2022-2023学年安徽省马鞍山二中数学高三第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：2B案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项125601A={x|x<1}，B={x|3x1}，则

B{x|x0}

BR

B{x|x

B

1 1 1 已知在BC的对边分别为abcf(x , B． , C． , D． ,0 6 336

x3 bx23 2

a2c2ac

x存在极值，则台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如ABCD处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点C（）A．50 2cm B．40 2cm C．50cm D．20 6cm已知iz1aizz2，则实数a（）A．2或2 B．-1或1 C．1 D．2f(x)cosxg(x)sin(2x)(0)的图象有一个横坐标为g(x的图象的纵31A． A． 24 24

倍后，得到的函数在[0,2]有且仅有5个零点，则的取值范围是( ) B．29,35 24 24 C．29,35 24 24

D．29,35 324 24 36Fc,0E

x2y2a2 b2

1的左焦点，过点Fx2y2

4c2交于A、B（A在F、B之间）与双曲线EP，O为坐标原点，若FABP，且OAOB

3100

c2，则双曲线E的离心率为（ ）555A． B．2

C． D．5525在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）63333A．1 i B． 1i C．1 i D． 1i33332 2 2 2 2 2 2 2已知函数fxln1xx1且faf12，则实数a的取值范围( )1x,1 1 B． ,1 1 B． ,0 1C．0,222 2 2z1

2i，z2

cosisin(R)，其中i是虚数单位，则|zz1 2

|的最大值为( )551A． 1 5512

1 D．55551x2P是椭圆

y21(a2)上的一点，F，F

是椭圆的两个焦点，若FF 4

PF a2 4

1 2 1 2 1 23（ ）32A．4 B．8 C．42

47BD1DC7BD1DC，则2AD=（441AB+2ACA441AB+2ACC．3 3

AC B．2AB+12AB+1AC331AB2AC3 3把运算Nm所得的余数是n记为“Nn(modm)”，例如71(mod2).执行该程序框图，则输出的n等于（ ）A．16 B．17 C．18 D．19二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

ex2019,x0f(x 2020,x0

fx24f(3x) 3

的取值范围为 .x8xOy中，直线l的参数方程为yt

t x3s22（t为参数，曲线C的参数方程为 （s为2y2 3s 2参数）.求直线l和曲线C的普通方程；设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标15．已知集合A{2,5},B{3,5}，则A B.16．函数f(x)ln(1x) 43xx2的定义域是 （写成区间的形式）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分如图在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90侧面PAB为等边三角形侧棱PC2 2.求证：平面PAB平面ABC ；PABC外接球的体积.18（12分）阶梯式电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不200度的部分按0.5元度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．y（单位：元）x（单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）1月份100的频率分布直方图，若这1001月份用电费用不超过260元的占80%，求ab的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100据用该组区间的中点代替，记Y1月份的用电费用，求Y.19（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+﹣2＝0相切．求圆的方程；ax﹣y+5＝0（a＞0）a的取值范围；在（）的条件下，是否存在实数，使得弦AB的垂直平分线l过点（﹣，，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20（12分）如图，在四面体DABC中，ABBDADCDB.求证ABCACD；若，二面角CABD为60 ，求异面直线AD与BC所成角的余弦值.21（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，D

，sinBACcosB

5，AB13.3 13AC；ABCD面积的最大值.22（10分）在直角坐标系中，已知曲线

x1 2cos 的参数方程为y1 2sin（ 为参数，以原点为极点，

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为.1 6 6 2 2（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线l1

与曲线C交于、A两点，射线l2

与曲线C交于B两点，求ABO.参考答案125601、A【解析】∵集合B{x|3x1}∴B|x∵集合A{x|x1}AB|xAB|xA2、C【解析】求出导函数f(x)，由f(x)0有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论．【详解】

f(x)f(x) x3 bx2a2c2xf(x)x2bx，

1 a2a2c21 若f(x)存在极值，则b24 a2c2ac 0，a2c2b2ac4又cosB

a2c2b2

,cosB1.

