函数模型的应用 讲义-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第页）4.5.3函数模型的应用一、学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题．2.能建立函数模型解决实际问题．3.了解拟合函数模型并解决实际问题．4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．二、重点难点重点难点利用给定的函数模型解决实际问题利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题建立确定性函数模型解决实际问题．对给定的函数模型进行简单的分析评价三、合作探究深度学习学习目标一：常见函数模型我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模拟y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)自主检测1：一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数学习目标二：马尔萨斯人口增长模型例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1978年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthas，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？自主检测2：“红豆生南国，春来发几枝？”下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好？()A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2学习目标三：碳14指数衰减模型例4.2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？自主检测3：若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100))B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))xD．y＝1－0.0424eq\s\up12(eq\f(x,100))学习目标四：同一数学问题建立不同的数学模型并进行比较（1）例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？自主检测4：某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A．90万元 B．120万元C．120.25万元 D．60万元学习目标五：同一数学问题建立不同的数学模型并进行比较（2）例6.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？自主检测5：某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选()A=1\*GB3①B=2\*GB3②C=3\*GB3③D=4\*GB3④自主检测6：表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．自主检测7：某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.四、总结提升自主检测9：已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．五、当堂检测课本P154.练习1.参考答案：1.【答案】A[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]2.【答案】A【解析】根据已知所给的散点图，观察到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数模拟较好，故选A.3.【答案】A[由题意可知y＝(95.76%)eq\s\up12(eq\f(x,100))，即y＝0.9576eq\s\up12(eq\f(x,100)).]4.【答案】B【解析】设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元5【答案】D【解析】画出散点图如图所示．由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.答案：D6【答案】①②③【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③.7.【答案】2500[∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q时的总成本为2000＋10Q万元．∵K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，∴利润L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2500万元．]9.【答案】(1)①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．综上，s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t