线性微分方程解的结构(共25张PPT)精选

第六节线性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)解的结构第一页，共25页。一、二阶线性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡(pínghéng)状态,例质量(zhìliàng)为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系.设时刻t物体位移为x=x(t).1.弹性恢复力物体所受的力有:成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.2.阻力第二页，共25页。据牛顿第二(dìèr)定律得则得有阻尼自由振动(zhèndòng)方程:第三页，共25页。二阶线性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)二阶线性齐次微分方程(wēifēnfānɡchénɡ);二阶线性非齐次微分方程(wēifēnfānɡchénɡ).n

阶线性微分方程的一般形式为

n阶线性齐次微分方程;

n阶线性非齐次微分方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y第四页，共25页。二、线性齐次微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的解的结构定理(dìnglǐ)1问题(wèntí):例：设y1为(1)的解,则y2=2y1是(1)的解,但是,y=C1y1+C2y2不为(1)的通解.(解得叠加原理)

为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.第五页，共25页。证代入方程(fāngchéng)左边,得第六页，共25页。定义(dìngyì)是定义(dìngyì)在区间I上的n个函数(hánshù),使得则称这n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如：

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如：若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数第七页，共25页。线性相关存在(cúnzài)不全为0的使线性无关(wúguān)常数(chángshù)思考:中有一个恒为0,则必线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:第八页，共25页。精品(jīnɡpǐn)课件！精品(jīnɡpǐn)课件！存在(cúnzài)不全为0的若存在不全为0的常数为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关的一个(yīɡè)特解,n阶线性微分方程的一般形式为例：设y1为(1)的解,则y2=2y1是(1)的解,但是,y=C1y1+C2y2不为(1)的通解.复习:一阶线性方程线性无关(wúguān)两个独立(dúlì)任意常数,设时刻t物体位移为x=x(t).当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡(pínghéng)状态,是非齐次方程的通解.取平衡时物体的位置为坐标原点,例如(lìrú)推论(tuīlùn)是n阶线性齐次微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的n个线性无关解,

则方程的通解为第九页，共25页。三、线性非齐次微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)解的结构是二阶非齐次方程(fāngchéng)的一个(yīɡè)特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3则是非齐次方程的通解.证将代入方程①左端,得②①第十页，共25页。是非(shìfēi)齐次方程的解,又Y中含有(hányǒu)两个独立(dúlì)任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为因而②是通解.第十一页，共25页。例2设

是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用

表示方程的通解.第十二页，共25页。例3已知y=x及y=sinx为某二阶线性齐次方程(fāngchéng)的解,求该方程(fāngchéng).解第十三页，共25页。例4解(1)由题设可得：解此方程组，得第十四页，共25页。(2)原方程(fāngchéng)为由解的结构定理(dìnglǐ)得方程的通解为第十五页，共25页。(非齐次方程(fāngchéng)之解的叠加原理)第十六页，共25页。n阶线性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)二阶非齐次线性方程的解的结构(jiégòu)可以推广:第十七页，共25页。四、小结(xiǎojié)主要(zhǔyào)内容2、二阶线性微分方程解的结构(jiégòu)定理1、函数的线性相关与线性无关；第十八页，共25页。思考题解都是微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的解,是对应(duìyìng)齐次方程的解,常数所求通解为第十九页，共25页。补充(bǔchōng)内容可观察(guānchá)出一个特解第