B0,,

B． 2ac 2 3故选：C．【点睛】3、D【解析】EF做正方形边的垂线，如图，设AEMABBC用ABBC，列方程求出.【详解】过点E,F做正方形边的垂线，如图，设AEM，则CFQMEFQFE60，ABAMMNNBAEsinEFsinFCsin50sin40sin30sin403sin 3cos2 2 ， CBBPPCAEcosFCcosEFcos50cos30cos40cos403cos2

sin323AB

33403sin cos403cos sin33因为 ，则 2

2 2

2 ， 3sin23cos

，又sin2cos21，312 2312 2得sin312 2312 23312 23AB403sin cos4033312 23

31202

2

2 2 2 .6 6即该正方形的边长为20 6cm.故选：D.【点睛】4、B【解析】zzai1a2，然后求解即可【详解】z1aizzai1a2.zz2，∴1a22a.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题5、A【解析】根据题意，cos

sin

π

g(x)sin2x3 3

所以 66 6的取值范围.【详解】已知f(x)cosx与g(x)sin(2x)(0 )的图象有一个横坐标为的交点，3 则cos sin ，3 3

5, ，3 3 325，，3 6 6g(x)sin2x， 6 6若函数g(x)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1

倍，则y

，所以当x [0,2]时，2x

,，

sin2 x 6 66 6 6f(x)在[0,2]有且仅有5个零点，5 6

6，29 35.24 24故选：A.【点睛】6、D【解析】过点O作OMPFMAB的中点，由OAOB

3100

c2可求得cosAOB的值，可计算出cosAOBOMFABPMPFPFPF2（F为双曲线的右焦点.【详解】如下图所示，过点O作OMPFFPF.OAOB

3c

3ccosAOB

3 c2，cosAOB1.2 2 100 25cosAOB

1cosAOB

2

，OMOAcos

3c，2 2 5 2 5FABP，M为PF的中点PF//OM，FPF90，PF2OM 6c，58cPF 2c2PF2 ，5由双曲线的定义得PFPF2a，即2c2a，5c因此，该双曲线的离心率为e故选：D.【点睛】

5.7、A【解析】由复数z求得点Z的坐标，得到向量OZ的坐标，逆时针旋转，得到向量OB的坐标，则对应的复数可求.6【详解】解：∵复数（i为虚数单位）在复平面中对应点（，，OZ＝(0，1)，将OZO得到OB，6设OB＝(a，b)a0,b0，OZOBOZOBbOZOBcos6323即b ，32a2b21，3解得：a1,b ，32 2OBOB2132∴ , ，23对应复数为1 i.32 2故选：A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.8、B【解析】Fxfx1Fxfaf12的解集.【详解】Fxfx1ln1xx，由1x1x 1x

0解得1x1，所以Fx的定义域为1,1，且Fxln1xxln1xxln1xxFxFx为奇函数，而1x 1x

1x Fxln1xxln1

2 xFxF0ln100由1x

1xfaf1

fa1fa110

FaF10

aa101a1 1

a0得故选：B

，即 ，所以 .1a11 2【点睛】9、C【解析】由复数的几何意义可得z1

z表示复数z2

2i，z2

cosisin对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数z1

2i对应的点为z6625

cosisin对应的点为cos,sin，所以2co22co21si212sin41 625sin1 2

12，5故选C5【点睛】本题主要考查复数的几何意义由复数的几何意义将z1

z转化为两复数所对应点的距离求值即可属于基础题.210、B【解析】3∵FF 431 23∵FF 2c431 23∴c23∵c2a2b2，b24∴a4∴PF1B

PF2

2a8.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不.11、BAEAE2EB,AF1FC,在AB,AC上分别取点E、F,使得2可知AEDF 为平行四边形，从而可得到ADAEAF2AB1AC，即可得到答案．3 3AEAE2EB,AF1FC,如下图，BD1DC，在AB,AC上分别取点E、F,使得2 2则AEDF 为平行四边形，故ADAEAF2AB1AC故答案为B.3 3【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．12、B【解析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个项进行验证即可.【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出n16 ，则161mod3不符合题意，排除；n17，则172,172，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.452013、)【解析】x0x0x243x，且0，解得答案.【详解】ex2019,x0f(x x0x0时，函数为常数，2020,x0fx24f(3xx243x，且0x1.故答案为：(1,).【点睛】3.本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用3.14（1）x 3y80，y2

4x（）52

3,2【解析】利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；.【详解】（1）直线l的普通方程为x 3y80.在曲线C的参数方程中，y2

12s2

4x，所以曲线C的普通方程为y2

4x. （2）设点P3s2,2 3s .3s26s3s26s82

3s25 .2s1d

5 5，所以点P到直线l的距离的最小值为 .min 2 23 3此时点P的坐标为3,2 .【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.15、2,3,5【解析】根据并集的定义计算即可.【详解】

B2,3,5.【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.16、[1,1)【解析】要使函数

1x0f(x)有意义，需满足43xx2

x11x

，解得x1f(x的定义域是[1,1)．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。64 617（）见解析（） .64 627【解析】ABDPD、CDPDAB，利用勾股定理得出CDPDPDABCPABABC；PABC的外接球球心O得结果.【详解】ABDPD、CDAPBPPDAB.又ACBC，所以CDAB，又由已知ACB90ACBC2AB6PABPDABPD6

