。该阶段是动力下降段，主要任务是减速，15km度近月点时发动机点火减速，用于抵消嫦娥三号的初始速度沿着一条抛物线向月面落下去从而将嫦娥三号的速度从15km度近月点的1.7km/s到距离月面3里处的。为了给出耗燃最优控制律设计，下面先给出嫦娥三号质心运动方程为：

rFr

2corF

（）其中F为制动火箭的常值推力大小F取F或∈是探测器在矢径r方向上的速度；ω是探测器方位角的角速度是推力方向与水平方向的夹角，m错误！未找到引用源。是探测器质量；是月球引力常数；C为制动火箭的排气速度,是一个常值。tttT32222tttT32222将上述的嫦娥三号质心运动方程表示为状态方程的形式:xf(u其中系统状态变量为：

（12xr

控制变量

按照耗燃最优的要求，取终端性能指标为：J()(0)()(

)

（13ff构造哈密顿函数为：H(u)f()

f

（14其中

，满足：r

v

)

（15即：

r

vr

v

FcovmrrvrFFsimm

vrr

co

（16由上节知，终端约束为：trrffG)ff(t)ff

0

则横截条件为：

(

t

f

)

t

f

(17)vvvvvvT其中，为拉格朗日乘子。由式16)、17程可知，沿着最优轨迹，有将式(11代入式(14)，并注意得到：

H

r

v

ur

v

rmmr根据庞特里亚金极大值原理，最优推力为：sinFmmr*Fvmmr此外，由于ψ不受约束，根据变分法极值条件

(18)可得：

rv

(19)综上，最优制导律：

*

(20)将最优控制律代入状态方程）和共轭方程（用初始条件和终端约束对状态方程和共轭方程进行积分就可得到软着陆最优轨道此时求最优轨道就转化成数学上对两点边值问题的求解。6.2.3垂直下降段在嫦娥三号水平速度将为0m/s后，调整姿态使其保持垂直向下软着陆到月面。该阶段具体又包括以下4个阶段。1、快速调段快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面到处将水平速度减为即将嫦娥三号的姿态调整为垂直，底部朝上，主发动机保持工作，使主减速发动机的推力竖直向下，以悬停姿态向月面，缓慢降落，之后进入粗避障阶段。2、粗避障嫦娥三号在距离月面处对正下方月面错误！未找到引用源×2300m的范围进行拍照得数字高程嫦娥三号通过拍照获得的照片为灰度图片，因此可以对拍照获得的数字高程图通过统计其各个像素的灰度值进行统计分析，即利用数字高程图的直方图来让嫦娥三号分析2300×2300m范围内的月面地形情况，从而躲避开大的陨石坑。由数字高程图得到的统计分析结果如下图所示。数高程图4

x10

直图的统计结数据200.05

050100150直图概率估计

2002503000

050100150250图9字高程图的统计分析321

x10

00100150200250300图10数字高程图的高程统计结果x10

121086420050100150图11数字高程图的直方图由以上统计结果可以看出，在该范围内，高程为米的区域是最多的就是这个区域内的平坦区域他区域都是非常不平坦的区域。所以嫦娥三号可以依据此分析，调整位置，初步选择高程在米的区域进行软着陆。3、精避障嫦娥三号悬停在距离月面处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点。数高程图4

x10

直图的统计结数据200.040.02

050100150直图概率估计

2002503000

050100150250图12数字高程图的统计分析321

x10

0

050100150250图13数字高程图的高程统计结果x10

210050100150图14数字高程图的直方图由以上统计结果可以看出，在该100×100m围内，高程为100m米左右的区域是最多的就是这个区域内的平坦区域他区域都是非常不平坦的区域。因此，嫦娥三号可以选择高程为100m区域进行软着陆。4、缓速下阶段该阶段的主要任务控制嫦娥三号在距离月面4m处的速度为0m/s实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确落月点。8误差分和敏感性分析在月球软着陆主制动段响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差始条件误差由主制动段以前的任务决定传感器误差则由导航系统和传感器本身决定此外影响制导精度的因素还包括月球自转月球不规则摄动等误差对它们的研究可单独进行这里暂不做介绍。8.1初始状态误差模型记嫦娥三号的实际初始状态为X，标准初始状态为i态偏差为xi

n

，则定义初始状XXii

n

(21)对于主制动段这一特定的飞行过程这些偏差都是确定的而针对整个月球探测任务，这些偏差就变得具有随机性。在本文中，假定的所有元素均服从i零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务的特性。8.2传感器误差模型由于只研究误差对制导律的影响以这里假设需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小均考虑为典型误差值。由上一目设计的制导律可以看出，需要由导航与控制传感器测量的量主要为嫦娥三号相对于着陆场坐标系的位置、速度和加速度。定义待测QQX

ZUVWA]T其估计值记，则传感器误差定义为

(22)那么个测量的估计误差模型可用误差向量的第j(j个元q来j表示。由参考文献[知，第j个观测量的总估计误q由以下四部分组成j()t()t)jbsjnsjjncj

jbc

~Qt()

Qt)j

(23)针对主制动这一特定操作阶段，上述四部分误差具有如下特性：—第j个观测量的测量误差，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布；—第j个观测量的刻度因素误差系数，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布；q—第j个观测量的随机误差，其为一高斯白噪声；jncq—第j个观测量的刻度因素随机误差系数，其为一高斯白噪声。jns参考文献[1]黄勇，昌胜骐，李培佳，胡小工，王广利，刘庆会，郑为民，樊