经济应用数学(第二版) 4-1定积分的概念与性质

§4.1

定积分的概念与性质

§4.3

积分的基本公式

第四章积分及其应用

§4.4

换元积分法

§4.2

不定积分的概念与性质

§4.5

分部积分法

§4.6

无限区间上的反常积分

§4.7

积分学的应用1

一.定积分的定义

二.定积分的几何意义§4.1定积分的概念与性质

三.定积分的性质2

一.定积分的定义

规则图形的面积

矩形的面积=长宽.

长宽高下底上底直角梯形的面积=

中位线,长为

直角梯形的面积可用矩形面积计算.3那么,不规则图形的面积如何求呢?4用若干条平行于轴及

轴的直线

将图形分割,所求面积应为被分割的

所有小面积之和.

如左图,将其放入平面直角坐标系中.

我们分析

:由三条直线和一条曲

线围成,其中两条直线互相平行,第三条

直线与这两条直线垂直,另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形.

对四周的不规则图形,面积怎么求?只要将其求出,则大的不规则图形面

积也即求出.??????????

求不规则图形的面积问题

其中,中间部分为矩形,易求面积.转化为

求曲边梯形的面积问题5案例如何求曲边梯形的面积?将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线称为曲边梯形.

直线和(即轴)所围成的平面图形=面积6直曲对立统一按下述程序计算曲边梯形的面积:

在区间上任意选取分点

…,

每个小区间的长度为其中最长的记作

==分成个小区间

我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积.(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形7==

过每个分点()

作轴的垂线,把曲边梯形分成个窄曲边梯形.(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形

用表示所求曲边梯形的面积.

表示第个小曲边梯形面积,则有:8==(2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积

在每一个小区间上任选一点(),用与小曲边梯形同底,以为高的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,即

9==(3)求和——求个小矩形面积之和

个小矩形构成的阶梯形的面积是,这是原曲边梯形面积的一个近似值.即10(4)取极限——由近似值过渡到精确值

分割区间的点数越多,即越大,且每个小区间的长度越短,即分割越细,阶梯形的面积,即和数与曲边梯形面积的误差越小.

现将区间无限地细分下去,并使每个小区间的长度都趋于零,这时,和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值.

动态描述阶梯形面积与曲边梯形面积的无限接近过程11案例如何求曲边梯形的面积?面积(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:12案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:13案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A14案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A15案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A16案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A17案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:18案例求得曲边梯形的面积:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经19定义4.1

定积分定义用分点

设函数在闭区间上有定义,把区间分成个小区间

其长度

并记

在每一个小区间()上任选一点,作乘积的和式

当时,若上述和式的极限存在,且这极限与区间的分法无关,与点的取法无关,则称函数在上是可积的,并称此极限值为函数在上的定积分,记作

即

20

积分上限积分下限

被积表达式

被积函数

积分变量

积分号称为积分区间.

由定积分定义还可知,案例中:曲边梯形面积是曲边方程在区间上的定积分,即由定积分定义知：21由定积分定义知：

积分上限1.定积分是一个数值,该数值取决于被积函数和积分区间,与积分变量无关,即

积分下限注意2.交换定积分的上下限,定积分变号,即特别地,有22

二.定积分的几何意义特别地,在区间上,若则由定积分的定义知面积23在区间上,若24

则图中阴影部分的面积为若有正有负,在区间上,25练习1用几何图形说明下列等式成立:

(1)

(1)由定积分的几何意义,该面积就是作为曲边的函数在区间上的定积分,即上半单位圆的面积为解

26练习1用几何图形说明下列等式成立:

(2)解

(2)由定积分的几何意义,该面积就是作为直线的函数在区间上的定积分,即该三角形的面积为27

三.定积分的性质性质1常数因子可提到积分符号前

性质2代数和的积分等于积分的代数和

28练习2解

计算定积分由上述定积分的性质及练习1,有

由性质2

由性质1

由练习1(1)(2)29性质3(定积分对积分区间的可加性)对任意三个数总有(1)当时,由定积分的几何意义可知

曲边梯形的面积=曲边梯形的面积+曲边梯形的面积.

即30性质3(定积分对积分区间的可加性)对任意三个数总有(2)当时,由前一种情形,应有移项,

有

交换上下限,有

其他情形可类似推出.

31练习3用几何图形说明下列等式成立:

解

(1)(1)由定积分对区间的可加性知

面积

由定积分的几何意义

==故

奇函数

32练习3用几何图形说明下列等式成立:

解

(1)由定积分对区间的可加性知

面积

由定积分的几何意义

==故

(2)

偶函数

33则结论则(1)若是奇函数,即设函数在对称区间上连续,

(2)若是偶函数,即34性质4(比较性质)若函数