，所以ADBDCD ，.22，222因为PC2 ，所以PC2CD2PD2，PDCD，2CD ABD，PDABC，又PD平面PAB，平面PAB平面ABC；DABCABD是的外心，由（1）PDABCPABC的外接球的球心OPD上.RtPDCPCPD的交点即为球心OPCE，则OEPC.由RtPEO与RtPDC相似可得PEPD，PO PCPO

PEPC .22 222 262 6 42 63

64 633 33

ABC外接球的体积为V . 27【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.0.5x,0x20018（）y{0.x60,200x400）a0.0015，b0.0020（）见解析.x140,x140【解析】试题分析（1）y260代入（1）x400，即Px4000.80，根据频率分布直方图可分别得到关于ab的方程即可得abx取每段中点值作为代表的用电量y值即可得到Y的概率分布列然后求出Y的期望.试题解析当0x200y0.5x；200x400y0.52000.8x2000.8x60；x400y0.52000.82001.0x400x140yx之间的函数解析式为0.5x,0x200y{0.8x60,200x400.x140,x140（2）由（1）y260x400Px4000.80，结合频率分布直方图可知0.12100b0.30.8{ ，∴a0.0015，b0.0020100a0.050.2（3）X50，150，250，350，450，550，x50y0.55025Py250.1，x150y0.515075Py750.2，x250y0.52000.850140Py1400.3，x350y0.52000.8150220Py2200.2，x450y0.52000.82001.050310Py3100.15，x550y0.52000.82001.0150410Py4100.05，故Y的概率分布列为Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量X的数学期望EY250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.55 319（（﹣）2＝（（12（）存在，a44m4m29（）设圆心为（，，根据相切得到 5

5，计算得到答案.（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案.y1x24（3）l的方程为a【详解】

，即a+﹣4＝，过点，，计算得到答案.（）设圆心为（，（∈．由于圆与直线+﹣2＝0相切，且半径为，4m4m29所以 5

，即|4m﹣29|＝2．因为m为整数，故m＝2．故所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝2．ax﹣y+5＝0y＝ax+5y，整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0，由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0，5 5即2a﹣5＞，由于＞0，解得a＞12，所以实数a的取值范围是（12．1设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为 ，al的方程为

y1x2a

，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，2+0+2﹣4a＝0，解得a

3．由于35，故存在实数a34 4 12 4使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.【点睛】320（1）证明见解析3（2）6【解析】取AC中点F,连接FD,FB，得DFAC,ABBC，可得FAFBFC，可证 DFB，可得DFFB，进而DF平面ABC，即可证明结论；EGHABCDBDDEEFGFFHHG，可得GF//ADGH//BCEF//BC，可得FGH（或补角ADBC所成的角，BCABEFAB为二面角CABD，设的平面角，即DEF60 ADa，求解FGH，即可得出结论.，设【详解】证明ACFFDFB，DADCDFAC,ABBC，则FAFBFC，，故 DFB，DFBDFA，2DFAC,DFFB,ACFBF∴DFABCDFACDABCACD解法一设GH分别为边CDBDFG//ADGH//BC，FGH（或补角）ADBC所成的角.EABEF//BCABBCEFAB.又由（1）有DF平面ABC,DFAB，EF DFFABDEFDEAB，所以DEF为二面角CABD的平面角，DEF60设DADCDBa,DFADCADa2在Rt△DEF中，EFa 3 3a2 3 6从而GH

BCEF a1 1 1 a在Rt BDF中，FH1 a

BD ，2 2FG

AD ，2 2从而在 FGH中，因FGFH，1cosFGH

2GH 3，FG 63因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 .6解法二FFMACABM由（1）FCFDFM两两垂直，以F为原点，射线FM,FC,FD分别为x轴，yzFxyz.AD2，由CDAD,CAD30，易知点C,D的坐标分别为A(0, 3,0C(0, 3,0),D0,0,1则AD(0, 3,1)显然向量k0,0,1ABC已知二面角CABD为60，设Bn,0，则m2n23,AB(m,n 3,0)ABD的法向量为nxyz，ADn0 3yz0则 3ABn0 mx n y03 n 3 m令y1，则n ,1, 3mk,nk,n|kn|kn34n32m1cos 由 2由上式整理得9n22 3n210，7 3解之得n 3(舍或n7 39B

4 67 39 , 9 ,0CB4 67 3

4 6 9 ,

2 39 ,0，2 3 3AD,CBAD3AD,CBADCBADCB23223633因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 .36【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空21（）12）S12330【解析】根据同角三角函数式可求得cosBACsinB，结合正弦和角公式求得sinBCAsinBACB，即可求得BCA2

，进而由三角函数设ADx,DCy,根据余弦定理及基本不等式可求得xy的最大值结合三角